CAŁKA POTRÓJNA
1. Obliczyć całkę po prostopadłościanie.
(a)
1
dxdydz , gdzie P
{ (x,y,z): 0
x
4 , 4
y
7 0
,
z
}
2
4 x z
P
(b)
5 y
z
xe
2 dxdydz , gdzie P {( x,y, ) z : 1
x
3 1
,
y
1 0
,
z
}
2
5
P
(c)
x 2
yz 3 dxdydz P
{( x,y, )
z : 1
x
4 , 2
y
3 0
,
z
}
2
P
(d)
(
x
y
z) dxdydz , P : 0
,
x y, z
2
P
2. Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami.
(a)
2
2
x
y
4 , z
1, z
5
(b)
2
2
z
x
y
2 , z
3
(c) 2 x
y
z
4 , ,
x y, z
0
(d)
2
2
z
4
x
y , z
5
(e)
2
2
z
2 x
2 y ,
2
2
z
6
x
y
3. Korzystając ze współrzędnych walcowych obliczyć całkę po obszarze ograniczonym
podanymi powierzchniami.
(a)
zdxdydz , gdzie
: z
9
2
2
x
y
0
(b)
(
x 2
y 2 ) dxdydz , gdzie
: 2
2
x
y
2 z
0 , z
2
(c)
xydxdydz , gdzie
:
2
2
z
x
y ,
2
2
z
1 x
y , ,
x y
0
(d)
xyzdxdydz , gdzie
: 2
2
2
x
y
z
1 , x
,
0 y
,
0 z
0
(e)
1
(
x 2
y 2 ) dxdydz , gdzie
: 2
2
x
y
16 , z
0 , z
4
4. Korzystając ze współrzędnych sferycznych obliczyć całkę po obszarze ograniczonym
podanymi powierzchniami.
(a)
(
x 2
y 2
z 2 ) dxdydz , gdzie
: 2
2
2
x
y
z
4, z
0
3
(b)
(
x 2
y 2
z 2 2
) dxdydz , gdzie
:
2
2
z
9
x
y , z
0 , y
x
(c)
yzdxdydz , gdzie
: 2
2
2
x
y
z
,
9 y
,
0 z
0
(d)
ydxdydz , gdzie
: 2
2
2
x
y
z
4, y
0 , z
0
Odpowiedzi.
1 (a) 16 17
(b) 2
4
2
(
e e
)
1
(c) 210
(d) 24
5
2 (a) 24
(b) 25
(c) 16
(d) 9
(e) (
4
6
2
4 )
2
3
3
3. (a) 243
(b) 8
(c) 1
1
2
(d) 1
(e)
5
9 2
4
3
15
80
48
4. (a) 1 6
2
(b) 1 5
3
(c) 2 4
3
(d) 2
5
2
5
1