CAŁKA POTRÓJNA

1. Obliczyć całkę po prostopadłościanie.

(a)

1

dxdydz , gdzie P

{ (x,y,z): 0

x

4 , 4

y

7 0

,

z

}

2

4 x z

P

(b)

5 y

z

xe

2 dxdydz , gdzie P {( x,y, ) z : 1

x

3 1

,

y

1 0

,

z

}

2

5

P

(c)

x 2

yz 3 dxdydz P

{( x,y, )

z : 1

x

4 , 2

y

3 0

,

z

}

2

P

(d)

(

x

y

z) dxdydz , P : 0

,

x y, z

2

P

2. Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami.

(a)

2

2

x

y

4 , z

1, z

5

(b)

2

2

z

x

y

2 , z

3

(c) 2 x

y

z

4 , ,

x y, z

0

(d)

2

2

z

4

x

y , z

5

(e)

2

2

z

2 x

2 y ,

2

2

z

6

x

y

3. Korzystając ze współrzędnych walcowych obliczyć całkę po obszarze ograniczonym

podanymi powierzchniami.

(a)

zdxdydz , gdzie

: z

9

2

2

x

y

0

(b)

(

x 2

y 2 ) dxdydz , gdzie

: 2

2

x

y

2 z

0 , z

2

(c)

xydxdydz , gdzie

:

2

2

z

x

y ,

2

2

z

1 x

y , ,

x y

0

(d)

xyzdxdydz , gdzie

: 2

2

2

x

y

z

1 , x

,

0 y

,

0 z

0

(e)

1

(

x 2

y 2 ) dxdydz , gdzie

: 2

2

x

y

16 , z

0 , z

4

4. Korzystając ze współrzędnych sferycznych obliczyć całkę po obszarze ograniczonym

podanymi powierzchniami.

(a)

(

x 2

y 2

z 2 ) dxdydz , gdzie

: 2

2

2

x

y

z

4, z

0

3

(b)

(

x 2

y 2

z 2 2

) dxdydz , gdzie

:

2

2

z

9

x

y , z

0 , y

x

(c)

yzdxdydz , gdzie

: 2

2

2

x

y

z

,

9 y

,

0 z

0

(d)

ydxdydz , gdzie

: 2

2

2

x

y

z

4, y

0 , z

0

Odpowiedzi.

1 (a) 16 17

(b) 2

4

2

(

e e

)

1

(c) 210

(d) 24

5

2 (a) 24

(b) 25

(c) 16

(d) 9

(e) (

4

6

2

4 )

2

3

3

3. (a) 243

(b) 8

(c) 1

1

2

(d) 1

(e)

5

9 2

4

3

15

80

48

4. (a) 1 6

2

(b) 1 5

3

(c) 2 4

3

(d) 2

5

2

5

1