Ciągi liczbowe
Powtórzenie
1. Trzy liczby tworzą ciąg arytmetyczny. Liczby te są jednocześnie pierwszym, trzecim i piątym wyrazem pewnego ciągu geometrycznego. Wykaż, że te liczby są jednakowe.
⎧
3
⎪ a =
2. Wyznacz drugi, trzeci i czwarty wyraz ciągu określonego wzorem rekurencyjnym 1
⎨
5
. Dla
⎪ a = 5 a − 3
⎩ n 1
+
n
wyznaczonych wyrazów znajdź taką liczbę x, aby ciąg ( a , x, był ciągiem geometrycznym.
3
4
a )
3. Suma trzech początkowych wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego wynosi S =14 , a suma 3
1
wszystkich wyrazów tego ciągu równa się 16. Wyznacz ten ciąg i rozwiąż nierówność S − S > .
n
4
4 x
8
4.
x
Rozwiąż nierówność 2 x +
+
+… < 5 .
x − 3
( x −3)2
5. Sprawdź, czy odwrotności trzech dowolnych kolejnych liczb naturalnych mogą być kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego.
6. Dla jakich wartości parametru x ciąg liczb log 2 , log 2 x − 2 , log 2 x +10 jest ciągiem 3 (
)
3 (
)
3
arytmetycznym?.
1
1
7. Na podstawie wykresu funkcji f ( x) =1+ +
+… wyznacz zbiór jej wartości.
2
x
x
8. Wykaż, że jeśli w ciągu arytmetycznym dla liczby n ∈ N
+
=
+ prawdziwy jest wzór S
S
S , to jest to
n
2 n
3 n
ciąg stały.
⎧ a = 3
9. Dany jest ciąg określony wzorem rekurencyjnym
1
⎨
. Wykaż, że jest to ciąg geometryczny.
a
= 2 a , n ≥1
⎩ n 1
+
n
Wyznacz taką liczbę x, aby ciąg ( a , x, był arytmetyczny.
2
3
a )
10. Trzy kolejne kąty czworokąta wpisanego w okrąg tworzą ciąg arytmetyczny o pierwszym wyrazie 70 .
Wyznacz kąty tego czworokąta.
11. Wyznacz wszystkie wartości x tak, aby liczby ( 2 4
x , x , )
1 były trzema początkowymi wyrazami ciągu
arytmetycznego. Ile wyrazów tego ciągu należy do przedziału (0; 2) ?
12. Nieskończony ciąg geometryczny o pierwszym wyrazie 3 ma tę własność, że dowolny wyraz jest 2 razy większy od sumy wszystkich wyrazów występujących po nim. Wyznacz sumę tego ciągu.
13. Wykaż, że jeśli boki trójkąta prostokątnego tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy 3, to długości boków tego trójkąta są liczbami wymiernymi.
14. W kwadrat o boku 1 wpisano kwadrat w ten sposób, że wierzchołki kwadratu wpisanego leżą na różnych bokach danego kwadratu i kąt między bokiem danego kwadratu i wpisanego jest równy 60 . We wpisany kwadrat analogicznie wpisano trzeci, dalej czwarty itd. w nieskończoność. Oblicz sumę obwodów wszystkich kwadratów.
15. Pierwszym wyrazem ciągu geometrycznego jest liczba 3000, a jego ilorazem jest 0,5. Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego ciągu, które są mniejsze niż 3.
16. Dziesiąty wyraz pewnego ciągu geometrycznego równa się 10. Oblicz iloczyn dziewiętnastu początkowych, kolejnych wyrazów tego ciągu.
⎧ x + y + z = 4 m +1
⎪
17. Wyznacz parametr m tak, aby rozwiązanie ( x, y, z) układu ⎨ x + y − z =1
tworzyło rosnący ciąg
⎪2 x + y + 3 z = 9 m +1
⎩
geometryczny.
( n + 2)! n
18. Zbadaj monotoniczność ciągu a =
.
n
5 n
Ciągi liczbowe
Powtórzenie
⎛ 1 1 1 ⎞
19. Wykaż, że jeśli ( a, b, c) jest ciągiem arytmetycznym i jednocześnie
, ,
⎜
⎟ jest ciągiem
⎝ a b c ⎠
arytmetycznym, to liczby a, b i c są jednakowe.
20. Trzy kolejne boki czworokąta opisanego na okręgu tworzą ciąg geometryczny o pierwszym wyrazie 10 i sumie 70. Wyznacz długości boków tego czworokąta.
21. Rozwiąż równanie
2
3
1
sin x + sin x + sin x +… = − .
3
22. Trzy liczby tworzą ciąg geometryczny. Suma tych liczb jest równa –3. Jeśli do tych liczb dodamy odpowiednio 8, 7, 15, to otrzymane liczby utworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz te liczby.
23. Boki trójkąta tworzą ciąg arytmetyczny. Wykaż, że a > r lub a > −3 r , gdzie r jest różnicą tego ciągu.
2
24. Dany jest nieskończony ciąg trójkątów podobnych. Każdy trójkąt jest podobny do poprzedniego w skali .
3
Największy trójkąt ma obwód L i pole P. Oblicz sumę obwodów i sumę pól wszystkich trójkątów.
25. Wykaż, że nie istnieje nieskończony ciąg geometryczny o wyrazach różnych od zera, którego suma wszystkich wyrazów jest równa 2 i suma sześcianów wszystkich wyrazów jest równa 8.
π
26. Dla jakich wartości x ∈ 0;
trzy liczby
2
2
cos x, cos x + sin x, 2sin x są odpowiednio pierwszym, 2
drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego, w którym suma czterech pierwszych kolejnych wyrazów jest równa 6?
27. W ciągu arytmetycznym stosunek wyrazu szóstego do trzeciego równa się 7, a suma kwadratów wyrazów drugiego i czwartego równa się 40. Wyznacz ten ciąg.
28. Oblicz, dla jakiej wartości parametru p pierwiastki wielomianu W ( x) 3
= x − ( p + ) 2
1 x + ( p − 3) x + 3 tworzą
ciąg arytmetyczny.
29. Suma trzech liczb tworzących ciąg geometryczny równa się pierwiastkowi równania log ( x − 9) + 2log 2 x −1 = 2 . Jeśli do drugiej dodamy 2, a pozostałe pozostawimy bez zmian, to otrzymamy trzy kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego. Znajdź te liczby.
30. Cztery liczby tworzą ciąg geometryczny. Jeżeli od pierwszej z nich odejmiemy 2, od drugiej 3, od trzeciej 9
a od czwartej 25, to otrzymamy ciąg arytmetyczny. Znajdź te liczby.
31.
2
2
2
Wyznacz te wartości x, dla których trzy liczby (1− x) , 1+ x , (1+ x) są jednocześnie kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego i ciągu geometrycznego.
32. Rozwiąż równanie
3
2
ax + bx + cx + d = 0 , jeżeli jego współczynniki a, b, c, d tworzą ciąg geometryczny o ilorazie q = 2.
33. Dany jest wielomian
( ) 3
2
W x = x + mx + nx + p , którego pierwiastkiem jest liczba –2. Cztery kolejne współczynniki wielomianu W tworzą ciąg geometryczny. Wyznacz wartości współczynników m, n i p.
34. Liczby
− + = , gdzie
1
x i 2
x są pierwiastkami równania
2
3 x
x
m
0
m jest pewną ujemną liczbą rzeczywistą.
Ciąg (
n
a
jest określony wzorem a = x + x
. Oblicz sumę wyrazów tego ciągu.
n
( 1 2 )
n )
2 n−3
⎛ 3 − ⎞
35.
p
Dany jest ciąg ( a o wyrazie ogólnym a =
.
n )
n
⎜
⎟
⎝ 3 + p ⎠
a) Udowodnij, że ciąg ( a jest ciągiem geometrycznym n )
b) Wyznacz wartości p, dla których istnieje suma wszystkich wyrazów ciągu ( a . Oblicz tę sumę.
n )
c) Wyznacz te wartości parametru p, dla których ciąg ( a jest malejący.
n )