mgr inż. Paweł Szeptyński – „ Podstawy wytrzymałości materiałów i mechaniki ustrojów prętowych”

01 – Charakterystyki geometryczne przekroju - TEORIA Charakterystyki geometryczne przekrojów poprzecznych prętów MOMENT STATYCZNY I ŚRODEK CIĘŻKOŚCI FIGURY

A=∬ dx dy

- pole powierzchni [m2]

A

S =

y dx dy

x

∬

- moment statyczny względem płaszczyzny XZ [m3]

A

S =

x dx dy

y

∬

- moment statyczny względem płaszczyzny YZ [m3]

A

Ponieważ rozpatrujemy figury płaskie leżące w płaszczyźnie XY, więc moment statyczny względem płaszczyzny XZ lub YZ możemy w pewnym sensie utożsamiać z momentem statycznym względem osi odpowiednio x i y.

S

S

Położenie środka ciężkości O:

x = y

y = x , stąd: S = A y S = A x

O

A

O

A

x

O

y

O

•

Jeśli figura ma jedną oś symetrii to środek ciężkości leży na tej osi

•

Jeśli figura ma więcej niż jedną oś symetrii to środek ciężkości wyznaczony jest przez punkt przecięcia się tych osi

•

Moment statyczny względem osi przechodzących przez środek ciężkości jest równy 0

MOMENTY BEZWŁADNOŚCI

I =

y 2 dx dy

x

∬

- moment bezwładności względem osi X [m4]

A

I =

x 2 dx dy

y

∬

- moment bezwładności względem osi X [m4]

A

D =

xy dx dy

xy

∬

- moment dewiacji (zboczenia) względem płaszczyzn XZ i YZ [m4]

A

I =

r 2 dA=

( x 2+ y 2) dx dy= I + I 0

∬

∬

x

y

- biegunowy moment bezwładności [m4]

A

A

i =

i =

- promienie bezwładności względem osi x i y [m]

x

√ IxA y √ IyA

•

Moment bezwładności jest zawsze dodatni. Moment dewiacji może być ujemny.

GŁÓWNE MOMENTY BEZWŁADNOŚCI FIGURY

− D

Tensor momentu bezwładności:

I=[ I x

xy]

− D

I

xy

y

Główne momenty bezwładności – rozwiązania równania wiekowego: I 2− a I+ b=0 , gdzie:

a = tr (bold I ) `=Ì_x + I_y , b = det (I) = I I − D 2

x

y

xy

I + I

− I

I

= x

y ±

y )2+ D 2

max

√( Ix

/ min

2

2

xy

mgr inż. Paweł Szeptyński – „ Podstawy wytrzymałości materiałów i mechaniki ustrojów prętowych”

01 – Charakterystyki geometryczne przekroju - TEORIA Kąt między kierunkiem osi x a kierunkiem maksymalnego momentu bezwładności ξ :

D

I − I

D

I − I

tg φ =

xy

= x

max =

xy

= min

y

I y− I max

Dxy

I min− I x

Dxy

•

Osie główne tensora bezwładności (kierunki maksymalnego i minimalnego momentu bezwładności) są zawsze prostopadłe

•

W układzie osi głównych tensor bezwładności ma postać diagonalną z głównymi momentami bezwładności na przekątnej głównej i momenami dewiacji równymi 0

•

W układzie osi nachylonym do osi głównych pod kątem 45° momenty dewiacji przyjmują wartości ekstremalne (maksymalne lub minimalne)

•

Jeśli figura posiada oś symetrii to jest ona kierunkem głównym bezwładności, drugi kierunek główny zaś jest do niego prostopadły

•

Jeśli figura posiada więcej niż dwie osie symetrii (koło, kwadrat, n-kąty foremne, n > 2, itp.) to dowolne kierunki są kierunkami głownymi bezwładności TWIERDZENIE STEINERA

Moment bezwładności względem dowolnej prostej jest równy momentowi bezwładności względem prostej do niej równoległej przechodzącej przez środek ciężkości figury powiększonemu o iloczyn jej pola i odległości między tymi prostymi:

I x= I X + Ad 2

Moment dewiacji względem dwóch płaszczyzn jest równy momentowi dewiacji względem równoległych płaszczyzn przechodzących przez środek ciężkości figury powiększonemu o iloczyn jej pola oraz miar odległości między odpowiednimi płaszczyznami: D = D + A d d

xy

XY

x

y

UWAGA: d , d

x

y

mogą być ujemne!

MOMENT BEZWŁADNOŚCI WZGLĘDEM DOWOLNEJ PROSTEJ

Moment bezwładności względem dowolnej prostej l przechodzącej przez środek ciężkości O i nachylonej pod kątem α do osi centralnej X: I l= I X cos2 α + I Y sin2α−2 DXY sin α cosα

mgr inż. Paweł Szeptyński – „ Podstawy wytrzymałości materiałów i mechaniki ustrojów prętowych”

01 – Charakterystyki geometryczne przekroju - TEORIA Charakterystyki geometryczne wybranych figur płaskich x y – osie przyjętego układu współrzędnych X Y – osie centralne, przechodzące przez środek ciężkości osie równoległe do osi przyjętego układu ξ η – osie główne bezwładności – jeśli nie zaznaczono inaczej, pokrywają się z X Y

I , I , D

x

y

z

- momenty bezwładności w przyjętym układzie x y I , I , D

X

Y

Z

- centralne momenty bezwładności

I

, I

, I

max

min

0

- centralne główne momenty bezwładności

UWAGA: Jeśli figura (prostokąt, trójkąt prostokątny, ćwiartka koła) znajduje się w II lub IV

ćwiartce podstawowego układu współrzędnych x y, którego osie zawierają krawędzie tej figury, to momenty dewiacji względem tych osi mają znaki przeciwne do podanych poniżej.

Prostokąt

b 2 h 2

bh

A= bh

D =

I =

( b 2+ h 2)

z

4

0

12

b

b h 3

b h 3

x =

I =

I

=

O

2

x

3

max

12

h

b 3 h

b 3 h

yO=

I

I

2

y= 3

min= 12

Trójkąt

1

b 2 h 2

b 2 h 2

bh

A= bh

D

D

I

( b 2+ h 2)

2

z= 24

Z =− 72

0= 36

b

bh 3

bh 3

bh

x

I

I

I

[ b 2

O=

+ h 2+√ h 4− h 2 b 2+ b 4]

3

x= 12

X = 36

max= 72

h

b 3 h

b 3 h

bh

y

I

I

I

[ b 2

O=

+ h 2−√ h 4− h 2 b 2+ b 4]

3

y= 12

Y = 36

min= 72

φ=arctg

bh

h 2− b 2+√ h 4− h 2 b 2+ b 4

UWAGA: Jeśli trójkąt zorientowany jest w układzie osi centralnych w ten sposób, że trapezy odcięte przez jego osie znajdują się w I i II ćwiartce układu, wtedy centralny moment dewiacji jest dodatni.

Koło

A

π R 4

=π R 2

I =

0

2

π R 4

xO=0

Imax= 4

y

π R 4

=0

I =

O

min

4

mgr inż. Paweł Szeptyński – „ Podstawy wytrzymałości materiałów i mechaniki ustrojów prętowych”

01 – Charakterystyki geometryczne przekroju - TEORIA Półkole

8

A π R 2

=

D =0

I = R 4(π− )

2

z

0

4 9 π

x

π R 4

π R 4

=0

I =

I

= I =

O

x

8

max

Y

8

4 R

8

y

π R 4

=

I =

I = I = R 4(π− )

O

3 π

y

8

min

X

8 9 π

Ćwiartka koła

π R 2

R 4

4

8

A=

D

D

−

)

I

−

)

4

z= 8

Z = R 4(18 9π

0= R 4( π8 9π

4 R

π R 4

4

x

I

I

)

I

O=

−

3 π

x = 16

X = R 4( π

16 9 π

max= R 4 ( π− 2)

16

4 R

π R 4

4

y

I

I

O=

−

) I

3 π

y = 16

Y = R 4( π

16 9 π

min= R 4 (9 π 2+18 π −128)

144 π

φ=45∘

UWAGA: DZ oraz Dz obliczone dla orientacji figury jak na rysunku.

Przekrój złożony – na podstawie belki dwuteowej Półka górna:

b t 3

3

A

b t

= t ⋅ b

f1 f1

f1 f1

f1

f1

f1

I

=

I

=

x , f1

12

y , f1

12

Półka dolna:

3

3

A

b

b t

= t ⋅ b

f2 t f2

f2 f2

f2

f2

f2

I

=

I

=

x , f2

12

y , f2

12

Środnik:

3

3

A

t

b h

= t ⋅ h

w hw

w

w

w

w

w

I

=

I

=

x ,w

12

y , w

12

Jedna z osi głównych pokrywa się z osią symetrii przekroju y.

Druga jest prostopadła do niej, równoległa do x.

Pole powierzchni przekroju:

A= A + A + A

f1

f2

w

A ⋅ t

h

t

Moment statyczny względem osi x:

S = f2 f2 + A ⋅( t + w)+ A ⋅( t + h + f1) x

2

w

f2

2

f2

f2

w

2

Moment statyczny względem osi y:

S =0

y

S

S

Położenie środka ciężkości:

x = y=0

y = x

O

A

O

A

Główne centralne momenty bezwładności:

t

h

t

I

f2 )2]

w )2]

f1 )2]

x=[ I x, f1+ Af1⋅( yO−

+ [ I

+ [ I

2

x ,w+ Aw⋅( yO− t f2− 2

x , f2+ A f2⋅( yO− t f2− hw− 2

I = I

+ I

+ I

y

y , f1

y , f2

y ,w