Wydział: WILiŚ, Budownictwo, sem.2
dr Jolanta Dymkowska
Wyznaczanie wartości własnych macierzy stopnia trzeciego Fakt
(Postać wielomianu charakterystycznego macierzy stopnia n = 3 ) Niech A będzie
macierzą postaci:
a
11
a 12
a 13
A = a
21
a 22
a 23
a 31
a 32
a 33
Wówczas wielomian charakterystyczny ma postać: W ( λ) = − λ 3 + p 1 λ 2 − p 2 λ + p 3 , gdzie:
•
p 1 = a 11 + a 22 + a 33 = tr A nazywamy śladem macierzy A ,
•
p 2 jest sumą minorów głownych stopnia drugiego macierzy A , tj.
a
a
a
p
11
a 12
11
a 13
22
a 23
2
=
+
+
,
a
a
a
21
a 22
31
a 33
32
a 33
•
p 3 = W (0) = det A jest wyznacznikiem macierzy A .
Przykład
Korzystjąc z powyższego faktu wyznaczyć wartości własne macierzy:
0
1
0
A = − 4
4
0
− 2
1
2
Rozwiązanie
Obliczamy:
•
p 1 = a 11 + a 22 + a 33 = 0 + 4 + 2 = 6 ,
•
0
1
0
0
4
0
p
2
=
+
+
= 4 + 0 + 8 = 12
− 4
4
− 2
2
1
2
•
p 3 = W (0) = det A = 8.
Stąd
W ( λ) = − λ 3 + 6 λ 2 − 12 λ + 8 = −( λ − 2)3 .
Zatem rozwiązując równanie charakterystyczne W ( λ) = 0, otrzymujemy λ = 2.