KONSTRUKCJE PODSTAWOWE
RZUT RÓWNOLEGŁY
RZUT PROSTOKĄTNY
AKSONOMETRIA
Adam Święcicki
KONSTRUKCJA PROSTEJ PRZECHODZĄCEJ
PRZEZ DWA PUNKTY
a
B
B
A
A
B
A
A
wariant I
r
S
S
r
r
wariant II
r1
r2
S1
S2
r
r1
r2
wariant II
S1
S2
r
r
r1
r1
r3
r2
r
r2
r4
wariant II
S3
S1
S2
r
r
r1
r1
r3
r2
r
r2
r4
S4
wariant II
r
S3
r1
r2
S1
S2
r
r
r1
r1
r3
r2
r
r2
r4
S4
r
wariant III
A
B
C
wariant III
A
B
S
C
wariant IV
a
b
r
wariant IV
a'
a
b'
r
r
b
S
r
r
r
r
wariant IV
a
b
S
r
r
STYCZNA DO OKRĘGU PRZECHODZĄCA PRZEZ PUNKT
S
A
STYCZNA DO OKRĘGU PRZECHODZĄCA PRZEZ PUNKT
C
S
D
A
B
wariant I
r1
r2
S1
S2
wariant I
E
r1
D
r2
r3 S1
S2
F
r1
r2
r3
wariant I
E
r1
D
r2
r3 S1
S2
F
r1
r2
r3
wariant I
a
E
r1
D
r2
r3 S1
S2
F
b
r1
r2
r3
wariant I
a
r1
r2
S1
S2
b
wariant II
r3
r1
r2
S1
S2
r1
r2
r3
wariant II
r3
r1
D
r2
S1
S2
r1
r2
r3
wariant II
E
G
r3
r1
D
r2
S1
S2
H
F
r1
r2
r3
wariant II
a
E
G
r3
r1
D
r2
S1
S2
H
F
b
r1
r2
r3
wariant II
a
r1
r2
S1
S2
b
x
X
S
a/2
O
a
A
a
x
=
5 −1
x =
⋅ a ≈ ,
0 62 ⋅ a
x
a − x
2
C
x2
x1
X
S
a/2
O
a
A
x1 – bok dziesięciokąta foremnego, x2 – bok pięciokąta foremnego
wariant I – dana średnica okręgu opisanego.
wariant I
A
S
X
wariant I
A
Y
X
wariant I
A
B
Y
X
wariant I
A
B
E
C
D
wariant I
A
B
E
C
D
wariant II – określona długość boku pięciokąta foremnego.
a
wariant II
a
Y
X
wariant II
a
Y
X
C
wariant II
B
a
X
C
wariant II
B
a
C
D
wariant II
B
a
C
E
D
wariant II
B
a
A
C
E
D
K4
l
P
C
k
kp
kl
B
l'=kl'
P'=kp'
A
C'
B'
A'
p
NIEZMIENNIKI RZUTU RÓWNOLEGŁEGO
1. Współliniowość punktów.
2. Stosunek podziału.
l
kC
K4
C
kB
kA
k
B
l'
C'
A
B'
p
A'
AC
'
A C'
=
AC
( ABC) =
BC
B' C'
BC
NIEZMIENNIKI RZUTU RÓWNOLEGŁEGO cd 3. Równoległość prostych.
K4
N4
k
l
m
kl
km
N'4
l'
m'
p
NIEZMIENNIKI RZUTU RÓWNOLEGŁEGO cd 4. Stosunek długości odcinków równoległych.
K4
B
D
D1
C
B'
D'
A=C1
D1'
C'
A'=C1'
p
C D
1 1 = CD
C '
1 D '
1 = C' D'
AB
'
A B'
=
AB
'
A B'
=
CD
C' D'
1
C
1
D
C '
1 D '
1
NIEZMIENNIKI RZUTU RÓWNOLEGŁEGO cd 5. Metryka figur płaskich równoległych do rzutni.
Przez metrykę figury płaskiej rozumieć naleŜy długości wszystkich odcinków oraz rozwartości wszystkich kątów.
Lemat I. JeŜeli prosta jest równoległa do rzutni, to jest ona równoległa do swego rzutu równoległego.
Lemat II. Odcinki równoległe do rzutni zachowują przy rzutowaniu równoległym swe długości.
NIEZMIENNIKI RZUTU RÓWNOLEGŁEGO cd Ad 5 cd.
K4
B
A
l
kl
B'
p
l'
A'
AB = '
A B'
NIEZMIENNIKI RZUTU RÓWNOLEGŁEGO cd Ad 5 cd.
K4
W
a
n
b
A
kb
ka
W'
n'
a'
b'
p
A'
Wyznaczyć rzut równoległy sześciokąta foremnego, gdy dane są rzuty jego trzech punktów.
E
D
F
C
C'
A'
B'
A
B
Wyznaczyć rzut równoległy sześciokąta foremnego, gdy dane są rzuty jego trzech punktów.
E
D
D'
F
C
C'
A'
B'
A
B
Wyznaczyć rzut równoległy sześciokąta foremnego, gdy dane są rzuty jego trzech punktów.
E'
E
D
F'
D'
F
C
C'
A'
B'
A
B
Wyznaczyć rzut równoległościanu, gdy dane są rzuty jego trzech krawędzi wychodzących z punktu A’.
A1'
D'
B'
A'
Wyznaczyć rzut równoległościanu, gdy dane są rzuty jego trzech krawędzi wychodzących z punktu A’.
C1'
D1'
B1'
A1'
C'
D'
B'
A'
RZUT PROSTOKĄTNY PUNKTU I ODCINKA 4
K
K 4
A
A
n
B
A1
B'
A
A ''
p
p
Twierdzenie. Rzutem prostokątnym kąta prostego o jednym ramieniu równoległym do rzutni jest kąt prosty.
K4
A
B
W
W'
B'
A'
p
NIEZMIENNIKI RZUTU PROSTOKĄTNEGO
1.
Zachowanie współliniowości punktów.
2.
Zachowanie stosunku podziału odcinka.
niezmienniki
3.
Zachowanie równoległości prostych.
rzutu
4.
Zachowanie stosunku długości odcinków równoległych.
równoległego
5.
Zachowanie metryki figur płaskich równoległych do rzutni.
6.
Zachowanie w rzucie prostopadłości kąta prostego, którego jedno z ramion jest równoległe do rzutni.
Dany jest rzut prostokątny A’B’ boku AB kwadratu ABCD. Wykreślić rzut prostokątny tego kwadratu, jeśli jego boki AB i CD są równoległe do rzutni, a boki AD i BC tworzą z rzutnią kąt 60o.
A'
B'
Dany jest rzut prostokątny A’B’ boku AB kwadratu ABCD. Wykreślić rzut prostokątny tego kwadratu, jeśli jego boki AB i CD są równoległe do rzutni, a boki AD i BC tworzą z rzutnią kąt 60o.
D''
60°
A'
B'
Dany jest rzut prostokątny A’B’ boku AB kwadratu ABCD. Wykreślić rzut prostokątny tego kwadratu, jeśli jego boki AB i CD są równoległe do rzutni, a boki AD i BC tworzą z rzutnią kąt 60o.
d'
D''
D'
C'
60°
A'
B'
Ostrosłup o podstawie prostokątnej i o równych krawędziach bocznych ma na rzutni jedną ze swych większych ścian bocznych. Wykreślić rzut prostokątny tego ostrosłupa, gdy boki jego podstawy mają długości 3j i 4j, a krawędzie boczne 5j.
W'
A'
B'
A
D
Ostrosłup o podstawie prostokątnej i o równych krawędziach bocznych ma na rzutni jedną ze swych większych ścian bocznych. Wykreślić rzut prostokątny tego ostrosłupa, gdy boki jego podstawy mają długości 3j i 4j, a krawędzie boczne 5j.
W'
D
A'
B'
A
D
Ostrosłup o podstawie prostokątnej i o równych krawędziach bocznych ma na rzutni jedną ze swych większych ścian bocznych. Wykreślić rzut prostokątny tego ostrosłupa, gdy boki jego podstawy mają długości 3j i 4j, a krawędzie boczne 5j.
W'
D
D'
C'
A'
B'
A
D
Ostrosłup o podstawie prostokątnej i o równych krawędziach bocznych ma na rzutni jedną ze swych większych ścian bocznych. Wykreślić rzut prostokątny tego ostrosłupa, gdy boki jego podstawy mają długości 3j i 4j, a krawędzie boczne 5j.
W'
D
D'
C'
A'
B'
A
D
Metodę kreślenia rzutów, w której korzysta się ze współrzędnych rzutowanych punktów, nazywamy aksonometrią, a uzyskane tą metodą punkty i figury nazywamy rzutami aksonometrycznymi (aksonometriami) tych punktów i figur.
Na rzutni Ba, którą nazywamy rzutnią aksonometryczną, przyjmujemy dowolne trzy osie xa, ya i za przecinające się w jednym punkcie Oa (osie aksonometryczne). Osie aksonometryczne opatrujemy dowolnymi dodatnimi liczbami 8 , 8 i 8 , które x
y
z
nazywamy skrótami zmiany długości (stosunkami skrótów) dla kierunków odpowiednich osi. Uwaga: mogą być równieŜ wydłuŜenia.
Osie aksonometryczne xa, ya i za oraz stosunki skrótów aksonometrycznych 8 , 8 i 8
x
y
z
tworzą układ aksonometrycznych Oaxayaza; 8 , 8 , 8 .
x
y
z
Jeśli punkt A(a , a , a ) ma współrz
, a , a w pewnym przestrzennym układzie x
y
z
ędne ax y z
współrzędnych Oxyz, to w danym układzie aksonometrycznym Oaxayaza; 8 , 8 , 8
x
y
z
punkt ten ma współrzędne aksonometryczne 8 a , 8 a , 8 a .
x x
y y
z z
za
8z
Aa
8 a
z z
8 a
x x
A a
x
xa
ya
8 a
8
y y
x
8y
Axy
Izometria wojskowa
Aksonometria (dimetria)
prawieprostokątna
z
z
1:1
1:1
0
0
x
x
y
1:1
1:1
1:2
y
1:1
Dimetria (perspektywa)
Dimetria (perspektywa)
kawalerska lewoskrętna
kawalerska prawoskrętna
z
z
1:1
1:1
135°
0
225°
135°
x
x
45°
0
1:1
1:1
y
y
2:3
2:3
(1:2)
(1:2)
z
1:1
Wa
Aa=0
h
Ba
Da
x
1:1
Ca
y
1:1
SPRZĘśONE UKŁADY AKSONOMETRYCZNE
Układy aksonometryczne sprzęŜone tworzone są w wyniku przesunięcia układu aksonometrycznego xayaza w kierunku dodatnich wartości osi za oraz symetrycznego odbicia względem prostej prostopadłej do osi za w wyniku czego otrzymujemy układ x’ay’az’a. Oba układy tworzą układ sprzęŜony, w którym osie za oraz z’a pokrywają się, a skróty odpowiadających sobie osi są jednakowe.
z°=z°°
y°°
x°°
R
n
R
n
x°
y°
z°=z°°
y°°
x°°
x°
y°