Automatyka i Robotyka –Analiza – Wykład 1 – dr Adam Ćmiel – [e-mail] Dr Adam Ćmiel (A4 p.115, tel. 35-88,

[e-mail],

http://home.agh.edu.pl/~cmiel/))

Podręczniki:

• Fichtenholz G.M. Rachunek różniczkowy i całkowy tom 1-3.

• Gewert M, Skoczylas Z. Analiza matematyczna 1 i 2. Ofic.wyd. GIS (dla studentów Pol.Wrocł.) Definicje twierdzenia i wzory , Przykłady i zadania, Kolokwia i egzaminy

• Gewert M, Skoczylas Z. Elementy analizy wektorowej. Ofic.wyd. GIS

• Rudin W. Podstawy analizy matematycznej

• Kołodziej W. Analiza matematyczna (seria Matematyka dla Politechnik)

• Mączyński M., Muszynski J., Traczyk T., Żakowski W. Matematyka – podręcznik podstawowy dla WST

• Leja F. Rachunek różniczkowy i całkowy

• Żakowski W. i inni Matematyka e

Zbiory zadań:

• Banaś J., Wędrychowicz S. Zbiór zadań z analizy matematycznej

• Krysicki W. Analiza matematyczna w zadaniach cz. I i II

• Stankiewicz W. Zadania z matematyki dla wyższych uczelni technicznych cz. I (a i b) i II WYBRANE PORZĄDKOWE WŁASNOŚCI ZBIORÓW LICZBOWYCH

( N , ≤) jest dobrze uporządkowany ⇔ ∀ ⊂ ∃

A N

nmA

(tzn .w każdym podzbiorze zbioru N istnieje element najmniejszy) ( Q, ≤) jest gęsto uporządkowany ⇔ ∀

(uwaga a< b ⇔ a ≤ b i a≠ b)

, ∈ ∃

: x

∈

< z < y

x y Q

z Q

x< y

(tzn. pomiędzy dwoma liczbami wymiernymi zawsze można znaleźć trzecią liczbę wymierną) ( R, ≤) jest uporządkowany w sposób ciągły :

Zasada ciągłości zbioru liczb rzeczywistych

• każdy ograniczony od góry podzbiór zbioru liczb rzeczywistych posiada kres górny

• każdy ograniczony od dołu podzbiór zbioru liczb rzeczywistych posiada kres dolny.

Definicje kresów podzbiorów zbioru R



∀



∀ ∈ : x

x A

≥

∈ : x

a

x A

≤ a

a=supA ⇔ 

a=infA ⇔ 

∀ε >

∀ε 0

ε

> ∃ ∈

a

y A

+ ≥ y

0 ∃ ∈

a

ε

y A

− ≤ y



Zastosowanie zasady ciągłości do zdefiniowania potęgi o dowolnym wykładniku a∈ R+.

•

−

1

potęga o wykładniku całkowitym n

a = a

n =

0

a =

L a , a

,

1

3

2

1

n

a

n− razy

m

•

1

m





potęga o wykładniku wymiernym a = inf{ x ∈ Q : x > 0 ∧ x n n

≥ }

a ;

n

n

a

=

1

 a 





• potęga o wykładniku rzeczywistym

β

β

−β

dla a>1 a

= inf{ a x : x ∈ Q ∧ x ≥ β}; dla 0< a<1 a = (1) a

1

Automatyka i Robotyka –Analiza – Wykład 1 – dr Adam Ćmiel – [e-mail] Uwagi o zasadzie indukcji matematycznej { T ( n ) ∧ (

T ( n) ⇒

∀

T ( n

)

1 )} ⇒

+

T ( n)

0

n≥

∀

n

≥

0

n

0

n

Zasada indukcji matematycznej jest konsekwencją dobrego uporządkowaniu zbioru N liczb naturalnych, czyli w każdym zbiorze dobrze uporządkowanym prawdziwa jest zasada indukcji matematycznej.

Dowód. Załóżmy, że { T ( n ) ∧ (

T ( n) ⇒

∀

T (

, czyli że prawdziwy jest poprzednik implikacji w

n≥

n

n

+ )

1 )}

0

0

zasadzie indukcji matematycznej. Niech Z={ n≥ n 0: T( n) nie jest prawdziwa}. Jeżeli Z=∅, to zachodzi zasada indukcji matematycznej. Jeżeli Z≠∅, to w Z istnieje element najmniejszy (dobre uporządkowanie Z) powiedzmy m ∈

0

Z. Uwaga.: m 0> n 0 bo T( n 0) jest prawdziwe. Ponieważ m 0-1∉Z więc prawdziwe jest T( m 0-1) a z założenia otrzymujemy, że prawdziwe jest T( m

∉

0), czyli m 0

Z – sprzeczność !

RODZINY ZBIORÓW I DZIAŁANIA UOGÓLNIONE

X – ustalony zbiór (przestrzeń), T≠φ niepusty zbiór indeksów. Funkcja T∋ t→ A ⊂ X określa rodzinę t

zbiorów { A }

indeksowaną indeksami t ze zbioru indeksów T.

t

t T

∈

Suma (unia) zbiorów rodziny{ A }

:

t

t T

∈

U A = { x ∈ X : ∃ x ∈ A }

t

t T

∈

t

t T

∈

zbiór wszystkich tych elementów, które należą do przynajmniej jednego zbioru A z rodziny { A }

t

t

t T

∈

Iloczyn (przekrój-część wspólna) zbiorów rodziny{ A }

:

t

t T

∈

I A = { x ∈ X : ∀ x

∈

∈ A }-

t

t T

t

t T

∈

zbiór wszystkich tych elementów, które należą do wszystkich zbiorów A rodziny { A }

t

t

t T

∈

ILOCZYN KARTEZJAŃSKI ZBIORÓW

Intuicja Para uporządkowana ( x, y) to zbiór dwuelementowy w którym określono kolejność elementów- formalna definicja- później.

Niech A i B będą dwoma niepustymi zbiorami

Def: Iloczynem kartezjańskim zbiorów A, B≠φ; nazywamy zbiór A × B = {( x, y) : x ∈ A ∧ y ∈ }

B

czyli zbiór par uporządkowanych, takich, że pierwszy element pary należy do pierwszego zbioru, a drugi element do drugiego zbioru.

Przykład. A={1,2,3}, B={•,∗} ,

A× B={(1, •),(2, •),(3, •),(1, ∗),(2, ∗),(3, ∗)}

FUNKCE

Wiadomo, że liczbę rzeczywistą można identyfikować z punktem na osi liczbowej a parę liczb z punktem na płaszczyźnie. Podobnie funkcję można identyfikować z jej wykresem. Prowadzi to do następującej definicji:

2

Automatyka i Robotyka –Analiza – Wykład 1 – dr Adam Ćmiel – [e-mail] Def. Przez funkcję, której argumenty pochodzą ze zbioru X, a wartości z Y rozumiemy podzbiór f⊂ X× Y iloczynu kartezjańskiego spełniający warunek ∀ ∈ ∀

xfy

xfy ⇒

∈

∧

y = y , czyli

x X

y , y

Y

1

2

1

2

1

2

każdemu elementowi zbioru X odpowiada co najwyżej jeden element zbioru Y (warunek prawostronnej jednoznaczności)

Różne zapisy: xfy ⇔ ( x, y) ∈ f ⇔ y = f ( x) Uwagi o mnogościowej definicji pary ( a, b)

Para to ciąg 2-elementowy → ciąg to funkcja na zbiorze N → funkcja to relacja prawostronnie jednoznaczna → relacja to podzbiór iloczynu kartezjańskiego → iloczyn kartezjański to zbiór par

Definicja Kuratowskiego pary uporządkowanej ( a, b) : ( a, b)={{ a},{ a, b}}

Definicja ta spełnia podstawowy warunek : ( a, b)= ( c, d) ⇔ a= c ∧ b= d Pojęcia związane z funkcjami

Dziedzina

D = { x ∈ X : ∃

y

∈

= f ( x)}

f

y Y

Przeciwdziedzina

CI = { y ∈ Y : ∃

y

∈

= f ( x)}

f

x X

Niech f : X → Y i Df = X Wówczas funkcję nazywamy odwzorowaniem zbioru X

Def. (obcięcie funkcji) Jeżeli f : X → Y , A⊂ X , A≠φ to obcięciem funkcji f do zbioru A nazywamy funkcję f

: A → Y , taką że ∀ x∈ A f

A

| A( x)= f( x) (zawężenie dziedziny)

Def. Przeciwobrazem zbioru B⊂ Y (poprzez funkcję f) nazywamy zbiór f- -1[ B]={ x∈ X: f( x) ∈ B}⊂ X

f

X

f -1[ B]

B

Y

Def. Obrazem zbioru A⊂ X (poprzez funkcję f) nazywamy zbiór f[ A]={ y∈ Y : ∃ x∈ A : y= f( x)}⊂ Y

f

X

A

f[ A]

Y

3

Automatyka i Robotyka –Analiza – Wykład 1 – dr Adam Ćmiel – [e-mail] Przeciwobraz zachowuje wszystkie operacje mnogościowe, a obraz tylko niektóre.

Przeciwobraz

Obraz

B

B

1

1

⇒

1 ⊂

[

]

2

1

⊂

⇒

A

A

f A

f [ A ]

1 ⊂

f − [ B ]

2

1

⊂ f − [ B ]

2

2

f −1[ U B ] =

f −1[ B ]

f [ U A ] =

f [ A ]

t

U

t

U

t

t

t T

∈

t T

∈

t T

∈

t T

∈

f −1[ I B ] =

f −1[ B ]

f [ I A ] ⊂

f [ A ]

t

I

t

I

t

t

t T

∈

t T

∈

t T

∈

t T

∈

−1

−

−1

−

Np: f

[ I B ] =

f 1[ B ] , bo x ∈ f [ I B ] ⇔ x ∈

f 1[ B ] . Rzeczywiście

t

I

t

I

t

t

t T

∈

t T

∈

t T

∈

t T

∈

1

x ∈ f − [ I B ] ⇔ f ( x) ∈ I B ⇔

t

∀ ∈ T : f ( x) ∈ B ⇔

t

t

t

t T

∈

t T

∈

t

∀ ∈ T :

1

x ∈ f − [ B ]

1

⇔ x ∈ I f − [ B ]

t

t

t T

∈

Podobnie f [ I A ] ⊂

f [ A ] , bo

t

I

t

t T

∈

t T

∈

y ∈ f [I A ] ⇔ ∃ x ∈

A : y = f ( x) ⇔ ∃ x ∈ X

t

∀ ∈ T : x ∈ A ∧ y f ( x ⇒

=

)

t

I t

t

t T

∈

t T

∈

⇒

t

∀ ∈ T ∃ x ∈ X : x ∈ A ∧ y = f ( x) ⇔ t

∀ ∈ T x

∃ ∈ A : y = f ( x) ⇔ t

∀ ∈ T x ∈ f [ A ] ⇔

t

t

t

⇔ x ∈I f [ A ] t

t T

∈

Uwaga. Implikacji w powyższym rozumowaniu nie można zastąpić równoważnością , gdyż t

∃ ∈ T

x

∀

X ϕ( x, t) ⇒

∈

x

∀ ∈ X ∃ t ∈ T ϕ( x, t) (por. wykład z algebry).

Ważne typy funkcji (odwzorowań): ( f : X → Y , D = X ) f

• f jest różnowartościowa (injekcja) ⇔ ∀

x

x ⇒

∈

≠

f ( x ) ≠ f ( x )

x , x

X

1

2

1

2

1

2

• f jest funkcją „na” (surjekcją) ⇔ f [ X ] = Y (każde wartości z zbioru Y jest funkcyjnie osiągalna)

• f jest funkcją wzajemnie jednoznaczną (bijekcją) ⇔ jest injekcją i surjekcją jednocześnie Złożenie funkcji:

f : X → Y , g: Y⊃ CI

→

f ⊃ D

Z

g

( g o f ) : X∋ x → ( g o f )( x) = g( f ( x)) (rysunek) Funkcja odwrotna

−

Jeśli funkcja f : X → Y jest bijekcją, to można zdefiniować funkcję odwrotną f 1 : Y → X dla

−

funkcji f : X → Y wzorem

1

f

= {( y, x) ∈ Y × X : ( x, y) ∈ f }. Innymi słowy df

1

f − ( y) = x ⇔ y = f ( x) , gdzie x ∈ X , y ∈ Y .

4