Materiały do zajęć: Więzy, współrzędne uogólnione, d'Alambert mgr inż. Sebastian Pakuła
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki Katedra Mechaniki i Wibroakustyki
mail: spakula@agh.edu.pl
mgr inż. Sebastian Pakuła - Katedra Mechaniki i Wibroakustyki AGH
Strona 1
Ogólne równanie więzów:
f ( r ,..., r , r& ,..., r& , t) = 0
dla k = 1,..., w
k
1
n
1
n
gdzie: r = r i + r j + r k i
x
y
z
Podział więzów:
• geometryczne (holonomiczne) i kinematyczne (nieholonomiczne)
• skleronomiczne i reonomiczne
W więzach geometrycznych przemieszczenia wirtualne (przygotowane) są takie same jak przemieszczenia rzeczywiste. W przypadku więzów reonomicznych tak już nie jest.
Przemieszczenia wirtualne są to przemieszczenia związane z więzami zamrożonymi (dla konkretnej chwili czasowej).
k
f
∂ n
∑ δ x = 0
i
=
x
∂
i 1
i
Przemieszczenia:
RZECZYWISTE
WIRTUALNE
x2+y2-r(t)2=0
x2+y2-r(t)2=0
2 xx& + 2 yy& = 2 rr& 2 x x
∂ + 2 y∂ y = 0
xdx + ydy = rdr
x∂ x + y∂ y = 0
( x , y , z ) Równania więzów:
2
2
2
f = x − x + y − y + z − z − l = 0
1
( 2
1 )2
( 2
1 )2
( 2
1 )2
2
( x , y , z ) 1
1
1
1
f = ( x − x )2 +( y − y )2 +( z − z )2 2
− l = 0
2
2
3
2
3
2
3
2
f = ( x − x )2 +( y − y )2 +( z − z )2 2
− l = 0
3
1
3
1
3
1
3
3
Liczba stopni swobody:
( x , y , z ) 3
3
3
s =3 n - w s=9-3=6
Zasada prac wirtualnych (przygotowanych) stosuje się w statyce czyli układach w położeniu równowagi.
Zasada d'Alemberta stosowana jest do układów holonomiczno-skleronomicznych w przypadku więzów idealnych dwustronnych. Mówi ona:
Zasada d'Alemberta
n
δ L = ∑( P − m r&&)δ r = 0
i
i i
i
i 1
=
n
δ L =
∑ ( P − m x&& )δ x + ( P − m y&& )δ y + ( P − m z&& )δ z = 0
ix
i
i
i
iy
i
i
i
iz
i i
i
i 1
=
mgr inż. Sebastian Pakuła - Katedra Mechaniki i Wibroakustyki AGH
Strona 2
Przykład 1. Znaleźć przyśpiesznie każdej z brył.
I ϕ&&
2
Qr
0
I =
0
2 g
Q x&&
δ x 2
2
g
P x&&1
δϕ
Q
g
δ x 1
P
x = x +ϕ r
1
2
x − x −ϕ r = 0
δ x −δ x − δϕ r = 0
1
2
1
2
x
&& = x&& −ϕ& r
&
δ x = δ x −δϕ r
2
1
2
1
P
Q
F −
x
&& δ x −
x
&& δ x − I ϕ&& δϕ = 0
1
1
2
2
( 0 )
g
g
P
Q
Q
F −
x
&& δ x −
x
&& −ϕ& r
& δ x −
x
&& − ϕ& r
& Rδϕ − I ϕ&& δϕ = 0
1
1
( 1
) 1
( 1
)
( 0 )
g
g
g
P
Q
Q
Q
Q
F −
x
&& −
x
&& +
ϕ& r
& δ x − x&& − ϕ& r
& + I ϕ&
& δϕ = 0
1
1
1
1
0
g
g
g
g
g
P
Q
Q
F −
x
&& −
x
&& +
ϕ& r
& = 0
1
1
g
g
g
Q
Q
x
&& −
ϕ& r
& + I ϕ&& = 0
1
0
g
g
Ostatecznie rozwiązując układ równań i uwzględniając równania więzów:
2 Fg
ϕ&& =
(3 P + Q) R
3 Fg
x&& =
1
3 P + Q
Fg
x&& =
2
3 P + Q
mgr inż. Sebastian Pakuła - Katedra Mechaniki i Wibroakustyki AGH
Strona 3
Przykład 2. Znaleźć przyśpiesznie każdej z brył.
2
I ϕ&&
T = µ Q cos (α )
0
Pr
I =
0
2 g
x = x
x&& = x&& 1
2
1
2
P
x = ϕ r , x&& = ϕ& r
&
2
2
x
&&2
g
x ,δ x x = ϕ r
x&& = ϕ& r
&
r
2
2
3
3
δϕ
δ x = δ x = δ x = δ x 1
2
3
δ x = δϕ r
P
x 1
Q
G
x
&&
x
&&3
1
g
g
G
µ
x
&&2
g
T
δ x
Q
2
G
x ,δ x
3
3
Q
P
P
x
&& δ x G
G
−
x
&&+ µ Q cos (α ) + Q sin (α ) 1
2
δ x −
δ x −
r
−
x
&&− G +
x
&&δ x = 0
g
g
2 g
r r
g
g
G 2 P 2 G
x
&&
+
+
= G − Q (µ cosα + sinα )
g
3 g
P
G − Q (µ cosα + sinα ) x
&& =
G
2 P
2 G
+
+
g
3 g
P
Przykład 3. Znaleźć przyśpiesznie każdej z brył.
M
Mx
&&
Mϕ& R
&
δϕ
ϕ
Q x&&
g
Q
I ϕ&&
0
P
δ x
F
x
&&
g
P
mgr inż. Sebastian Pakuła - Katedra Mechaniki i Wibroakustyki AGH
Strona 4
Q
−
x
&&+
x
&&+ Mx&&− Mϕ& R
& − F δ x − (
2
I ϕ&& + Mϕ& R
&
− Mx& R
& δϕ = 0
0
)
g
g
P Q
x&&
+
+ M = Mϕ&& + F
g
g
Q 2
2
R ϕ&& + Mϕ& R
&
= Mx& R
&
2 g
2
2 M gx
&&
ϕ& R
& =
Q + 2 Mg
Fg
x
&& =
2
2
2 M g
P + Q + Mg − Q + 2 Mg mgr inż. Sebastian Pakuła - Katedra Mechaniki i Wibroakustyki AGH
Strona 5
mgr inż. Sebastian Pakuła - Katedra Mechaniki i Wibroakustyki AGH
Strona 6