SIMR 2013/14, Analiza 1, wykład 14, 2014-01-24
Całka z parametrem
Dosyć często zachodzi potrzeba obliczania całek z parametrem: g 2( x)
Z
f ( x, t)d t
g 1( x)
Należy zauważyć, że wynik całkowania jest funkcją zależną tylko od parametru x (nie ma zaleznopści od t) :
g 2( x)
Z
H( x) =
f ( x, t)d t
g 1( x)
Czasami można wykonać pewne operacje na funkcji H( x) bez obliczania całki.
x 2
Z
Przykład: Obliczyć pochodną H0( x) , gdzie H( x) =
e−t 2d t
x
Funkcja f ( t) = e−t 2 jest ciągła na przedziale ( −∞, ∞), ma więc funkcję pierwotną: F 0( t) = e−t 2 , ∀x ∈ ( −∞, ∞) Wtedy:
H( x) = F ( x 2) − F ( x) więc:
H0( x) = F 0( x 2) · 2 x − F 0( x) = 2 xe−x 4 − e−x 2
Całka niewłaściwa
Warunkiem koniecznym istnienia całki Riemanna jest ograniczoność funkcji. Często trzeba jednak obliczać całki kiedy funkcja jest nieograniczona i/lub przedział całkowania jest nieograniczony. Całka niewłaściwa jest uogólnieniem pojęcia całki Riemanna obejmującym takie przypadki.
Dla każdej funkcji f całkowalnej na przedziale < a , b > zachodzi własność: b
c
Z
Z
f ( x)d x = lim
f ( x)d x
c→b−
a
a
Definicja całki niewłaściwej:
Przypadki szczególne:
Jeżeli f : < a , b) → R jest nieograniczona oraz ∀c ∈< a , b) f jest całkowalna na < a , c > (a więc musi być ograniczona na tym przedziale) to definiujemy całkę niewłaściwą: b
c
Z
Z
f ( x)d x = lim
f ( x)d x
c→b−
a
a
o ile istnieje skończona granica z lewej strony. W takim przypadku mówimy, że istnieje całka niewłaściwa (całka niewłaściwa jest zbieżna). Jeżeli nie istnieje skończona granica, to mówimy, że całka niewłaściwa nie istnieje (jest rozbieżna).
Podobnie definiujemy całkę niewłaściwą:
b
b
Z
Z
f ( x)d x = lim
f ( x)d x
c→a+
a
c
Oraz całki po przedziałach nieograniczonych:
1
c
Z
Z
f ( x)d x = lim
f ( x)d x
c→∞
a
a
b
b
Z
Z
f ( x)d x = lim
f ( x)d x
c→−∞
−∞
c
zakładając, że całki po prawej stronie istnieją.
W ogólnym przypadku, jeżeli w przedziale całkowania jest skończona liczba “punktów niewłaściwych“ : ±∞ oraz punktów w otoczeniu których funkcja jest nieograniczona, to: 1. Rozkładamy przedział całkowania całki niewłaściwej na sumę przedziałów z jednym tylko punktem niewłaściwym na jednym z końców przedziału.
2. Całka niewłaściwa istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje każda z całek niewłaściwych składowych i jest równa sumie tych całek.
∞
Z
1
Przykład: Obliczyć
d x
x 2
1
Jest to całka niewłaściwa z jednym punktem niewłaściwym x = ∞ na końcu przedziału.
∞
c
Z
1
Z
1
h − 1 i c
− 1
d x = lim
d x = lim
= lim
+ 1 = 0 + 1 = 1
x 2
c→∞
x 2
c→∞
x 1
c→∞
c
1
1
∞
Z
1
Całka niewłaściwa jest zbieżna i
d x = 1
x 2
1
1
Z
1
Przykład: Obliczyć
d x
x
0
Jest to całka niewłaściwa z jednym punktem niewłaściwym x = 0 na początku przedziału: 1
1
Z
1
Z
1
i1
d x = lim
d x = lim [ln |x|
= lim ln |c| = −∞
x
c→ 0+
x
c→ 0+
c
c→ 0+
0
c
1
Z
1
a więc całka niewłaściwa
d x nie istnieje (jest rozbieżna).
x
0
∞
Z
1
Przykład: Obliczyć
d x
x 2 + 1
−∞
Jest to całka niewłaściwa z dwoma punktami niewłaściwymi x = ±∞. Stąd:
∞
0
∞
Z
1
Z
1
Z
1
d x =
d x +
d x
x 2 + 1
x 2 + 1
x 2 + 1
−∞
−∞
0
0
0
Z
1
Z
1
h
i0
π
d x = lim
d x = lim arc tg x
= lim
0 − arc tg c =
x 2 + 1
c→−∞
x 2 + 1
c→−∞
c
c→−∞
2
−∞
c
∞
c
Z
1
Z
1
h
i c
π
d x = lim
d x = lim arc tg x
= lim arc tg c − 0 =
x 2 + 1
c→∞
x 2 + 1
c→∞
0
c→∞
2
0
0
∞
Z
1
π
π
Ponieważ obie całki niewłaściwe są zbieżne, więc
d x =
+
= π
x 2 + 1
2
2
−∞
5
Z
1
Przykład: Obliczyć
d x
q |x − 1 |
0
Jest to całka niewłaściwa z jednym punktem niewłaściwym x = 1 wewnątrz przedziału
< 0 , 5 > :
2
1
5
Z
1
Z
1
Z
1
d x =
d x +
d x
q
q
q
|x − 1 |
|x − 1 |
|x − 1 |
0
0
1
1
c
Z
1
Z
1
√
√
i c
d x = lim
√
d x = lim [ − 2 1 − x
= lim − 2 1 − c + 2 = 2
q |x − 1 |
c→ 1 −
1 − x
c→ 1 −
0
c→ 1 −
0
0
5
5
Z
1
Z
1
√
√
i5
d x = lim
√
d x = lim [2 x − 1
= lim 4 − 2 c − 1 = 4
q |x − 1 |
c→ 1+
x − 1
c→ 1+
c
c→ 1+
1
c
5
Z
1
d x = 2 + 4 = 6
q |x − 1 |
0
Zastosowania całki Riemanna
Uwaga Jeżeli w zastosowaniach całki funkcja podcałkowa lub przedział całkowania będą nieograniczone to należy traktować całkę jako całkę niewłaściwą.
Pole powierzchni obszaru
Niech f, g : < a, b >→ R będą funkcjami ciągłymi, takimi, że ∀x ∈< a, vb > f ( x) > g( x) Wtedy pole obszaru : {( x, y) : x ∈< a, b >, g( x) ¬ y ¬ f ( x) } istnieje i jest równe: b
Z
S =
f ( x) − g( x) d x a
Przykład: Obliczyć pole powierzchni obszaru ograniczonego krzywymi: y = x 2 i y = 2 − x Szukamy punktów przecięcia krzywych rozwiązując układ równań: y = x 2 i y = 2 − x
x 2 = 2 − x
x 2 + x − 2 = 0
δ = 9 − 1 − 3
x 1 =
= − 2
2
− 1 + 3
x 2 =
= 1
2
Stąd: a = − 2 , b = 1
W przedziale < − 2 , 1 > krzywa y = 2 − x leży powyżej krzywej y = x 2
Szukane pole S jest równe:
1
Z
h
x 2
x 3 i1
1
1
8
9
S =
2 − x − x 2) d x = 2 x −
−
= 2 −
−
− − 4 − 2 +
=
2
3 − 2
2
3
3
2
− 2
Długość krzywej
Niech y : < a, b >→ R będzie funkcją klasy C 1 . Wtedy wykres tej funkcji jest krzywą.
Długość tej krzywej istnieje i jest równa:
b
Z
q
l =
1 + ( y0( x))2d x
a
√
4
Przykład: Obliczyć długość krzywej y = ( x)3 , x ∈< 0 ,
>
3
3 √
y0 =
x
2
4
4
3
3 s
3
Z
4
q
Z
9
h 2
4
9
2 i
8
56
l =
1 + ( y0( x))2d x =
1 +
x d x =
·
· 1 + x
3 =
· (8 − 1) =
4
3
9
4
0
27
27
0
0
3
Niech y : < a, b >→ R będzie funkcją ciągłą nieujemną. Wtedy objętość bryły powstałej z obrotu obszaru: {( x, y) : x ∈< a, b >, 0 ¬ y ¬ y( x) } wokół osi Ox istnieje i jest równa: b
Z
V =
π( y( x))2d x
a
√
Przykład: Obliczyć objętość bryły powstałej przez obrót obszaru: 0 ¬ y ¬
x , x ∈< 0 , 1 > wokół osi Ox
1
1
Z
Z
h x 2 i1
π
V =
π( y( x))2d x =
πx d x = π
=
2 0
2
0
0
Pole powierzchni obrotowej
Niech y : < a, b >→ R będzie funkcją klasy C 1 nieujemną. Wtedy pole powierzchni powstałej z obrotu wykresu funkcji wokół osi Ox istnieje i jest równe: b
Z
q
S =
2 πy( x) 1 + ( y0( x))2d x a
√
Przykład: Obliczyć pole powierzchni powstałej przez obrót krzywej: y = 2 x , x ∈< 3 , 8 > wokół osi Ox
1
y0( x) = √x
8
8
s
8
Z
√
q
Z
√
1
Z
h 2
S =
2 πy( x) ·
1 + ( y0( x))2d x = 2 π
2 x ·
1 +
d x = 4 π
x + 1d x = 4 π
( x +
x
3
3
3
3
3
i8
8 π
152 π
1) 2 )
=
(27 − 8) =
3
3
3
4