lista zada« nr 7
liczba e
Rozgrzewka
1. Wyznacz granice:
1
n
2
n2
lim
1 +
,
lim
1 −
.
n→∞
n + 1
n→∞
n2 + 1
2. Rozstrzygnij zbie»no±¢ szeregów: X 2nn!
X 3nn!
,
.
nn
nn
n
n
wiczenia
1. Wyznacz granice:
√
n
2n
4n + 2n 2n n n!
lim
1 +
,
lim
,
lim
.
n→∞
n2 + 1
n→∞
4n − 2n
n→∞
n
2. Podaj promie« zbie»no±¢ szeregu P n! xn.
n nn
Odpoczynek
1. Udowodnij, »e ci¡g o wyrazach (1 + 1 )n jest rosn¡cy, a ci¡g o wyrazach (1 + 1 )n+1 jest malej¡cy.
n
n
2. Czy ci¡g (1 + 1 )n+12 jest rosn¡cy lub malej¡cy?
n
3. Czy szereg P enn! jest zbie»ny?
n nn
4. Czy szereg P nn jest zbie»ny?
n enn!
5. Udowodnij, »e je±li ci¡g (εn) jest zbie»ny do zera, to
x + ε n
n
lim
1 +
= exp(x).
n→∞
n
6. Udowodnij, »e dla dowolnego ci¡gu (ε
εn
n) takiego, »e εn ∈ {−1, 1}, liczba P∞
jest niewy-
n=0 n!
mierna.
Mateusz Kwa±nicki