WYZNACZANIE MODUŁU SZTYWNOŚCI
METODĄ DYNAMICZNĄ
Ć wiczenie nr 11
Fizyka – laboratorium
Arkadiusz Bednarz
79326
1imd L1 (Grupa: 1)
1
1. Zarys teoretyczny
2. Cel i przebieg ćwiczenia
3. Obliczenia i zestawienie wyników
4. Wnioski
1. Zarys teoretyczny
Ciało nazywamy sprężystym, jeżeli odkształcenia, wywołane działającymi na nie siłami, znikają zupełnie po usunięciu tych sił.
Istotę sprężystości można zrozumieć rozważając chociażby w przybliżeniu strukturę wewnętrzną ciała stałego. Każde ciało jest zbudowane z atomów lub cząsteczek, między którymi działają siły nazywane międzycząsteczkowymi. Siły te są w ciałach stałych na skutek małych odległości międzycząsteczkowych na tyle duże, że cząsteczki są dzięki temu uporządkowane, tworząc regularną strukturę przestrzenną, nazwaną siecią krystaliczną. Każda cząsteczka, nazywana w taki przypadku również węzłem sieciowym ma swoje położenie równowagi, wokół
którego wykonuje niewielkie, chaotyczne, zależne od temperatury ciała drgania. Powstanie stanu równowagi trwałej wynika z faktu, że między każdymi dwiema cząsteczkami występują dwojakiego rodzaju siły : przyciągania oraz odpychania, o niejednakowej zależności od odległości międzycząsteczkowej, przy czym siły odpychania rosną zawsze znacznie bardziej wraz ze zbliżaniem się cząsteczek niż siły przyciągania.
Prawo Hooke'a formułuje zależność między naprężeniem a odkształceniem: Jeżeli naprężenia w ciele są dostatecznie małe ,to wywołane przez nie odkształcenia względne są do nich wprost proporcjonalne.
2. Cel i przebieg ćwiczenia
• Praktyczne zapoznanie się z drganiami wahadła torsyjnego (skrętnego).
• Zapoznanie się z metodą pomiaru modułu sztywności materiału pręta za pomocą wahadła torsyjnego.
• Wyznaczenie wartości modułu sztywności.
a) Zmierzyć 10-krotnie średnicę (d=2r) badanego pręta. Wyznaczyć wartość średnią.
b) Zmierzyć długość pręta (L).
c) Zawiesić płytę o nieznanym momencie bezwładności na badanym pręcie i zmierzyć czas 40
okresów (40 T0).
d) Zmierzyć średnicę płyty (D=2R) o znanej masie (M=1,73 kg).
e) Zawiesić płytę o znanej masie i średnicy na osi badanego pręta (do płyty zawieszonej poprzednio) i powtórnie zmierzyć czas 40 okresów drgań
f) (40 T1).
g) Wyznaczyć moduł sztywności pręta korzystając z zależności: 2
G = 4
r ⋅ ( 2
2
T − T
1
0 )
h) gdzie: J0- moment bezwładności dołączonej płyty o znanej masie i średnicy.
i) Wyznaczyć maksymalny błąd względny obarczający obliczoną wartość modułu sztywności G.
3. Obliczenia i zestawienie wyników
a) Pomiary
Średnica prętu
Promień płyty
d=2r [mm] ± 0,01 [mm]
R [mm] ± 0,05 [mm]
1
2,85
152,00
2
2,83
149,70
3
2,85
151,15
4
2,80
151,10
5
2,81
150,80
6
2,83
149,95
7
2,83
149,95
8
2,82
151,80
9
2,81
152,20
10
2,8
150,40
średnia
2,823
150,905
Tabela 1: Zestawienie wyników pomiarów ś rednic i promieni Wartości średnie zostały wyznaczone metodą średniej arytmetycznej.
1 płyta – 40 wahnięć – czas t1
2 płyty – 40 wahnięć – czas t2
[s] ± 0,01 [s]
[s] ± 0,01 [s]
1
45,62
64,09
2
45,84
64,01
3
45,30
64,10
4
45,53
64,96
5
45,49
64,54
6
45,34
64,23
7
45,65
średnia
45,538
64,322
Tabela 2: Zestawienie wyników pomiarów czasu Długość pręta L [mm] ± 10 [mm]
1
870
2
870
3
870
średnia
870
Tabela 3: Zestawienie wyników pomiaru długoś ci prę ta 3
b) Obliczenia modułu sztywności
ଵ
=
∗ ∗ ଶ - moment bezwładności płyty
ଶ
= 1,73 [] - masa płyty
- promień płyty
̅ = 0,5 ∗ ̅ - promień pręta
௧ଶ
2 =
= 1,608 – okres drgań dwóch płyt
ସ
௧ଵ
1 =
= 1,138 - okres drgań jednej płyty
ସ
1
=
∗ 1,73 ∗ (150,905 ∗ 10ିଷ)ଶ = 0,019698 [ ∗ ଶ]
2
ே
G – moduł sztywności (Kirchhoffa) [
] = []
మ
8 ∗ ∗ ∗
8 ∗ 3,14 ∗ 0,87 ∗ 0,019698
0,494815
= ̅
=
=
ସ ∗ (
2
ଶ − 1
ଶ) (0,5 ∗ 2,823 ∗ 10ିଷ)ସ ∗ (1,608ଶ − 1,138ଶ) 5,119 ∗ 10ିଵଶ
= 9,6656 ∗ 10ଵ[ ]
ଶ
c) Błąd obliczeniowy
Rachunek błędów metodą różniczki zupełniej
= , , , 2, 1
1
1
1
8 ∗ ∗ ∗ ∗ ଶ
8 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ଶ
8 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ 2
=
2
2
2
̅ସ ∗ 2
ଶ − 1
ଶ ∗ + − 4̅ଷ ∗ 2
ଶ − 1
ଶ ∗ + ̅ସ ∗ 2
ଶ − 1
ଶ ∗
1
1
8 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ଶ
8 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ଶ
+ −
2
2
̅ସ ∗ 2 ∗ 2
∗ 2 + −
̅ସ ∗ 2 ∗ 1
∗ 1
= 4832832,7 + 296,737 + 111449308126,3 + 337218530,2 + 476309581,4
= 112267669367,3[ ]
ଶ
d) Zbiorcze zestawienie wyników
= 9,6656 ∗ 10ଵ ± 112267669367,3
ଶ
4. Wnioski
Przeprowadzone przez nas ćwiczenie potwierdziło założenia teoretyczne. Na podstawie obserwacji zmian zachodzących w naszym układzie pomiarowym, doszedłem do wniosku, iż wraz ze wzrostem masy i/lub średnicy płyty, wzrasta moment bezwładności, a także okres drgań. Pomimo dokładności z jaką wykonaliśmy to ćwiczenie, a także pomimo dokładności przyrządów, błąd przerósł obliczoną wartość o 116%. Wynika to z dokładności pomiaru długości pręta, a także z ilości wielkości wpływających na obliczenie modułu sztywności.
4