Zadanie 1 W stosownie wybranym ortonormalnym układzie współrzędnych w R2 zapisać równania kanoniczne następujących stożkowych, których ognisko jest odległe od kierownicy o 3: (a) elipsy o mimośrodzie ε = 1 ;
2
(b) hiperboli o mimośrodzie ε = 2;
(c) paraboli.
Zadanie 2 Napisać równania stożkowych danych w poprzednim zadaniu, a następnie równania obróconych o kąt π dookoła początku kanonicznego układu współrzędnych.
4
Zadanie 3 Napisać równania stożkowych o kierownicy k : x + y = 0, ognisku (3, 3) i mi-mośrodzie równym: (a) ε = 1 ; (b)
2
ε = 2; (c) ε = 1.
Zadanie 4 Napisać równania zbioru wszystkich takich punktów R2, dla których: (a) suma odległości od punktów ( 1, 1) i (1, 1) jest równa 4; (b) suma odległości od punktów ( 1, 1) i (1, 1) jest równa 1; (c) wartość bezwzględna różnicy odległości punktów ( 1, 1) i (1, 1) jest równa 4; (d) wartość bezwzględna różnicy odległości punktów ( 1, 1) i (1, 1) jest równa 1.
2
Zadanie 5 Punkt P 2 R2 dzieli odcinek ślizgający się swoimi końcami po osiach ortonormalnego układu współrzędnych na dwie części o długości d1 i d2. Po jakiej krzywej porusza się punkt P?
Zadanie 6 Wykazać, że proste o równaniach bx ay = 0, bx + ay = 0 są asymptotami hiperboli
o równaniu x2
y2 = 1 (a > 0, b > 0).
a2
b2
Zadanie 7 Znaleźć punkt na hiperboli o równaniu y2 = 64x, w którym styczna jest prostopadła do wektora [4, 3].
Zadanie 8 Prosta 3x
4y
3 = 0 przecina parabolę y2 = 4x w punktach A i B, w których poprowadzono styczne do paraboli. Obliczyć miarę kąta między tymi stycznymi.
Zadanie 9 W punkcie (4, 4) poprowadzono paraboli y2 = 4x poprowadzono do niej normalną.
Obliczyć długość odcinka tej normalnej zawartego wewnątrz paraboli.
Zadanie 10 Udowodnić, że styczne do paraboli wyprowadzone z dowolnego punktu jej kierownicy są do siebie prostopadłe.
Zadanie 11 W parabolę o równaniu y2 = 2px wpisano trójkąt równoboczny, którego wierzchołek znajduje się w wierzchołku paraboli. Znaleźć pole tego trójkąta.
Zadanie 12 W paraboli y2 = 8x przeprowadzono przez ognisko cięciwę MN pod kątem π i ko ńce 4
jej połączono z wierzchołkiem O paraboli. Obliczyć pole trójkąta OMN.
1
Zadanie 13 Znaleźć zbiór punktów, z których odcinek o ko ńcach p = (1, 2) i q = ( 3, 1)
widać pod kątem π .
4
(Wskazówka: Kąty wpisane w koło oparte na tym samym łuku mają identyczne miary i kąt wpisany jest dwa razy mniejszy od kąta środkowego opartego na tym samym łuku.) Rys. Kąty wpisany i kąt środkowy w kole
Zadanie 14 Udowodnić, że pole trójkąta utworzonego przez styczną do hiperboli x2
y2 = 1 i
a2
b2
jej każdą asymptotę jest wielkością stałą równą ab.
Zadanie 15 Ze środka hiperboli x2
y2 = a2 zakreślono okrąg przechodzący przez jej ogniska.
Obliczyć kąt pod jakim przecinają się te krzywe. [Kątem między krzywymi nazywamy kąt pomiędzy stycznymi do tych krzywych w punkcie ich przecięcia.]
Zadanie 16 W elipsie x2 + y2 = 1 wpisany jest prostokąt, w którym podstawa jest n razy większa a2
b2
od wysokości. Znaleźć pole tego prostokąta.
Zadanie 17 W elipsie x2 + y2 = 1 poprowadzono średnicę nachyloną do osi wielkiej pod kątem a2
b2
ϕ = arctan m. Ko ńce tej średnicy połączono z ogniskami. Znaleźć pole otrzymanego równoległoboku.
Zadanie 18 Wyznaczyć zbiór wszystkich punktów, dla których suma kwadratów odległości od wierzchołków trójkąta ABC—gdzie A = (2, 1), B = (13, 5), C = (3, 9)—jest stała i równa 298.
Zadanie 19 Przez dany punkt P = (6, 4) przechodzi prosta L przecinająca elipsę o równaniu x2 + y2 = 1 w punktach C
25
9
1 i C2. Wyznaczyć zbiór wszystkich środków cięciw C1C2, jeśli prosta L obraca się naokoło punktu P.
Zadanie 20 Na osi paraboli y2 = 2px wzięto dwa punkty A i A0 położone z różnych stron wierzchołka w jednakowych od niego odległościach a. Punkt P należący do paraboli połączono z punktem A0. Prosta LPA0 przechodząca przez punkty P i A0 przecina styczną w wierzchołku paraboli w punkcie Q. Prosta poprowadzona przez Q równolegle do osi paraboli przecina prostą LAP przechodzącą przez A i P w punkcie M. Znaleźć wszystkie punkty M o opisanej własności.
2