Całka oznaczona, pole obszaru, całka niewłaściwa Całka oznaczona
JeŜeli F jest funkcją pierwotną funkcji ciągłej f : [ a, b] → Ρ , to całką oznaczoną funkcji f w przedziale [ a, b] nazywamy b
∫ f ( x) dx = F( b)− F( a) .
a
WyraŜenie występujące po prawej stronie wzoru zapisujemy [ F( x)] b .
a
Wartość całki oznaczonej nie zaleŜy od wyboru funkcji pierwotnej.
Przykład 1. Obliczyć całki oznaczone:
3
a) ∫ ( 2
4 x − 3 x + 4) dx
1
Funkcja f : [ ]
3
,
1
→ Ρ określona wzorem f ( x) = 4 2
x − 3 x + 4 jest ciągła. Wyznaczmy całkę 2
1 3
1
nieoznaczoną ∫ (4 x − 3 x + 4) dx = 4 ⋅ x − 3⋅ x 2 + 4 x + C . Wtedy funkcja 3
2
4 3
3
F ( x) =
x −
x 2 + 4 x jest funkcją pierwotną f . Zatem 3
2
3
∫(
3
4 2
x − 3 x + 4)
4 3
3 2
4
3
4
3
92
dx =
x −
x + 4 x
= ⋅ 27 − ⋅9 + 4 ⋅3 − − + 4 =
.
3
2
3
2
3
2
3
1
1
2
1
b) ∫
dx
2
x
1
1
Funkcja f : [ ,
1 2] → Ρ określona wzorem f ( x) =
jest ciągła. Wyznaczmy całkę
2
x
1
1
1
nieoznaczoną ∫
dx = −
+ C . Wtedy funkcja F( x) = − jest funkcją pierwotną f .
x 2
x
x
Zatem
2
2
1
1
1
1
1
∫ dx = −
= − + = .
2
x
x
2
1
2
1
1
c) ∫ 2 3 x−1
3 x e
dx
0
Funkcja f : [ ]
1
,
0
→ Ρ określona wzorem f ( x)
2
3 1
3
−
=
x
x e
jest ciągła. Przyjmując
g( x)
3
= x −1 i h( t)
t
= e zauwaŜamy, Ŝe f ( x) = h( g( x) g (′ x) 2
3
x
1
3
−
= x e
. Zatem stosując
wzór na całkowanie przez podstawianie, wyznaczmy całkę nieoznaczoną
∫ 2 x 3−
3
3
3 x e
1 dx = ∫ etdt = et + C = x −
e
1 + C . Wtedy funkcja F( x) 1
−
= x
e
jest funkcją
pierwotną f . Stąd
1
3
3
1
2
1
−
1
−
1 1
−
0 1
−
0
1
−
1
∫3 x ex dx = [ ex ] = e − e = e − e =1− .
0
e
0
e
d) ∫ x ln xdx
1
Funkcja f : [ ,
1 e] → Ρ określona wzorem f ( x) = x ln x jest ciągła. ZauwaŜmy, Ŝe 1
1
f ( x) = g( x) h (
′ x) , gdzie g( x) = ln x i h (′ x) = x . Wtedy g (′ x) = i h( x) 2
= x .
x
2
Stosując wzór na całkowanie przez części, wyznaczmy całkę nieoznaczoną
∫
1
1 1
x ln xdx = ∫ g( x) h (′ x) dx = g( x) h( x) − ∫ g (′ x) h( x) dx = x 2 ⋅ ln x − ∫ ⋅ x 2 dx =
2
x 2
1 2
1
1 2
1 2
1
x ⋅ ln x −
∫ xdx = x ⋅ln x − x + C = x 2(2ln x − ) 1 + C . Wtedy funkcja
2
2
2
4
4
F ( x) 1 2
= x (2ln x − )
1 jest funkcją pierwotną f . Zatem
4
e
e
1
∫ x ln
2
xdx = x (2ln x − )
1
1
2
=
e (2 ln e − ) 1
1 − (2 ln1 − )
1 2
1
1 =
e +
.
4
4
4
4
4
1
1
Pole obszaru
b
JeŜeli f ( x) ≥ 0 dla x ∈ [ a, b] , to całka oznaczona ∫ f ( x) dx jest równa polu obszaru a
ograniczonego wykresem funkcji f i prostymi x = a , x = b oraz y = 0 (czyli osią OX).
b
JeŜeli f ( x) ≥ g( x) dla x ∈ [ a, b] , to całka oznaczona ∫ ( f ( x) − g( x) dx jest równa polu a
obszaru ograniczonego wykresami funkcji f i g oraz prostymi x = a , x = b .
2
Przykład 2. Policzyć pole obszaru ograniczonego krzywymi o równaniach: 1
a) y =
, x = 3 , x = 4 , y = 0 .
x − 2
1
Niech f : [ ,
3 4] → Ρ będzie określona wzorem f ( x) =
. JeŜeli 3 ≤ x ≤ 4 , to
x − 2
1
1
1 ≤ x − 2 ≤ 2 , więc
≤
≤ 1 , czyli f ( x) ≥ 0 . zatem pole obszaru jest równe 2
x − 2
4
1
∫
dx = [ln( x − 2)]4 = ln 2 .
x − 2
3
3
b)
2
y = − x + x + 6 , y = 2 x + 4 .
Określmy funkcje f i g wzorami f ( x) 2
= − x + x + 6 , g( x) = 2 x + 4 , x ∈Ρ .
Rozwiązując równanie f ( x) = g( x) znajdujemy punkty przecięcia wykresów funkcji f i g : f ( x) = g( x) ⇔ f ( x) − g( x) = 0 ⇔ (
2
− x + x + 6)− (2 x + 4)
2
= − x − x + 2 = 0 ⇔ x = −2 ∨ x = 1.
Ponadto, jeŜeli x ∈ [−
]1
,
2
, to − x 2 − x + 2 ≥ 0 ⇔ f ( x) − g( x) ≥ 0 ⇔ f ( x) ≥ g( x) . Zatem pole obszaru zawartego między wykresami funkcji f i g jest równe 1
1
1
∫( f ( x)− g( x) dx = ∫(
2
− x − x + 2)
1 3
1 2
9
dx = − x −
x + 2 x
=
.
3
2
2
−2
−2
−2
Wartość średnia funkcji w przedziale
JeŜeli funkcja f : [ a, b] → Ρ jest ciągła, to istnieje takie c ∈ [ a, b] , Ŝe b
∫ f ( x) dx = f ( c)( b − a) .
a
Wartość f ( c) nazywamy średnią wartością funkcji f w przedziale [ a, b] .
Przykład 3. Obliczyć średnią wartość funkcji f w podanym przedziale : a) f ( x) = 2 x − 3 ; [ , 2 4] .
Mamy a = 2 , b = 4 oraz
4
∫(
4
2 x − 3) dx = [ 2
x − 3 x] = 4 + 2 = 6 .
2
2
PoniewaŜ b − a = 4 − 2 = 2 , to średnia wartość funkcji f w przedziale [ , 2 4] jest równa
3
6
= = 3 .
2
b) f ( x) = 2 x − x , [ 9
,
4 ] .
Mamy a = 4 , b = 9 oraz
9
9
∫(2 x − x)
4
1
dx =
4
1
4
1
4
1
4
1
3
x −
2
x
=
3
9 −
2
9 −
3
4 +
2
4 =
3
3 −
2
9 −
3
2 +
2
4 =
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
4
4
81
32
1
2
43
36 −
−
+ 8 = 36 − 40 − −10 − + 8 = −
.
2
3
2
3
6
PoniewaŜ b − a = 9 − 4 = 5 , to średnia wartość funkcji f w przedziale [ 9
,
4 ] jest równa
f ( c)
43
43
= −
= −
.
6 ⋅ 5
30
Całka niewłaściwa
Niech f : [ a, b) → Ρ , gdzie b ∈Ρ lub b = +∞ . JeŜeli dla kaŜdego c ∈ ( a, b) istnieje całka c
oznaczona ∫ f ( x) dx oraz istnieje skończona granica a
c
A = lim
−
f x dx ,
c→ b
∫ ( )
a
to A nazywamy całką niewłaściwą funkcji f i oznaczamy b
∫ f ( x) dx .
a
c
Mówimy teŜ, Ŝe całka niewłaściwa jest zbieŜna. JeŜeli granica lim
−
f x dx nie istnieje
c→ b
∫ ( )
a
lub jest nieskończona, to mówimy, Ŝe całka niewłaściwa jest rozbieŜna.
Podobnie w przypadku f : ( a, b] → Ρ , gdzie a ∈Ρ lub a = −∞ .
Przykład 4. Obliczyć całki niewłaściwe:
+∞ 1
a) ∫
dx
2
x
1
4
Funkcja f : [ ,
1 +∞) → Ρ określona wzorem f ( x) =
jest ciągła, więc dla kaŜdego
2
x
c
1
c ∈ [ ,
1 +∞) całka oznaczona ∫
dx istnieje. Zatem
x 2
1
+∞
c
c
1
1
1
1
∫ dx = lim
.
c→+∞ ∫
dx = lim c→+∞ −
= lim
c→+∞
− +1 = 1
2
2
x
x
x
c
1
1
1
+∞1
b) ∫ dx
x
1
+∞
c
∫ 1 dx =
1
lim
c
.
c→+∞ ∫
dx = lim c→+∞ [ln x]
c
1 = lim c→+∞ (ln
− ln )
1 = +∞
x
x
1
1
Całka jest rozbieŜna.
4
1
c) ∫
dx
x
0
4
1
1
1
1
∫
dx = lim
+
.
c
∫
dx = lim
+
x c =
+
−
c =
→0
c→0 [2
] lim c→0 (2 2 ) 2
x
x
0
c
3
1
d) ∫
dx
x −1
1
3
3
∫ 1 dx =
1
lim
3
+
dx
x
c
.
c
1
∫
= lim + [ln( − )
1 ] c = lim
+ (ln 2 − ln( − )
1 = +∞
x −
→
1
x −
c→1
c→
1
1
1
c
Całka jest rozbieŜna.
Zadania do samodzielnego rozwiązywania
Zadanie 1. Obliczyć całki oznaczone:
4
3
1
2
2
a) ∫ (2 x − 5) dx
e) ∫
dx
i) ∫
x +
2 x ⋅
1
e
dx
3
x
2
1
1
1
e 3 x 2 + 2 x 3
3
b) ∫ ( 3
2 x +
2
3 x + x − )
1 dx
f) ∫
− dx
j) ∫
2 2
x −
4 x ⋅
3
e
dx
x
0
1
1
5
1
4
2
3
2 x
3 x
1
c) ∫
dx
g) ∫
+
dx
k) ∫
−
x ⋅ e x dx
2 x + 1
x
0
1
0
2
1
1
3
d) ∫
dx
h) ∫ 2 +3
e x dx
l) ∫ 2
x ⋅ ln xdx
3 x − 2
1
0
1
Zadanie 2. Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywymi o równaniach: a) y = x 2 , y = 5 x
1
g) y = −
, y = ,
0 x = ,
0 x = 2
x + 1
b) y = x 3 , y = 4 x
16
h)
2
2
y =
x + ,
1 y = x
25
c)
2
2
y = x , y = 2 − x
i)
3
y = x − 2 2
x − 3 x, y = ,
0 x = ,
1 x = 2
d)
2
y = x , y = x + 2
j) y = 10 x , y = 1 ,
0 y = 10 ,
0 x = 0
e)
2
y = x − 4 x − ,
5 y = ,
0 x = ,
1 x = 4
k) y = e x , y = −
e x , x = 1
1
17
l)
2
2
y = x − ,
4 y = 4 − x
f) y =
, y = − x +
x
4
Zadanie 3. Obliczyć średnią wartość funkcji na podanym przedziale: a) f ( x) = 3 2
x + 2 x = ;
1 [ ]
1
,
0
c) f ( x)
2 +5
= x
e
;[ ]
1
,
0
1
2
f x = x ⋅ x −
e
−
b) f ( x) =
;[ ,
1 2]
d) ( ) 2
4 ;[ ,
2 2]
4 x
Zadanie 4. Obliczyć całki niewłaściwe:
0
1
+∞
1
1
a) ∫ exdx
d) ∫
dx
g) ∫
dx
2
−∞
x
x
0
1
0
2
2
8
1
b) ∫ 3
2 x dx
e) ∫ − dx
h) ∫ 2 x −
dx
3
3
−∞
x
x
0
0
+∞
8
1
0
1
c) ∫ −
e x dx
f) ∫
dx
i) ∫
dx
3
2
x + 1
1
0
x
−1
6
Zadanie 1.
a) 2
1
106
36
15
1
d) ln 4
g)
3
+
4
j) e
−
3
5
5
e
b) 1
4
1
1
2
e)
h)
6
3
e −
e
k) −
+1
9
2
2
e
1
3
5
26
2
13
i)
2
e − e
c)
ln 3
f)
e + 2 e −
l) 9 ln 3 −
2
2
2
9
Zadanie 2.
125
9
g) ln 3
90
a)
d)
j) 190 −
6
2
ln10
b) 8
e) 24
20
2
e + 1
h)
k)
− 2
9
e
8
255
65
64
c)
f)
− 2ln 4
i)
l)
3
32
12
3
Zadanie 3.
a) 3
1
7
5
e − e
d) 0
b)
ln 2
c)
4
2
Zadanie 4.
a) 1
d) całka rozbieŜna
g) całka rozbieŜna
1
e) całka rozbieŜna
h) 58
b)
3ln 2
1
f) 6
i) całka rozbieŜna
c)
e
7