e i nazwisko: ....................................................................
Zadanie 1
Zadanie 2
Zadanie 3
Zadanie 4
Zadanie 5
1. Oblicz oczekiwan ¾
a przysz÷¾
a d÷
ugość trwania ·
zycia osoby w wieku 25 lat pochodz ¾
acej
z populacji, w której qx = 0; 025 dla x 2 N, zaś rozk÷ad zgonów w ci ¾
agu roku jest jednostajny.
2. Rozwa·
zmy funkcj ¾
e prze·
zywalności w modelu de Moivre’a s (x) = 1
x , x 2 [0; !]. Dla
!
dowolnego x 2 [0; !] oraz ! 2 N obliczyć prawdopodobieństwo, ·
ze osoba z tej populacji prze·
zyje
tyle lat, ile wynosi jej oczekiwana przysz÷
a d÷
ugość ·
zycia.
3. Pan Kowalski 1 stycznia 2008 roku b ¾
edzie obchodzi÷swoje 55 urodziny. W prezencie otrzyma on od teściowej bilet na jednodniow ¾
a wypraw¾
e do d·
zungli amazońskiej, któr ¾
a prze·
zywa
średnio 40% uczestników. Wyprawa odb ¾
edzie si ¾
e 1 kwietnia 2008 roku i jedyn ¾
a przyczyn ¾
a
absencji pana Kowalskiego na wyprawie mo·
ze być tylko jego wcześniejsza śmierć.
·
Zona
pana Kowalskiego zamierza wykupić 1 stycznia 2008 roku jednoroczne ubezpieczenie na ·
zycie
i do·
zycie, które na koniec 2008 roku wyp÷
aca 20000 w razie śmierci m ¾
e·
za w sposób naturalny,
100000 w przypadku śmierci pana Kowalskiego podczas wyprawy do Ameryki, b ¾
adź 5000
w przypadku prze·
zycia przez pana Kowalskiego ca÷
ego roku 2008. Oblicz jednorazow ¾
a sk÷
adk¾
e
netto za to ubezpieczenie je·
zeli wiadomo, ·
ze d = 7%, zaś w populacji, z której pochodzi pan Kowalski obowi ¾
azuje za÷
o·
zenie Balducciego o prze·
zywalności w ci ¾
agu roku, przy czym
q55 = 0; 07.
4. Niech n; x 2 N, przy czym n jest liczb ¾
a parzyst ¾
a wi ¾
eksz ¾
a od 10. W pewnej populacji
przez pierwsze n lat obowi ¾
azuje za÷
o·
zenie o sta÷
ej intensywności wymierania w u÷
amkowych
2
okresach czasu, zaś przez kolejne n lat za÷
o·
zenie Balducciego. Wiadomo ponadto, ·
ze q
2
x+k,
0
k
n 4 , tworz ¾
a pewien ściśle rosn ¾
acy ci ¾
ag arytmetyczny, zaś q
, 0
k
n
2
x+k+ n 2
2
2
s ¾
a kolejnymi wyrazami pewnego ściśle rosn ¾
acego ci ¾
agu geometrycznego. Oszacuj, do którego z przedzia÷
ów nale·
zy wartość sk÷
adki jednorazowej netto w n-letnim ci ¾
ag÷
ym ubezpieczeniu
na ·
zycie i do·
zycie dla osoby w wieku x pochodz ¾
acej z wy·
zej opisanej populacji, je·
zeli
1
A
= 0; 34148 oraz A 1 = 0; 11277. Wiadomo ponadto, x:nj
·
ze intensywność oprocentowania
x:nj
w tym funduszu jest postaci s = .
(A) (0; 25; 0; 3)
(B) [0; 3; 0; 35]
(C) (0; 35; 0; 4)
(D) [0; 4; 0; 45]
(E) (0; 45; 0; 5)
5. Wyznacz sk÷
adk¾
e jednorazow ¾
a netto w ci ¾
ag÷
ym bezterminowym ubezpieczeniu na ·
zycie
osoby w wieku 25 lat wyp÷
acaj ¾
ace t
25 w przypadku śmierci w wieku t.
Zak÷
adamy,
·
ze rozwa·
zana osoba pochodzi z populacji, w której
=
t , t
0, za
25+t
ś intensywność
100
oprocentowania wynosi
t =
t , t
0. Wynik podaj z dok÷
adności ¾
a do trzech miejsc po
50
przecinku.
1