Liczby zespolone
1. Znaleźć część rzeczywistą i urojoną liczb zespolonych: (2 − 3 i)(1 + i) , 1 −i ,
2+ i
(1 −i)2 −i .
(1+ i)2+ i
2. Znaleźć liczby rzeczywiste a i b, aby zachodziły równości:
√
√
a( − 2 + i) + b(3 2 + 5 i) = 8 i, a
+
b
= 1 ,
2 − 3 i
3+2 i
a
+ b+1 = 2 .
2 −i
1+ i
3. Rozwiązać równania względem x, y ∈ R: (3 − i) x 2 − (3 + 2 i) x − (1 − i) y = 13 − 10 i, (2 + 3 i) x 2 − (2 + i) x + (4 − 4 i) y = 8 − 17 i.
4. W ciele liczb zespolonych rozwiązać układy równań: (
z + iw = 1
iz + w = 1 + i
(
z + ( i + 1) w = 1
−iz + ( i − 1) w = 1 + i 5. Zaznaczyć na płaszczyźnie zespolonej następujące zbiory:
{z ∈
z− 5
C :
= 1 }
z− 1
{z ∈ C : 2 ¬ |z| ¬ 4 }
{z ∈ C : |z − i| ¬ 1 }
2
{z ∈ C : Argz ¬ π }
4
{z ∈ C : Arg( z − 2) ¬ π }
3
{z ∈ C : |z| 2 = 4Re( z) }
{z ∈ C : (1 − i)¯ z = (1 + i) z}
{z ∈
1
1
C : 1 / 4 ¬ Re
+ Im
¬ 1 / 2 }
¯
z
¯
z
{z ∈
z− 1+ i
C : Im
= 0 }
z− 3 i
{z ∈ C : Im ( z 2 + ¯ z) = 2 − Im z}.
1
6. Rozwiązać równania: z 2 + |z| = 0
¯
z = 2 − z
z 4 = z 4
z+ i 4 = 1
z−i
z 2 + |z| 2 = 0
( z + 2)4 − ( z − 2)4 = 0
z 4 − |z| 4 = 0
z 3 − ( z − i)3 = 0
z 2 + 4 z + 5 = 0
z 2 + (1 + 4 i) z − (5 + i) = 0
7. Przedstawić w postaci trygonometrycznej liczby:
√
− 3 − i
− 1 + i√
− 1 + i 3
1 + i tg α, 0 ¬ α ¬ π/ 2
1 + cos α + sin α
sin α + i cos α
q
√
q
√
2 +
2 + i 2 +
2
8. Mając dane:
z 1 = 2(cos π/ 8 + i sin π/ 8) , z 2 = cos π/ 5 + i sin π/ 5 , z 3 = 3(cos 3 π/ 10 + i sin 3 π/ 10) , obliczyć:
z 1 · z 2
z 1 · z 2 · z 3
z 3 · z 2
1
2
z 2
z 3
9. Obliczyć in oraz (1 − i) n dla n ∈ Z. (Podać wynik w postaci ogólnej.) 10. Wykonać działania:
2
− 1 + 3 i
2
2
2
(1 + i 3)1978
√
1+ i 3 20
1 −i
(1+ i) n , dla n ∈
(1 −i) n− 2
N i n 2
11. Korzystając z dwumianu Newtona oraz wzoru de Moivre’a przedstawić następujące wyrażenia za pomocą sin x oraz cos x: sin 4 x, cos 6 x
(na przykład sin 2 x można zapisać przy pomocy sin x i cos x w postaci: sin 2 x = 2 sin x cos x).
12. Rozwiązać równania:
x 3 − i = 0
x 4 − ( i − 1)4 = 0
√
x 6 −
3 −i = 0
i− 1
x 2 = − 2 + 3 i
√
x 6 − (2 − i 12) = 0
√
5
x 8 −
i− 3
√
= 0
1+ i
3
x 3 − (1 − 2 i)3 = 0, x 4 − (3 − 4 i)4 = 0.
3