ANALIZA A1 Wykład: J. Wróblewski KOLOKWIUM nr 6, zestaw B, 21.11.2006
Zadanie 11.
Obliczyć granicę
3 n 4 + n 2 − 1
3 n 4 + 2 n 2 − 4
3 n 4 + 3 n 2 − 9
lim
+
+
+ ...
n→∞
5 n 5 + n 3 − 1
5 n 5 + 2 n 3 − 8
5 n 5 + 3 n 3 − 27
3 n 4 + kn 2 − k 2
3 n 4 + 2 n 3 − 4 n 2 !
... +
+ ... +
.
5 n 5 + kn 3 − k 3
5 n 5 + 2 n 4 − 8 n 3
Rozwiązanie:
Dana pod znakiem granicy suma ma 2 n składników i zapisuje się wzorem 2 n 3 n 4 + kn 2 − k 2
b
X
n =
.
5 n 5 + kn 3 − k 3
k=1
Szacowanie od dołu daje
2 n 3 n 4 + kn 2 − k 2
2 n 3 n 4 + 0 − 4 n 2
2 n(3 n 4 − 4 n 2) X
X
=
= an .
5 n 5 + kn 3 − k 3
5 n 5 + 2 n 4 − 0
5 n 5 + 2 n 4
k=1
k=1
Szacując od góry otrzymujemy
2 n 3 n 4 + kn 2 − k 2
2 n 3 n 4 + 2 n 3 − 0
2 n(3 n 4 + 2 n 3) X
¬ X
=
= cn .
5 n 5 + kn 3 − k 3
5 n 5 + 0 − 8 n 3
5 n 5 − 8 n 3
k=1
k=1
Ponieważ dla dowolnego n zachodzą nierówności an ¬ bn ¬ cn ,
a ponadto
lim an = lim cn = 6 / 5 , n→∞
n→∞
na mocy twierdzenia o trzech ciągach otrzymujemy lim bn = 6 / 5 .
n→∞
1
W każdym z czterech poniższych zadań udziel czterech niezależnych odpowiedzi TAK/NIE.
Za każde zadanie, w którym podasz cztery poprawne odpowiedzi, otrzymasz 1 punkt.
Za pozostałe zadania nie otrzymasz punktów.
Wyjątki:
Za udzielenie 15 poprawnych odpowiedzi otrzymasz 4 punkty.
Za udzielenie poprawnych odpowiedzi we wszystkich 16 podpunktach otrzymasz 5 punktów.
12.1 Czy jest prawdą, że
n 2
a)
lim
= 2 TAK
n→∞ n
2
n 2
b) lim
= 0 TAK
n→∞ n
3
n
1
c)
lim
2
=
NIE
n→∞ n 3
3
n
1
d) lim
3
=
TAK
n→∞ n 3
6
12.2 Czy jest prawdą, że log ( a + b) = log a + log b, jeżeli 2
2
2
a) a = 2, b = 3 NIE
b) a = 3 / 2, b = 2 NIE
c) a = 2, b = 2 TAK
d) a = 3 / 2, b = 3 TAK
12.3 Ciąg ( an) spełnia warunek
∀
|an − 7 | < 2 .
n 100
Czy stąd wynika, że
a)
∃
|an − 8 | < 1 NIE
n 20
b)
∃
an > 0 NIE
n¬ 20
c)
∀
an > 0 TAK
n 200
d)
∀
an < 10 NIE
n¬ 150
12.4 Czy z tego samego warunku, co w zadaniu powyżej, wynika, że a)
∀
∀ |an − am| < 5 NIE
n 50 m>n
b)
∀
∀ |an − am| < 3 NIE
n 200 m>n
c)
∃
∀ |an − am| < 5 TAK
n¬ 100 m>n
d)
∃
∃ |an − am| < 1 TAK
n 20 m>n
2