PROSTA I PŁASZCZYZNA W PRZESTRZENI 1. Napisać równanie prostej przechodzącej przez punkt A(1, 2, −1) i rów-noległej do wektora [−2, 1, 2] w postaci parametrycznej i kanonicznej.
Następnie wyznaczyć równanie płaszczyzny prostopadłej do tej prostej, przecinającej ją w punkcie A. Przedstawić ją w postaci normalnej i ogólnej.
2. Napisać równanie ogólne płaszczyzny przechodzącej przez punkty A(−1, 3, 4), B(0, 2, 1), C(4, −1, 1).
3. Czy płaszczyzny π1 i π2 wyznaczają pęk płaszczyzn? Jeśli tak, napi-sać jego równanie.
a. π1: 3x − 2y + z + 7 = 0, π2: −6x + 4y − 2z − 9 = 0, b. π1: 2x − y + z − 5 = 0, π2: −x + 3y + 2z + 1 = 0.
4. Wyznaczyć odległość płaszczyzny π: 4x − 2y + z − 3 = 0 od: a. punktu A(−5, 2, 1),
b. płaszczyzny π1: 8x − 4y + 2z + 4 = 0.
5. Zbadać położenie podanych płaszczyzn względem płaszczyzny π: 2x − y + 3z − 4 = 0.
a. π1: 4x − 2y + 6z − 8 = 0,
b. π2: x − y − z + 5 = 0
c. π3: −6x + 3y − 9z − 17 = 0 d. π4: 5x − y + 2z − 1 = 0
6. Zbadać wzajemne położenie podanych prostych względem prostej
x = 1 + 3t
l:
y = 2 − 2t , t ∈ R.
z = −3 + t
x = −3 + 2t
x = −4 − 6t
x = −2 − t
a. l1:
y = 5 + 4t
b. l2:
y = −1 + 4t
c. l3:
y = 4 − t
z = −1 + 2t
z = −2t
z = −4 + 2t