→
→
→
→
Niech u = [u1 , u2 , … , uk] oraz v = [v1 , v2 , … , vk] , u , v ∈ Vk.
→ →
→
→
Iloczynem skalarnym wektorów (oznaczenie u v ; bądź u • v ) nazywamy liczbę
→ →
k
u v = u1 v1 + u2 v2 + …+ uk vk = ∑ u v .
i
i
i=1
Twierdzenia
→
→
→
Jeżeli u , w , v ∈ Vk, a, b są liczbami rzeczywistymi, to
→ →
→
→
a) u w = w u ,
→
→
→
→ →
→ →
b) u ( a w + b v ) = a ( u w ) + b ( u v ).
→
→
Jeżeli u , w ∈ Vk są wektorami niezerowymi, to cosinusem kąta γ między tymi
u w
wektorami nazywamy liczbę równą cos γ =
| u || w |
Twierdzenie
→
→
→
→
Niezerowe wektory u , w ∈ Vk są prostopadłe (ortogonalne) – symbolicznie u ⊥ w
wtedy i tylko wtedy, gdy ich iloczyn skalarny jest 0.
Przykład
Zbadaj, czy wektory [0, 1, −1], [13, 2, 2] są prostopadłe.
Aby zbadać, czy te wektory są prostopadłe, wystarczy sprawdzić, czy są niezerowe,
obliczyć ich iloczyn skalarny i sprawdzić czy ten iloczyn jest 0.
→
→
Niech u = [0, 1, −1], w = [13, 2, 2] . Mamy:
→ →
u w = [0, 1, −1] [13, 2, 2] = 0 ⋅ 13 + 1 ⋅ 2 + (- 1) ⋅ 2 = 0.
→
→
Wniosek: wektory u , w są niezerowe; są one prostopadłe.
Rozważamy wektory w przestrzeni trójwymiarowej V3.
→
→
→
→
Iloczynem wektorowym pary ( u , w ) wektorów u = [u1, u2, u3] , w = [w1, w2, w3],
→
→
oznaczanym przez u x w , nazywamy
→
→
a) wektor zerowy, gdy wektory u , w są równoległe,
b) wektor prostopadły do obu wektorów o składowych
[u2 ⋅ w1 − u1 ⋅ w2, u3 ⋅ w1 − u1 ⋅ w3, u1 ⋅ w2 − u2 ⋅ w1 ];
inaczej
→
→
u x w = [u2 ⋅ w1 − u1 ⋅ w2, u3 ⋅ w1 − u1 ⋅ w3, u1 ⋅ w2 − u2 ⋅ w1 ],
→
→
→
→
→
u x w = (u2 ⋅ w1 − u1 ⋅ w2) i + ( u3 ⋅ w1 − u1 ⋅ w3) j + ( u1 ⋅ w2 − u2 ⋅ w1 ) k .
Twierdzenia
→
→
→
Dla dowolnych wektorów u , w , v ∈ V3 oraz liczby rzeczywistej λ zachodzi:
→
→
→
→
a) u x w = − ( w x u ),
→
→
→
→
→
→
→
b) u x ( w + v ) = u x w + u x v ,
→
→
→
→
c) (λ u ) x w = λ ( w x u ).
Twierdzenie
→
→
Długość iloczynu wektorowego u x w jest równy polu równoległoboku „rozpiętego”
→
→
na wektorach u , w .
u x w
w
u
1. Wyznacz iloczyny skalarne wektorów:
a) [-1, 2], [ 2, 0], b) [3, -1] , [2, -3], c) [3, -1] ◦ [2, -3] ,
d) [3, -1, 2] , [2, -3, 1] , e) [-1, 2, 0] , [ 1, 2, 0] , f) [-2,-3, 2, 0] ◦ [ 0, 2, 0, 3] .
2. Dobierz tak liczby, a, b, aby zachodziła równość:
a) [-2, 3] ◦ [ 2, a] = 2 , b) [-1, 2b] ◦ [ 4 - b2, 0] = 0
c) [-2a2, -3 + b, 2 + b2] ◦ [ 0, 4, 0] = 1 , d) [a, 4, -a2] ◦ [4, 1, -3] = 0 .
3. Zbadaj, czy wektory są ortogonalne (prostopadłe):
a) [1, -3] , [3, 1], b) [0, 1], [ 0, 3], c) [-2, -1], [ -3, 6],
d) [1,-1, 2, -2] , [3, 3, 1,1], e) [0, 1, -2, 5], [ 3, 2, 0, 0].
4. Sprawdź, który układ wektorów jest układem wektorów ortogonalnych .
a) [1,2,3,4], [1,-2,2,1], [1,1,1,1]; b) [1,2,3], [-3,0,1]; c) [1,0,0,0], [0,3,5,0], [0,5,-3,1] .
5. Oblicz miary kątów między wektorami:
a) [0,1,-1,2], [3,-1,2,0] ; b) [-1,1] , [0,1].
6. Wyznacz iloczyny wektorowe wektorów w układzie współrzędnych Oxyz:
a) [3, -1, 2] , [2, -3, 1] , b) [-1, 2, 0] , [ 1, 2, 0] ,
c) [-2,-3, 2] × [ 0, 2, 0], d) [-2,-3, 2] × [ 4, 6, -4].
→
→
→
7. Niech e , e , e będą wersorami osi odpowiednio osi x, y, z w układzie
x
y
z
współrzędnych Oxyz. Wyznacz wektory:
→
→
→
→
→
→
→
→
a) e × e , b) e × e , c) e × e , d) e × e .
x
y
y
x
z
x
z
y
8. Dobierz tak liczby a, b, aby w układzie współrzędnych Oxyz zachodziła równość:
a) [-2a2, -3 + b, 2 + b2] × [ 0, 4, 0] = [-12 , 0, -32],
→
b) [a, 4, -a2] × [1, -4, 1] = 0 ,
c) [a, 3, b] × [2, b, 1+a] = [6, 10, -1].
9. Oblicz pole trójkąta o wierzchołkach A(1, 2, 3), B(-1,3,2), C(1, 1,5).