Przykładowe zadania na kolokwium: 1.
Udowodnić prawa de Morgana
2.
Rozwiązać nierówność:
2 x 5
4 2 x
a).
1
b).
0
2 x 6
2 x 3
n!
n 2
2 n 1
3.
Zbadać monotoniczność ciągu: a
a
a
n
n
4
n
2 n 3
n
n 4
4.
Obliczyć granice ciągów:
3
3
n n 1
3 2
n n 1
a 5 arctg( n)
a 3 n 1000 *
n
2 2
n 3 n 5
n
2
3
n 3 2
n 5
12 n 6 3 2
n
n n
1 /
12
6
3 4
a
n
8arcsin 1
( / n)
a 4
*
n
42 2
n 19 n 5
n
42 4
n 19 n 5
9 n 5 n
3 3
a 6
n
n
n
a
2
5 4 sin n
n
n
n 3 17 n 66 n n
n
1
1
3
2 n n sin n n
a 1
a
n
5
4
n
2
3
10 n 4 n
4
2 n n
2 n
a
a
n
2
6
1000 e n
n
2
10
n
5.
Proszę wyznaczyć dziedzinę funkcji oraz określić granice tej funkcji na krańcach dziedziny:
x 2
2
1
2 x
f ( x)
f ( x)
f ( x)
f ( x)
x 3
2
x 3
x 8
x 8
1
x
3
f ( x)
f ( x)
f ( x)
3 arcsin x
3 arccos x
arctgx
W zadaniu 5 proszę naszkicować fragmenty wykresów ilustrujące wartości graniczne funkcji na krańcach dziedziny.
6. Wyznaczyć funkcję odwrotną do danej funkcji. Naszkicować wykres funkcji danej i funkcji do niej odwrotnej
a) y x
3 6
b) y x 1
c)
3
y
x 1
1
d) y
2x 4
7.
Rozwiązać układ równań:
2 x y 3 z 1
3 x 2 y 1 z 1
5 x 10 y 6 z 15
x 3 y z 3
2 x 2 y z 2
x 2 y 3 z 0
4 x 3 y 7 z 9
3 x 8 y 4 z 5
2 x 4 y 3 z 5
8.
W wyniku przekształceń elementarnych na wierszach macierzy rozszerzonej pewnego układu trzech równań liniowych z trzema niewiadomymi otrzymano tablicę, jakie jest rozwiązanie tego układu równań: x
y
z
b
x
y
z
b
x
y
z
b
x
y
z
b
2
1 3 1
2
1 3 1
2
1 3 1
2
1 3 1
0
2
4
0
0
2
4
0
0
2
4
0
0
2
4
0
0
0
0
0
0
0
0
5
0
0
5
0
0
0
5 10