Komentarz do wykładu 1

Ważniejsze daty:

1833-Faraday zaobserwował zmniejszenie oporu siarczku srebra podczas

ogrzewania

1875- W. Simens –komórka fotoelektryczna- pierwszy przyrząd półprzewodnikowy

1883-C.E. Frits –prostownik selenowy.

1906-detektor krystaliczny-złącze metal półprzewodnik (PbS)

1913-W. L. Bragg- określenie struktury kryształów KCl, NaCl, KBr, KJ (Nobel 1915)

1914-Dioda Schotky’ego

1918-J. Czochralski-metoda wzrostu monokryształów

1947-L. Sosnowski-teoria złącz p-n

1948-J.Bardeen, W.H. Brattain , W.B. Shockley tranzystor (Nobel 1956)

1955-J. Luttinger, W. Kohn –formalizm masy efektywnej

1959-J. S. Kilby – układ scalony (Nobel 2000)

1963- Z. I. Alferov, H. Kromer –złącze p-n ze studnią kwantową

1969- L. Esaki, R. Tsu – supersieci

1980-K. von Klitzing –Kwantowy Efekt Halla (Nobel 1985)

1982-D.C. Tsui, H.L. Stormer, R.B. Lunghlin -ułamkowy kwantowy efekt Halla.

Faza skondensowana

Do fazy skondensowanej zaliczają się ciała stałe oraz ciecze. W gazach atomy lub

cząsteczki (molekuły) w wyniku wzajemnych zderzeń wykonują przypadkowe ruchy

translacyjne, oraz molekuły wykonują ruchy rotacyjne i oscylacyjne. W cieczach ruch

postępowy jest ograniczony w porównaniu z gazami i większość czasu cząsteczki

znajdują się w ruchu rotacyjnym i oscylacyjnym (rys.1.1b). W ciałach stałych ruch

cząsteczki sprowadza się głównie do małych drgań około jej położenia równowagi

oraz rotacji molekuł dookoła ich osi symetrii (rys.1.1c). Postępowe ruchy cząsteczek

w ciele stałym są bardzo rzadkie. Oprócz różnicy w zachowaniu cząsteczek w fazie

skondensowanej i fazie gazowej, w fazie skondensowanej wzajemne odległości

cząsteczek są rzędu ich średnicy (w gazach ta odległość jest na porządek większa),

a siły oddziaływania między cząstkami powodują, że ciało w fazie skondensowanej

ma określoną gęstość ρ i zajmuje określoną objętość V .Natomiast gaz zajmuje całą

objętość naczynia, w którym został umieszczony.

Rys.1.1. Trajektorie cząsteczek w gazie (a), cieczy (b) i ciele stałym (c)

Ciała w fazie skondensowanej można podzielić na pięć różnych typów:

1. ciecze;

2. szkła;

3. ciała amorficzne;

4. kryształy,

5. ciekłe kryształy.

• Ciecze są to równowagowe, izotropowe, nieuporządkowane przestrzennie ciała

przyjmujące kształt naczynia, w jakim się znajdują. Ciecze, podobnie jak ciała stałe,

są mało ściśliwe. Ta własność cieczy jest związana z dość silnymi oddziaływaniami

między cząstkami. Każda substancja ciekła (z wyjątkiem helu) podczas oziębiania

traci swoje własności ciekłe i przechodzi w ciało stałe.

• Szkła są to kwazirównowagowe (kwazi od łacińskiego słowa quasi, które w

połączeniu z innymi wyrazami oznacza: jak gdyby, jakoby, rzekomo), izotropowe,

nieuporządkowane przestrzennie ciała stałe posiadające właściwości sprężyste ciał

stałych. Wskutek tego w szkle mogą rozchodzić się tak podłużne, jak i poprzeczne

fale dźwiękowe. W gazach i cieczach mogą rozchodzić się tylko fale podłużne.

Substancje szkło-podobne samorzutnie powoli przekształcają się w postać

równowagową -krystaliczną. Z tego właśnie powodu stan w którym znajduje się szkło

nazywa się stanem kwazirównowagowym.

• Ciała amorficzne, jak i ciała szkliste, są izotropowe, nieuporządkowane

przestrzennie ciała stałe posiadające właściwości sprężyste ciał stałych. Jednak, w

odróżnieniu od szkieł, stan ciał amorficznych jest równowagowy i ciała amorficzne

nigdy nie przekształcają się w stan krystaliczny. Amorficzne ciała są w istocie

cieczami przechłodzonymi i przykładami takich ciał są lak, wosk, smoła i inne.

Amorficzne jak i szkliste substancje powstają wskutek szybkiego wzrostu ich lepkości

przy obniżaniu temperatury substancji. To powoduje, że ruch cząsteczek konieczny

do uformowania się i wzrostu kryształu jest utrudniony i substancja zestala się

wcześniej niż nastąpi krystalizacja.

Rys.1.2. Uporządkowanie dalekiego (z lewej strony) i bliskiego zasięgu (z prawej

strony)

• Kryształy są to równowagowe, anizotropowe, uporządkowane przestrzennie ciała

stałe. Kryształy powstają wskutek procesu, który nosi nazwę krystalizacji. Ten proces

polega na tym, że w cieczy, oziębionej do określonej temperatury, pojawiają się tzw.

centra krystalizacji - drobne kryształki, czyli obszary uporządkowanych i trwale

związanych ze sobą cząstek. W warunkach umożliwiających swobodny wzrost, przy

dalszym oziębianiu cieczy centra krystalizacji rozrastają się w kryształy, tj. w

trójwymiarowe okresowe ułożenia atomów, lub grup atomów. Cząstki (atomy, jony

lub molekuły), z których zbudowany jest kryształ rozmieszczone są w przestrzeni

okresowo, tworząc sieć krystaliczną (rys.1.2). Mówimy, że w krysztale istnieje

uporządkowanie dalekiego zasięgu.

W cieczach i amorficznych substancjach, w odróżnieniu od kryształów nie istnieje

uporządkowanie dalekiego zasięgu. Jednak badania rozpraszania promieni

rentgenowskich na tych bezpostaciowych substancjach wskazują na to, że tutaj też

można zauważyć porządek. A mianowicie, w sferze otaczającej pewną wybraną

cząstkę o promieniu rzędu 3÷4 średnic cząstki, wzajemne ułożenie sąsiadujących

cząstek jest podobne do uporządkowanego ułożenia sąsiadujących cząstek w

kryształach (rys.1.2). Tego typu uporządkowanie nosi nazwę uporządkowania

bliskiego zasięgu.

• Ciekły kryształy są to równowagowe, anizotropowe, częściowo uporządkowane

substancje. Ze względu na anizotropię fizycznych właściwości, ciekły kryształy

podobne do zwykłych kryształów. Jednak ze względu na małą lepkość oraz łatwość

deformacji ciekłe kryształy są zbliżone do cieczy. Ciekłe kryształy są zbudowane z

drobin, które posiadają kształt albo długich „cygar”, albo dużych „naleśników”. W

ciekłych kryształach istnieje uporządkowanie długiego zasięgu ale tylko w jednym

albo w dwóch wymiarach.

Klasyfikacja ciał stałych względem ich właściwości fizycznych

W tej klasyfikacji ciał stałych jako kryterium występuje jedna z właściwości

fizycznych: mechaniczna; elektryczna; magnetyczna; termiczna albo optyczna.

Fizyczne właściwości ciał stałych mają ścisły związek z wewnętrzną budową ciała

stałego.

Ze względu na właściwości mechaniczne ciała stałe różnią się odpornością na

mechaniczne działania z zewnątrz typu uderzenia, zginania lub nacisku. Rozróżniają

ciała stałe:

• twarde (diament, korund –Al203),

• kruche (szkło, kwarc),

• ciągliwe (miedź),

• plastyczne

• kowalne (metale),

• sprężyste,

• łupliwe (właściwość tylko kryształów) itd.

Ze względu na właściwości elektryczne ciała stałe dzielimy na:

• dielektryki,

• półprzewodniki,

• przewodniki

• nadprzewodniki.

Dielektryki to są ciała stałe które nie posiadają swobodnych elektronów a zatem są

złymi przewodnikami prądu elektrycznego. Spośród dielektryków osobno wyróżniają:

• piroelektryki,

• ferroelektryki

• piezoelektryki.

Piroelektryki są to kryształy które posiadają niezerową polaryzację elektryczną

r

(makroskopowy moment dipolowy P ) nawet w zerowym polu elektrycznym. Zmiany

r

temperatury kryształu powodują zmianę polaryzacji a zmiana

P

∆ jest wprost

proporcjonalna do zmiany temperatury:

r

r

P

∆ = P T

∆ (0.1)

Efekt określony przez wzór (0.1) nazywa się efektem piroelektrycznym, a składowe

r

wektora P w (0.1) noszą nazwę współczynników efektu piroelektrycznego.

Ferroelektryki są to substancje, które jak i piroelektryki wykazują samoistną

(spontaniczną) polaryzację elektryczną poniżej określonej temperatury (temperatury

Curie T ). Jednak w odróżnieniu od piroelektryków, możemy zawsze odwrócić

C

r

kierunek wektora polaryzacji spontanicznej P stosując zewnętrzne pole elektryczne.

Powyżej temperatury Curie ciało stałe przestaje być ferooelektrykiem i przechodzi w

stan który nazywamy stanem paraelektrycznym. W nieobecności zewnętrznego pola

elektrycznego poniżej T cała objętość ferroelektryka spontanicznie dzieli się na

C

r

małe spolaryzowane obszary o swojej polaryzacji elektrycznej P .. Takie małe

i

r

spolaryzowane obszary nazywają się domenami. Dopuszczalne kierunki wektorów P

w domenach określa symetria kryształu. Jednak w zerowym zewnętrznym polu

r

r

elektrycznym suma wszystkich P jest zawsze równa zeru ∑ P

i = 0

i

Rys.1.3. Pętla histerezy

Zależność polaryzacji kryształu od natężenia zewnętrznego pola elektrycznego jest

przedstawiona na rys.1.3. Ma ona kształt pętli nazywanej pętlą histerezy. Przyłożone

zewnętrzne pole elektryczne powoduje, że ze wzrostem natężenia pola

r

elektrycznego E zaczyna rosnąć polaryzacja początkowo niespolaryzowanego

r

kryształu do maksymalnej wartości P

(punkt a na rys.1.3). Wzrost polaryzacji

Max

kryształu zachodzi w wyniku zmiany granic między domenami, wskutek czego rośnie

r r

r

objętość domen z P E . Maksymalna wartość polaryzacji P

odpowiada stanowi

Max

nasycenia. W tym stanie w krysztale znikają wszystkie domeny z polaryzacją

r

r r

nierównoległą do E a domeny z P E zajmują całą objętość kryształu. Jeżeli teraz

zaczniemy zmniejszać natężenie pola elektrycznego, to polaryzacja kryształu

r

zaczyna maleć (rys.1.3). Jednak przy E = 0 polaryzacja nie staje się równa zeru, a

r

osiąga wartość P , która nosi nazwę polaryzacji szczątkowej. Polaryzacja znika

s

całkowicie tylko pod wpływem przeciwnie skierowanego pola elektrycznego o

r

r

natężeniu − E . Wartość natężenia − E nazywa się polem koercji

c

c

Piezoelektryki są to kryształy, w których występuję efekt piezoelektryczny.

Rozróżniamy efekt piezoelektryczny prosty i odwrotny. Efekt piezoelektryczny prosty

obejmuje zjawiska polegające na tym, że w pewnych kryształach naprężenia

mechaniczne albo deformacje powodują wystąpienie w nich polaryzacji elektrycznej

albo pola elektrycznego, które jest wprost proporcjonalne do wielkości przyłożonego

naprężenia albo deformacji. Natomiast efekt piezoelektryczny odwrotny, jak wynika z

nazwy efektu, obejmuje grupę zjawisk polegających na tym, że kryształ pod wpływem

zewnętrznego pola elektrycznego albo zmiany polaryzacji elektrycznej kryształu

deformuje się i zmienia swój kształt.

Ze względu na właściwości magnetyczne ciała stałe dzielimy na

• diamagnetyki,

• paramagnetyki

• ciała uporządkowane magnetycznie ( magnetyki).

Diamagnetyki są to substancje, które w zewnętrznym polu magnetycznym o indukcji

r

r

r

B uzyskują indukowane namagnesowanie J skierowane przeciwnie do B Innymi

słowy podatność magnetyczna diamagnetyków jest ujemna. Diamagnetyki są

odpychane przez magnes. Własności diamagnetyczne posiadają substancje

zbudowane z atomów (cząsteczek) o zerowym wypadkowym momencie

magnetycznym.

Paramagnetyki są to substancje, które w zewnętrznym polu magnetycznym o indukcji

r

r

B uzyskują indukowane namagnesowanie J skierowane wzdłuż B

Innymi słowy podatność magnetyczna paramagnetyków jest dodatnia. Do

paramagnetyków należą substancje, w których atomy (cząsteczki) mają niezerowe

momenty magnetyczne. Gdy brak zewnętrznego pola magnetycznego, momenty

magnetyczne cząsteczek są zorientowane chaotyczne, tak że wypadkowe

namagnesowanie substancji jest zerowe. W zewnętrznym polu magnetycznym

r

B każdy z momentów magnetycznych zaczyna wykonywać precesję Larmora

r

dookoła wektora B , wskutek czego substancja uzyskuje namagnesowanie

r

r

J skierowane równolegle do B . Paramagnetyki są przyciągane przez magnes.

Magnetyki

są

to

substancje

które

wykazują

samoistne

(spontaniczne)

namagnesowanie

niżej określonej temperatury (temperatury Curie T ) nawet w nieobecności

C

zewnętrznego pola magnetycznego. Temperatura Curie oddziela nieuporządkowaną

fazę paramagnetyczną (przy T > TC ) od uporządkowanej magnetycznie fazy (przy

T < T ). Magnetyki wykazują dużą podatność magnetyczną i są podzielone na

C

ferromagnetyki, antyferromagnetyki i ferrimagnetyki (rys.1.4).W ferromagnetykach

wszystkie momenty magnetyczne atomów są uporządkowane w jednym kierunku. W

ferromagnetykach, podobnie do ferroelektryków, w zerowym zewnętrznym polu

r

magnetycznym powstają domeny o swoim namagnesowaniu J a zależność

i

r

r

r

J = ∑ J od indukcji zewnętrznego pola magnetycznego B ma charakter pętli

i

histerezy (rys.1.3).Rys.1.4. Różne typy uporządkowania magnetycznego W

domenach antyferromagnetyków część momentów magnetycznych cząsteczek jest

r

uporządkowana w jednym kierunku i tworzy wypadkowe namagnesowanie J , zaś

inna część jest uporządkowana w przeciwnym kierunku i wypadkowe

namagnesowanie tych cząsteczek wynosi ↓ ↑ J = − J (rys.1.4).

W ferrimagnetykach, tak samo jak w antyferromagnetykach, mamy dwie (a czasami

kilka) „podsieci” uporządkowanych momentów magnetycznych, jednak tutaj ↓ ↑ J ≠ − J

(rys.1.4).

Ze względu na właściwości optyczne ciała stałe są różne względem barwy, połysku,

widma absorpcji i emisji światła. W niektórych kryształach obserwuje się zjawisko

podwójnego załamania światła, polegające na tym, że padający na kryształ promień

świetlny rozszczepia się na dwa promienie, które rozchodzą się w krysztale w

różnych kierunkach z różnymi prędkościami. Ciała stałe różnią się względem zmian

swoich właściwości optycznych w zewnętrznym polu elektrycznym (efekt

elektrooptyczny) oraz pod wpływem przyłożonego z zewnątrz naprężenia

mechanicznego (efekt elastooptyczny).

Promieniowanie termiczne ciał. Prawo Kirchoffa.

Promieniowanie termiczne ciał w myśl klasycznej elektrodynamiki powstaje w

wyniku przyspieszeń, jakich doznają ładunki elektryczne w cząsteczkach w następstwie ruchu

cieplnego. Zgodnie z prawami elektrodynamiki klasycznej każdy ładunek, który posiada

różne od zera przyspieszenie, wypromieniowuje falę elektromagnetyczną. Można zatem

krótko stwierdzić, że promieniowanie cieplne jest to promieniowanie elektromagnetyczne

atomów i cząsteczek powstające kosztem ich ruchu cieplnego. Z przedstawionego określenia

wynika, że promieniuje każde ciało, o temperaturze większej od zera bezwzględnego. Należy

zauważyć, nie wnikając na razie w uzasadnienie tego stwierdzenia, że długości fal

emitowanego promieniowania cieplnego zależą od budowy atomów i cząsteczek oraz

struktury ciała. W przypadku ciał stałych i cieczy widmo promieniowania jest ciągłe i

obejmuje szeroki zakres długości fal. Przy wzroście temperatury ciała wartości emitowanych

długości fal przesuwają w kierunku fal krótszych i po przekroczeniu ok. 500C (773K) widmo

promieniowania cieplnego zaczyna być widzialne - osiąga zakres światła widzialnego. Część

promieniowania cieplnego staje się wtedy widzialna.

Ciało emituje promieniowanie cieplne kosztem doprowadzonego z zewnątrz ciepła lub

kosztem energii wewnętrznej ciała. Jeżeli promieniowanie to pada na inne ciało, wówczas w

wyniku oddziaływania pola elekromagnetycznego fali z elektrycznymi ładunkami substancji

część energii unoszonej przez falę ulegnie absorpcji, przechodząc w końcowym efekcie

powtórnie w energię ruchu cieplnego. Jest więc promieniowanie cieplne obok konwekcji i

przewodnictwa cieplnego, jedną z form wymiany ciepła. Ta forma wymiany ciepła,

odbywająca się za pośrednictwem fal elektromagnetycznych wyróżnia się tym, że może

zachodzić również w próżni.

Własności emisyjne ciała charakteryzuje wielkość

M , zwana emitancją

T

promieniowania. Określa ją związek

dW

M =

, (1.1)

T

dS

gdzie W odpowiada mocy wypromieniowanej energii dS jest elementem powierzchni ciała

promieniującego. Można zatem określić emitancję jako wielkość liczbową równą

strumieniowi promieniowania (moc z jednostki powierzchni). Jednostką emitancji w układzie

SI jest W/m2 . Za pomocą elementu rozszczepiającego światło w postaci siatki dyfrakcyjnej

lub pryzmatu z materiału przepuszczającego promieniowanie cieplne (np. z monokryształów

NaCl lub LiF) można otrzymać widmo promieniowania cieplnego. Umieszczając z kolei w

różnych

częściach

widma

detektor

promieniowania

można

zmierzyć

emitancję

promieniowania dM w wąskich przedziałach długości fal od λ do λ + dλ .Wielkość

T

wyrażoną stosunkiem:

dM

M

T

=

,

λ

(1.2)

T

dλ

Nazywamy spektralną (widmową) emitancją promieniowania lub spektralną gęstością

emitancji lub funkcją rozkładu widmowego promieniowania danego ciała. Emitancja

spektralna M λ jest zatem liczbowo równa strumieniowi promieniowania w jednostkowym

T

przedziale długości fali w pobliżu długości λ . Oczywiście emitancję promieniowania

M zwaną często całkowitą emitancją, otrzymamy całkując emitancję spektralną po

T

wszystkich długościach fal:

∞

M = ∫ M

(1.3)

T

λ T λ

d

0

Własności absorpcyjne ciała charakteryzuje spektralny czyli widmowy współczynnik

pochłaniania (absorpcji) αλ . Jest to bezwymiarowa liczba określająca jaka część padającego

T

na ciało promieniowania o długości fali od λ do λ + dλ ulega absorpcji. Oczywiście

α

. Podobnie jak emitancja spektralna tak i spektralny współczynnik absorpcji zależy od

T

λ ≤ 1

rodzaju ciała, stanu jego powierzchni, temperatury oraz długości fali promieniowania.

Charakterystyczne dla różnych ciał różnice wartości w różnych częściach widma sprawiają,

że ciała nie emitujące własnego światła, mają różne barwy. Ciało oświetlone światłem białym

jest barwy np. zielonej, jeżeli nie pochłania, a odbija zielone światło. Barwa ciała zależy też

od składu widmowego, czyli od przebiegu funkcji

M λ = f

promieniowania

T

(λ)

oświetlającego dane ciało. Ciało nazywamy szarym, jeżeli jego spektralny współczynnik

absorpcji praktycznie jest stały w dużym zakresie długości fal α λ = α = const . Ciało, które

T

T

by niezależnie od swojej temperatury i długości fali promieniowania całkowicie pochłaniało

padający na nie strumień energii promieniowania, nazywa się ciałem doskonale czarnym.

Zatem spektralny współczynnik absorpcji ciała doskonale czarnego, oznaczmy go symbolem

α , jest równy jedności niezależnie od długości fali i temperatury:

0 T

λ

α λ

(1.4)

T = 1

0

Ciało doskonale czarne jest ciałem wyidealizowanym. Ciała rzeczywiste zawsze odbijają s

absorpcji mniejszy od jedności. Do materiałów, których spektralny współczynnik absorpcji w

zakresie długości promieniowania widzialnego jest bardzo bliski jedności należą: sadza,

czerń platynowa, czarny aksamit. Najlepszym jednak przybliżeniem ciała doskonale czarnego

jest mały otwór w wnęce o powierzchni ścianek znacznie przekraczającej powierzchnię

otworu.

Jeżeli układ ciał odizolujemy termicznie, otaczając ciała doskonale odbijającą i nie

przepuszczalną dla promieni powłoką, wówczas w takim układzie po pewnym czasie dojdzie

do równowagi termicznej i wszystkie ciała osiągną jednakową i stałą temperaturę. Oznacza

to, że każde ciało układu w jednostce czasu emituje wtedy tyle samo energii co pochlania.

Zatem ciała, które dla określonych λ i T silnie absorbują promieniowanie (mają duże

wartości współczynnika α λ ) muszą je równocześnie intensywnie emitować, tzn.

T

charakteryzować się dużymi wartościami spektralnej emitancji M λ . Dobre absorbenty są

T

dobrymi emiterami. Opisaną powyżej sytuację możemy ująć w sposób bardziej formalny.

Rozważmy pewną liczbę ciał ( i = ,

1 2K n) znajdujących się w środku opisanej powyżej

powłoki, ze względu na równowagę termodynamiczną możemy napisać że energia

absorbowana i emitowana przez każde ciało w czasie ∆ t przez powierzchnię ∆ S dla fal od

i

λ do λ + dλ wynosi:

M

α

1λ ∆ S ∆ t

1

=

S

1λ ∆

∆ tI

1

M

S

α

2λ ∆ 2∆ t =

2λ ∆ S 2∆ tI (1.5)

M

M

α

λ∆ S ∆ t =

λ∆ S ∆ tI

n

n

n

n 1

gdzie I jest natężeniem promieniowania. Należy zauważyć, że ze względu na równowagę

termodynamiczną I jest izotropowe w każdym miejscu przestrzeni takie samo. Ciała

zanurzone są w kąpieli z promieniowania . Dzieląc lewe strony równań przez prawe i biorąc

pod uwagę stałość I otrzymujemy:

M

M

M

M

1λ Y

1λ T

nλ T

0λ T

=

= L =

=

α

α

α

(1.6)

1

1λ T

1λ T

nλ T

Wynik ten stanowi w praktyce treść prawa Kirchoffa. Prawo to głosi, ze dla dowolnego ciała

stosunek jego spektralnej emitancji do spektralnego współczynnika absorpcji jest jedna i tą

samą, uniwersalną funkcją długości fali i temperatury ciała:

M λ T = f (λ, T)

α

(1.7)

λ T

Oczywiście ostatnie równanie słuszne jest w szczególności dla ciała doskonale czarnego, dla

którego α λ

. Oznaczając przez M

spektralną emitancję ciała doskonale czarnego

T = 1

0

0λ T

możemy napisać:

M 0λ T = M

= f λ ,

0 T

( T )

α

λ

(1.8)

0 λ T

oraz

M

= α M

λ

(1.9)

T

λ T

0λ T

Uniwersalną funkcją f (λ, T ) jest więc funkcją rozkładu widmowego promieniowania ciała

doskonale czarnego M

. Na tym właśnie polega zasadnicze znaczenie modelu

0λ T

wyidealizowanego ciała czarnego, że funkcja rozkładu promieniowania tego modelu opisuje

właściwości ciał rzeczywistych. Z prawa Kirchoffa wyrażonego dwoma ostatnimi

związkami wynika, że jeżeli w danej temperaturze ciało nie pochłania promieniowania w

przedziale od λ do λ + dλ to nie może ono także promieniować w tym przedziale długości

fal (jeżeli αλ

, to M λ

). Z drugiej strony z tego, że spektralny współczynnik

T = 0

T = 0

absorpcji αλ jest bliski jedności nie wynika że duża jest spektralna emitancja ciała M

T

λ ,

T

gdyż w rozważanej temperaturze T ciało doskonale czarne może nie emitować fal w

rozważanym przedziale długości ( M

α

λ

). Ponieważ λ

więc zawsze M

< M tzn.

T < 1

T = 0

0

λ T

0λ T

ciało rzeczywiste słabiej promieniuje niż ciało doskonale czarne. Dla określonej temperatury

T = const wykresy funkcji rozkładu widmowego promieniowania ciał rzeczywistych w całym

zakresie długości fal leżą poniżej krzywej rozkładu widmowego ciała doskonale czarnego.

Korzystając z (1.9) można napisać, że:

∞

M

= ∫

(1.10)

T

αλ M

T

0λ T

λ

d

0

Promieniowanie ciała doskonale czarnego

Przed przystąpieniem do znalezienia rozkładu widmowego ciała doskonale czarnego

sformułujmy pewne postulaty. Rozpatrzmy doskonały absorber , ciało doskonale czarne, które

pochłania całość padającego promieniowania. Promieniowanie termiczne takiego ciała

będziemy nazywać promieniowaniem ciała doskonale czarnego. Mając taki doskonały

pochłaniacz promieniowania wprowadzimy jego model fizyczny. Modelem tym będzie duże

wydrążenie z małym otworem na zewnątrz, co powoduje że prawdopodobieństwo wydobycia

się na zewnątrz promienia, który wpadł do środka przez otwór, jest bardzo małe, o ile wnęka

jest dostatecznie duża. Otwór jest więc doskonałym absorberem, a ta część energii która

wycieka w przezeń z wewnętrznego pola promieniowania istniejącego we wnęce stanowi

promieniowanie ciała doskonale czarnego. Można podać następujące własności

promieniowania w jamie:

1. Równowagowy rozkład gęstości energii uλ tego pola zależy wyłącznie od

temperatury ścianek tzn. uλ ( T ) , które możemy uważać za doskonałe zwierciadła.

2. Promieniowanie jest izotropowe tzn. nie jest w żaden sposób ukierunkowane.

3. Promieniowanie jest równoważne emitowanemu przez ciało czarne.

4. Promieniowanie nie zależy od rodzaju materiału z którego są zbudowanie ściany

wydrążenia.

5. Promieniowanie nie zależy od kształtu wnęki.

Można wykazać, że jeżeli którekolwiek z powyższych stwierdzeń nie byłoby prawdziwe

to można by, dzięki odpowiedniemu rozmieszczeniu pochłaniaczy energii wewnątrz

wnęki, skonstruować maszynę cieplną, która pogwałciłaby II zasadę termodynamiki.

Biorąc pod uwagę punkt 1. możemy zapisać całkowitą gęstość energii, to jest energię

pochodzącą od wszystkich długości fal pola promieniowania wnęki na jednostkę objętości

jako :

∞

u = ∫ uλ λ

d (1.11)

0

Zakładamy, że pole promieniowania wnęki jest izotropowe (własność 2). W takim razie

ciśnienie wywierane na ściany wnęki (ciała doskonale czarnego) przez izotropowe

promieniowanie zależy od gęstości lokalnej gęstości pola jak:

1

p = u (1.12)

3

Przypuśćmy, że mamy wnękę o objętości V wypełnioną izotropowym promieniowaniem

o gęstości u . W tym przypadku I zasada termodynamiki dla takiego układu wygląda

następująco:

1

1

4

dQ = dU + pdV = d u

( V ) + udV = udV + Vdu + udV = Vdu + udV (1.13)

3

3

3

dzieląc dQ przez T absolutną temperaturę ścian wnęki otrzymujemy przyrost entropii

dQ

4

V  u

∂ 

4 u

dS =

= Vdu + udV = 

 dT +

dV (1.14)

T

3

T  T

∂ 

3 T

V

w ostatnim związku wzięliśmy pod uwagę postulat 1 mówiący o tym, że u jest tylko

funkcją temperatury. Wobec tego, że S( V , T ) jest funkcją stanu możemy napisać:

 S

∂ 

 S

∂ 

dS = 

 dT + 

 dV (1.15)

 T

∂ 

 V

∂ 

V

T

a poprzez to:

 S

∂ 

V  u

∂ 

 S

∂ 

4 u



 =







 =

(1.16).

 T

∂ 

T  T

∂ 

 V

∂ 

3 T

V

V

T

Korzystając z twierdzenia Schwartza

∂2 S

∂2 S

=

(1.17)

V

∂ T

∂

T

∂ V

∂

otrzymujemy:

1  u

∂ 

u

4

4  u

∂ 



 = −

+



 (1.18)

T  T

∂ 

T

3 2

T

3  T

∂ 

V

V

wobec tego:

1 du

4 u

= −

(1.19)

2

3 T dT

3 T

rozwiązując to powyższe równanie różniczkowe otrzymujemy :

u( T )

4

= α T (1.20)

Jest to istotny rezultat mówiący, że całkowita gęstość energii promieniowania wnęki jest

proporcjonalna do 4-tej potęgi temperatury wyrażonej w kelwinach. Rezultat ten prowadzi

bezpośrednio do prawa Stefana-Boltzmanna, mówiącego że jednostka powierzchni ciała

doskonale czarnego wypromieniowuje całkowitą moc równą:

4

M

= T

σ (1.21)

0 T

Gdzie σ jest stał

−

ą Stefana-Boltzmanna

8

2

5.67 ×10 W / m . W ten sposób otrzymaliśmy

prawo opisujące moc wypromieniowaną przez element powierzchni ciała doskonale

czarnego używając praw termodynamiki.

Zadanie wyznaczenia postaci uλ ( T ) lub M

jednak pozostaje nam do rozwiązania.

0λ T