Prosta i płaszczyzna w przestrzeni

Zadanie 1

Napisać równanie płaszczyzny, która przechodzi przez: (a) punkt (1, -2, -1) i jest prostopadła do wektora [1, -3, 2], (b) punkt (0, 2, 5) i jest równoległa do wektorów [1, 0, 0] i [2, 1, -3], (c) punkty (1, 0, 2), (-1, 2, 2), (0, 3, 4),

(d) dwie proste równoległe

x

z + 2

l 1 :

= y − 1 =

,

2

3

x − 3

z

l 2 :

= y =

2

3

(e) prostą x = y − 1 = z+2 i jest równoległa do prostej x = y = z .

2

3

3

Zadanie 2

Płaszczyzny G 1 : 2 x−y+5 z− 1 = 0 , G 2 : x+ y+2 = 0 wyznaczają pewien pęk płaszczyzn.

Wyznacz płaszczyznę G należącą do tego pęku i spełniającą jeden z następujących warunków:

(a) G przechodzi przez punkt P = (3 , 4 , 5) , (b) G jest równoległa do płaszczyzny x + 4 y − 5 z = 0 , (c) G jest równoległa do prostej x = y = z, (d) G jest prostopadła do prostej x = y = z, (e) G jest równoległa do płaszczyzny x + y + z = 0 .

TEORIA

P = ( x, y, z)-dowolny punkt przestrzeni Oxyz P 0 = ( x 0 , y 0 , z 0) , P 1 = ( x 1 , y 1 , z 1) , P 2 = ( x 2 , y 2 , z 2)-dane punkty Prosta w

3

R

Prosta przechodząca przez punkt P 0 i równoległa do niezerowego wektora v = [ p, q, r]

ma równanie wektorowe

−→

P 0 P = tv ,

t ∈ R ,

( ∗)

które zapisujemy w postaci parametrycznej

x − x 0 = pt,

y − y 0 = qt,

z − z 0 = rt,

t ∈ R

lub w postaci proporcji podwójnej

x − x 0

y − y 0

z − z 0

=

=

.

p

q

r

1

Prosta przechodząca przez dwa różne punkty P 0 i P 1 ma równanie wynikające z (*)

−→

przez zastąpienie wektora v wektorem P 0 P 1.

Płaszczyzna w

3

R

Płaszczyzna przechodząca przez punkt P 0 i prostopadła do niezerowego wektora N = [ A, B, C] ma równanie wektorowe

−→

N P 0 P = 0 ,

które zapisujemy w postaci ogólnej

A( x − x 0) + B( y − y 0) + C( z − z 0) = 0

lub w postaci zredukowanej

Ax + By + Cz + D = 0

gdzie D = −Ax 0 − By 0 − Cz 0 .

Płszczyzna przechodząca przez punkt P 0 i równoległa do wektorów v1 = [ p 1 , q 1 , r 1], v2 = [ p 2 , q 2 , r 2] (wektory v1 , v2 nie są równoległe) ma równanie wektorowe

−→

P 0 P = tv1 + sv2 , t, s ∈ R ,

( ∗∗)

które zapisujemy w postaci parametrycznej

x − x 0 = p 1 t + p 2 s y − y 0 = q 1 t + q 2 s z − z 0 = r 1 t + r 2 s gdzie t ∈ R . Prosta przechodząca przez trzy niekolinearne punkty P 0, P 1, P 2 ma równa-

−→

−→

nie wynikające z (**) przez podstawienie v1 = P 0 P 1, v2 = P 0 P 2.

Pęk płaszczyzn

Niech będą dane dwie różne płaszczyzny (równoległe lub przecinające się) G 1 : A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 , G 2 : A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 .

Pęk płaszczyzn wyznaczony przez płaszczyzny G 1 i G 2 ma równanie λ( A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1) + µ( A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2) = 0 , gdzie λ 2 + µ 2 6= 0 . Jeśli płaszczyzny przecinają się, to układ równań A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 , A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0

jest równaniem krawędziowym prostej l = G 1 ∩ G 2 .

2