1. ODWROTNA TRANSFORMATA LAPLACE'A

Operację wyznaczania funkcji f( t) z danej transformaty operatorowej Laplace'a F( s) wykonuje się przy uŜyciu odwrotnej transformaty Laplace’a, a którą wyznacza się z następującego wzoru

c

1

+ j

 f t

( ), t ≥ 0

£-1{ F( s }

) =

∫ ∞

st

F ( s) e ds = 

c− j∞

2 j

π



,

0 t < 0

gdzie c jest stałą, która jest większa od części rzeczywistych wszystkich punktów funkcji na płaszczyźnie s, w których funkcja F( s) nie istnieje. Dla prostych funkcji, operacja znajdowania odwrotnej transformaty operatorowej polega na wyszukaniu odpowiedniej funkcji z tabeli transformat Laplace'a (tabela w poprzednim podpunkcie).

Dla funkcji złoŜonych, odwrotna transformata Laplace'a znajdowana jest przez rozkład na ułamki proste i następnie przez zastosowanie tabeli transformat.

2. ROZKŁAD NA UŁAMKI PROSTE

Transformata Laplace'a rozwiązująca równanie róŜniczkowe jest funkcją operatorową względem s, i moŜe to zostać zapisane następująco: L( s)

G( s) =

M ( s)

gdzie L( s) i M( s) są wielomianami względem s. Równanie zostało zapisane przy załoŜeniu, Ŝe rząd wielomianu M( s) jest większy od rzędu wielomianu L( s).

Wielomian mianownika M( s) moŜe być zapisany następująco: n

n 1

M ( s) = a s + a

s −

−

+ ... + a s + a

n

n 1

1

0

gdzie a 0 , a 1 ,..., an są współczynnikami rzeczywistymi.

Metoda rozkładu na ułamki proste zostanie przedstawiona dla następujących przypadków: gdy bieguny funkcji G( s) są jednokrotne, wielokrotne i zespolone.

_________________________________________________

1 _

_______________________________________________

Powered by xtoff®

lalik.krzysztof@wp.pl

2.1.1 Funkcja G(s) ma bieguny jednokrotne

Jeśli wszystkie bieguny funkcji operatorowej G( s) są jednokrotne (pojedyncze) i rzeczywiste, wówczas moŜna zapisać:

L( s)

L( s)

G( s) =

=

(*)

M ( s)

( s − s )( s − s )...( s − s ) 1

2

n

gdzie s 1 ≠ s 2 ≠…≠ sn . Jeśli rząd licznika jest mniejszy od rzędu mianownika, wówczas rozkład takiej funkcji na ułamki zwykłe jest następujący: L( s)

K

K

K

G( s)

1

2

=

=

+

+ ...

n

+

M ( s)

( s − s )

( s − s )

( s − s )

1

2

n

Następnie przystępuje się do wyznaczania współczynników Ki ( i = 1, 2, ..., n).

Polega to na sprowadzeniu sumy ułamków zwykłych do wspólnego mianownika i porównaniu ze sobą odpowiadających sobie współczynników liczników.

Sposób rozwiązywania został przedstawiony w części zadania rozwiązane Jeśli stopień wielomianu licznika nie jest niŜszy aniŜeli stopień wielomianu mianownika, wówczas wielomian licznika musi zostać podzielony przez wielomian mianownika, aŜ uzyska się stopień wielomianu resztkowego niŜszy od stopnia mianownika

L( s)

L( s)

wielomian resztowy

G( s) =

=

= C +

M ( s)

( s − s )( s − s )...( s − s ) ( s − s )( s − s )...( s − s ) 1

2

n

1

2

n

C-liczba całkowita

2.1.2 Funkcja G(s) ma bieguny jednokrotne-metoda residuów Drugi znacznie szybszy, tzw. metodą residuów, polega na obustronnym pomnoŜeniu równania (*) przez ( s-si), podstawieniu za s = si i wyznaczenie współczynnika Ki. Odbywa się następująco:



L( s) 

L( s )

K = ( s − s )

i



=

i

i



M ( s) 

( s − s )( s − s )...( s − s )

=

i

1

i

2

i

n

s si

_________________________________________________

2 _

_______________________________________________

Powered by xtoff®

lalik.krzysztof@wp.pl

2.2. Funkcja G(s) ma bieguny wielokrotne

Jeśli bieguny (pierwiastki równania charakterystycznego) funkcji operatorowej G( s) są wielokrotne i rzeczywiste wówczas moŜna zapisać: L( s)

L( s)

G( s) =

=

r

M ( s)

( s − s )( s − s )...( s − s

)( s

−

− s )

1

2

n r

i

gdzie i ≠ 1, 2, ..., n− r. W tym przypadku funkcja operatorowa G( s) moŜe być wyraŜona w sposób:

L( s)

K

K

K

A

A

A

1

2

n− r

1

2

r

G( s) =

=

+

+ ... +

+

+

+ ... +

2

r

M ( s)

( s − s )

( s − s )

( s − s

)

( s

−

− s ) ( s − s )

( s − s )

1

2

n r

1

1

1

Współczynniki K 1 , K 2 ,..., Kn− r odpowiadają biegunom pojedynczym, współczynniki A 1 , A 2 ,..., Ar odpowiadają biegunom wielokrotnym i mogą zostać wyznaczone w identyczny sposób jak w punkcie 2.1. Przykład takŜe został zamieszczony w części zadania rozwiązane.

2.3. Funkcja G(s) ma bieguny zespolone

W tym przypadku transmitancję zapisujemy w następującej postaci: L( s)

L( s)

G( s) =

=

M ( s)

( s − s )( s − s )...( s − s

)( 2

s

−

+ ps + q)

1

2

n 2

Gdzie:

p, q – stałe

p-4q<0 (!!!)

Sposób postępowania z pierwiastkami rzeczywistymi jest analogiczny do pkt 2.1

i 2.2. Natomiast bieguny zespolone powinny mieć następujący zapis: L( s)

Bs + D

G( s) =

= ... +

...( 2

s + ps + q)

( 2

s + ps + q)

W przypadku wielokrotnych biegunów zespolonych stosujemy superpozycję metod z pkt 2.2 i bieŜącego.

_________________________________________________

3 _

_______________________________________________

Powered by xtoff®

lalik.krzysztof@wp.pl