Równania liniowe pierwszego rzędu
Definicja 1. Równanie różniczkowe nazywamy liniowym jednorodnym, gdy jest ono postaci y0 + f ( x) y = 0 .
(RJ)
Jest to równanie o rozdzielonych zmiennych.
Definicja 2. Równanie różniczkowe nazywamy liniowym niejednorodnym, gdy jest ono postaci y0 + f ( x) y = g( x) .
(RN)
Istnieją trzy podstawowe metody rozwiązywania równań liniowych niejednorodnych.
Metoda uzmienniania stałej polega na tym, że najpierw rozwiązujemy równanie jednorodne y0 + f ( x) y = 0.
Dostajemy rozwiązanie ogólne w postaci y( x) = CeF ( x). Następnie zakładamy, że C jest funkcją zmiennej x, tzn C = C( x). Podstawiamy y( x) = C( x) e−F ( x) do równania niejednorodnego i znajdujemy wzór na C0( x). Po scałkowaniu mamy już wszystkie niezbędne czynniki, które wstawiamy do rozwiązania.
Metoda przewidywań bazuje na twierdzeniu z wykładu, które mówi o tym, że przestrzeń rozwiązań równania niejednorodnego jest równa przestrzeni rozwiązań równania jednorodnego, do której dodano jakiekolwiek ustalone rozwiązanie równania niejednorodnego. Innymi słowy, wystarczy rozwiązać równanie jednorodne, znaleźć jakiekolwiek rozwiązanie równania niejednorodnego i dodać je. W ten sposób mamy wszystkie rozwiązania równania niejednorodnego.
Powstaje więc pytanie, jak szukać rozwiązania szczególne? Metoda przewidywań pozwala przewidzieć postać roz-wiażania szczególnego w zależności od tego, jakiej postaci jest prawa strona (RN). Załóżmy, że a, b ∈ R oraz P, Q są wielomianami, deg P = m, deg Q = n.
• Równanie postaci
y0 + ay = P ( x) ebx
ma rozwiązanie szczególne postaci
ys( x) = M ( x) ebx,
gdzie M ( x) jest wielomianem stopnia m + 1.
• Równanie postaci
y0 + ay = P ( x) cos bx + Q( x) sin bx ma rozwiązanie szczególne postaci
ys( x) = M ( x) cos bx + N ( x) sin bx, gdzie M oraz N są wielomianami stopni co najwyżej max {m, n}.
Przewidywane rozwiązanie podstawiamy do równania niejednorodnego i wyznaczamy niewiadome współczynniki wielomianów. Należy pamiętać, iż ys jest tylko jednym rozwiązaniem równania niejednorodnego, a nie całą rodziną wszyst-kich rozwiązań!
Uwaga 1. Jeżeli g( x) = g 1( x) + g 2( x), to można znaleźć rozwiązania szczególne równań y0 + f ( x) y = g 1( x) ,
y0 + f ( x) y = g 2( x) .
Wtedy suma rozwiązań szczególnych powyższych równań będzie rozwiązaniem szczególnym równania (RN).
Metoda domnożania polega na znalezieniu takiej funkcji h( x), by po pomnożeniu przez nią obu stron równania (RN) lewa strona stała się pochodną iloczynu. Mianowicie szukamy takiej funkcji h( x), by dla pewnej funkcji k( x) spełniony był warunek
( y( x) k( x)) 0 = y0( x) h( x) + y( x) f ( x) h( x) = g( x) h( x) .
Szczegóły dotyczące tej metody są treścią zadania drugiego.
1
Zadanie 1. Znajdź ogólną postać rozwiązania równania (RJ).
Zadanie 2. Znajdź ogólną postać rozwiązania (RN) (można to zrobić stosując drugą oraz trzecią z wymienionych metod).
Zadanie 3. Rozwiąż równania stosując dowolną z wymienionych wyżej metod:
( a) y0 = xy + xex 2
( b) y0 sin x + y cos x = sin 2 x
( c) y0 + 2 y = e−x
( d) y0 + y = 3
( e) y0x ln x − y = 3 x 2 ln2 x
( f ) y0 = 2 y + ( x + 1)2
x
x+1
( g) y0 =
1
( h) (1 + x 2) y0 + y = arctan x
( i) ( x + ey) y0 = 1
x cos y+sin 2 y
( j) ( x − 2 y + y 2) y0 + y 2 = 0
Zadanie 4. Rozwiąż poniższe równania stosując metodę przewidywań:
( a) y0 + 2 y = 3 x 2,
( b) y0 − ey = 3 sin 4 x,
( c) y0 − 3 y = 6 e 2 x + sin 2 x + cos 2 x.
2