IV. PRAWDOPODOBIEŃSTWO I JEGO DEFINICJE

1. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa (P. Laplace 1812)

a) przestrzeń E składa sie z n zdarzeń elementarnych

{ ei}

b) zdarzenia jednoelementowe

są jednakowo prawdopodobne

1

P {

( e =

= =

=

1})

P {

( e 2}) ... P {( en}) n

to prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia A składającego się m zdarzeń elementarnych wyraża się wzorem

P( )

m

A = n

m – liczba zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A n – liczba wszystkich zdarzeń elementarnych (przestrzeń zdarzeń elementarnych)

Przykład Obliczyć prawdopodobieństwo wyciągnięcia asa z talii kart brydżowych P( A) m

4

1

n=52 m=4

=

=

=

n

52

13

Rodzaje kart: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K, A po 4 kolory to n=13*4=52

dr A. Czech

1

Przykład W partii liczącej 100 sztuk mamy 10 wadliwych. Obliczyć prawdopodobieństwo wyciągnięcia sztuki wadliwej P( A) m

10

n=100 m=10

=

=

= 1

,

0

n

100

Klasyczna definicja nie pozwala obliczyć prawdopodobieństwa gdy przestrzeń

zdarzeń elementarnych E i zbiór zdarzeń sprzyjających zdarzeniu A są nieskończone

!!!

2. Prawdopodobieństwo geometryczne (rozszerzenie definicji klasycznej na nieprzeliczalne zbiory zdarzeń elementarnych) – jeżeli przestrzeń zdarzeń elementarnych E i zbiór A mają interpretację geometryczną, zamiast liczebności zbiorów można użyć miary geometrycznej (długość, pole powierzchni, objętość)

• długość

−

P(( c, d ))

d

c

=

b − a

dr A. Czech

2

• pole powierzchni

P( g )

S g

=

S

G

Przykład Ustawiono 2 pojemniki (biały i żółty) w kształcie walca jeden w drugi.

Następnie do tak ustawionych pojemników wrzucano piłki. Obliczyć jakie jest prawdopodobieństwo trafienia piłki w pojemnik żółty a jakie poza (przy założeniu że wszystkie piłki wpadają do pojemników).

2

2

R

π

R

π

1

P( ż) =

=

=

π

(2 R)2

4

2

R

π

4

π (2 R)2

2

− R

π

4

2

2

R

π − R

π

3

2

R

π

3

P( b) =

=

=

=

π

(2 R)2

4

2

R

π

4

2

R

π

4

dr A. Czech

3

V. ZMIENNE LOSOWE

Zmienna losowa – funkcja, która z określonym prawdopodobieństwem przyporządkowuje zdarzeniom liczby rzeczywiste X , Y - zmienne losowe,

x , y

i

i - wartości zmiennych losowych, gdzie: i = 1,2,...,n.

Typy zmiennych losowych:

A. Zmienna losowa typu skokowego

B. Zmienna losowa typu ciągłego

A. Zmienna losowa typu skokowego – wartościami zmiennej losowej skokowej są liczby x , x ,..., x

1

2

n .

Liczbom tym przyporządkowuje się pewne dodatnie prawdopodobieństwa p , p ,..., p 1

2

n , co wyraża się następującym zapisem: P( X = x ) = p

x

i

i - prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia i

n

i= 1,2,..., n, gdzie: p p

1

i =

i > 0 i ∑

i=1

dr A. Czech

4

Rozkład zmiennej losowej w postaci tabeli

x

x

x

x

i

1

2 ...

n

p

p p

p

i

1

2

n

Rozkład zmiennej losowej X

p

i

x

x

x

x

x

1

2

3

4

i

dr A. Czech

5

Dystrybuantą zmiennej losowej dyskretnej X nazwiemy funkcję zdefiniowaną następująco:

F ( x) = P( X < x) = ∑ pi

−∞< xi < x

Zatem P( a ≤ X < b) = ∑ p = F( b) − F( a) i

a≤ x b

<

i

CHARAKTERYSTYKI LICZBOWE ZMIENNEJ LOSOWEJ

a) wartość przeciętna (średnia)

E( X ) = ∑ x p

i

i

b) wariancja

2

σ = ∑( x E( X 2

)) p

i −

i

c) odchylenie standardowe

2

σ = σ

PRZYKLAD Urna zawiera 20 kul oznaczonych kolejnymi numerami 1, 2, 3, 4, 5.

Liczba kul o podanych numerach wynosi odpowiednio: 2, 5, 7, 3, 3. Narysować wykres prawdopodobieństwa, dystrybuantę i obliczyć: wartość przeciętną, wariancję i odchylenie standardowe.

dr A. Czech

6

n

Dystrybuanta

Numery kul

n

p

i

=

i

i

n

F ( x)

F ( x) = P( X < x) = ∑ pi x = 1

−∞< xi < x

1

2

0,1

0

x = 2

2

5

0,25

0,10

x = 3

3

7

0,35

0,35

x = 4

4

3

0,15

0,70

P( a ≤ X < b) = ∑ p = F( b) − F( a) x = 5

i

5

3

0,15

0,85

a≤ x b

<

i

x > 5

1

∑ n

∑ p

i = 1

i = 20

Rozkład zmiennej losowej X

Dystrybuanta

p

F ( x)

i

x

x

i

i

dr A. Czech

7

E( X ) = ∑ x p

i

i = 1⋅

1

,

0 + 2⋅ ,

0 25 + 3⋅ 3

,

0 5 + 4⋅ 1

,

0 5 + 5⋅ 1

,

0 5 = 3 - wartość przeciętna

2

σ = ∑( x E X p

i −

( ))2 i = 1

( − )

3 2 ⋅ 1

,

0 + (2 − )

3 2 ⋅ ,

0 25 + 3

( − )

3 2 ⋅ 3

,

0 5 +

+

- wariancja

(4 − )

3 2 ⋅ 1

,

0 5 + 5

( − )

3 2 ⋅ 1

,

0 5 = ,

1 4

2

σ = σ = ,14 = 1,

1 8 - odchylenie standardowe

WYBRANE ROZKŁADY SKOKOWE

1. Rozkład zero-jedynkowy

P( X = )

1 = p - rozkład zmiennej X

P( X = 0) = 1− p

p + q =

,

gdzie:

1

0 dla

x ≤ 0



F ( x) =  q dla 0 < x ≤ 1



- Dystrybuanta

1 dla

x > 1

E( X ) = 1⋅ p + 0 ⋅ q = p - wartość oczekiwana 2

σ = ∑( x − E( X 2

)) p = 1

( − p 2

) ⋅ p + (0 − p 2

) ⋅ q = pq

i

i

- wariancja

Stosowany przy badaniu cech niemierzalnych (jakościowych)

dr A. Czech

8

Przykład Rzut monetą. Jeżeli orzeł to 1, zaś w przypadku reszki 0. Rozkład zero-jedynkowy z prawdopodobieństwem ½.

1

0 dla

x ≤ 0

P( X = )

1 =

1

2

F ( x) = 

dla

0 < x ≤ 1

1

2

P( X = 0) =

1

dla

x > 1

2

p

F ( x

i

)

x

x

i

i

dr A. Czech

9

1

E( X ) = p = 2 - wartość oczekiwana





2

1

1

1

σ = pq = 1−  =

2 

2 

4 - wariancja

2

1

1

σ = σ =

=

4

2 - odchylenie standardowe

2. Rozkład dwumianowy (bimodalny)

Zmienna losowa X ma rozkład dwumianowy B(n,p) jeśli jej funkcja rozkładu określona jest następującym wzorem:

 n

−

−

n!

k

n k

k

k

n k

k

n− k

P( X = k) =

p q

 

= C p q

=

p q

n

 k 

k (

! n − k)!

gdzie: n – liczba doświadczeń,

k = 1,2,3,...,n

p – prawdopodobieństwo sukcesu

q = 1- p – prawdopodobieństwo porażki

dr A. Czech

10

Dystrybuanta zmiennej losowej:

!

F ( x) = ∑

n

k

k

n − k

C p q

p q

n

= ∑

k

n − k

k (

! n

k)!

k < x

k < x

−

Charakterystyki opisowe:

E( X ) = np - wartość przeciętna lub z definicji E( X ) = ∑ x p i

i

2

σ = npq

2

2

- wariancja lub z definicji σ = ∑ ( x E( X )) p

i −

i

Przykład Rzucamy 3 razy monetą n=3, p=0,5 q=0,5

A. Obliczyć: a) P( X = )

0 - nie będzie orła,

b) P( X = )

1 - będzie raz orzeł,

c) P( X = )

2 - będzie 2 razy orzeł,

d) P( X = )

3 - będzie 3 razy orzeł,

e) P( X ≥ )

1 - będzie przynajmniej raz orzeł,

B. Narysować: wykres rozkładu prawdopodobieństwa i dystrybuantę C. Obliczyć: wartość przeciętną, wariancję i odchylenie standardowe

A:

 3

0

3

0

0

3

!

3

1

1

a) P( X = )

0 =

5

,

0

5

,

0

 

= C 5

,

0

5

,

0

=

1⋅ =

0

3



3

(

!

0

− )

0 !

8

8

dr A. Czech

11

3

⋅

1

2

1

1

2

!

3

1 1

!

2 3 1

3

b) P( X = )

1 =

5

,

0

5

,

0

 

= C 5

,

0

5

,

0

=

⋅ ⋅ =

⋅ =

1

3



3

(

!

1

− )

1 ! 2 4

1⋅ !

2 8

8

 3

⋅

2

1

2

2

1

!

3

1 1

!

2 3 1

3

c) P( X = )

2 =

5

,

0

5

,

0

 

= C 5

,

0

5

,

0

=

⋅ ⋅ =

⋅ =

 2

3



3

(

!

2

− )

2 ! 4 2

!

2 ⋅ !

1 8

8

3

3

0

3

1

2

!

3

1

!

3 1

1

d) P( X = )

3 =

5

,

0

5

,

0

 

= C 5

,

0

5

,

0

=

⋅ ⋅1 = ⋅ =

3

3



3

(

!

3

− )

3 ! 8

!

3 8

8

3  n 



k

n− k

3

3

1

7

P X

∑

e) (

≥ )

1 =



5

,

0

5

,

0

 

 = + + =

k

k 1

=  



8

8

8

8

B:

Rozkład zmiennej losowej X

Dystrybuanta

pi

F ( x)

x

x

i

i

dr A. Czech

12

C:

1

E( X ) = np = 3⋅ - wartość przeciętna 2

1

3

3

1

12

E( X ) = ∑ x p

i

i = 0 ⋅

+1⋅ + 2⋅ + 3⋅ =

= 5

,

1

8

8

8

8

8

2

1 1

3

σ = npq = 3⋅ ⋅ = = ,

0 75

2 2

4

- wariancja

2

2

2

1

2

3

2

3

2

1

σ = ∑( x E X p

i −

( ))

i = (0 −

)

5

,

1

⋅ + 1

( −

)

5

,

1

⋅ + (2 − )

5

,

1

⋅ + 3

( −

)

5

,

1

⋅ = 7

,

0 5

8

8

8

8

σ =

7

,

0 5 = 8

,

0 7

3. Rozkład Poissona

Zmienna losowa X przyjmuje wartości: 0,1,2,... z prawdopodobieństwem: k

m

− m

P( X = k) =

e

gdzie: m – stała dodatnia

k!

e=2,71 – stała Eulera

k = 0,1,2,...

dr A. Czech

13

Dystrybuanta zmiennej losowej X:

k

F ( x)

∑ m −

=

m

e

k!

k < x

Charakterystyki opisowe:

E( X ) = m - wartość oczekiwana 2

σ = m - wariancja

Rozkład dwumianowy można przybliżać rozkładem Poissona gdy:

• prawdopodobieństwo sukcesu jest mniejsze niż 0,2 ( p < , 0 2 ),

• liczna doświadczeń jest równa co najmniej 20 ( n ≥ 20).

co można zapisać w postaci:

k

 n

−

np

k

n k

− np

P( X = k) =

p q

 

≈

e

 k 

k!

gdzie: np= m w rozkładzie Poissona

dr A. Czech

14