Zespół Szkół Łączności w Gdańsku
________________________________________________
I. PRAWA LOGICZNE W ALGEBRZE BOOLE’A
Połączenie praw matematycznych z logiką układów cyfrowych.
PODSTAWOWE SYMBOLE FUNKCJI LOGICZNYCH
KONIUNKCJA
ALTERNATYWA
NEGACJA
Prawem rachunku zdań nazywamy zdanie złoŜone, które jest zawsze prawdziwe.
1. PRAWO PODWÓJNEGO PRZECZENIA
a = a (Komentarz: wynik zawsze równy a)
a
y = a
0
0
1
1
Układ cyfrowy - bramki:
wynik
2. PRAWO WYŁĄCZONEGO ŚRODKA
a + a = 1 (Komentarz: wynik zawsze równy 1) Zdanie lub jego zaprzeczenie zawsze jest prawdziwe a
y = a + a
0
1
1
1
Układ cyfrowy - bramki:
wynik
____________________________________________________________
Urządzenia techniki komputerowej
1
Zespół Szkół Łączności w Gdańsku
________________________________________________
3. PRAWO WYŁĄCZONEJ SPRZECZNOŚCI
a • a = 1 (Komentarz: wynik zawsze równy 1) Zaprzeczenie Ŝe (zdanie i jego zaprzeczenie) zawsze jest prawdziwe a
y = a • a
0
1
1
1
Układ cyfrowy - bramki:
wynik
4. PRAWO PRZEMIENNOŚCI KONIUNKCJI
a • b = b • a (Komentarz: kolejność a i b jest nieistotna) a
b
a • b ⇔ b • a
0
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
1
Układ cyfrowy - bramki:
wynik
wynik
5. PRAWO PRZEMIENNOŚCI ALTERNATYWY
a + b = b + a (Komentarz: kolejność a i b jest nieistotna) a
b
a + b ⇔ b + a
0
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
1
Układ cyfrowy - bramki:
wynik
wynik
____________________________________________________________
Urządzenia techniki komputerowej
2
Zespół Szkół Łączności w Gdańsku
________________________________________________
6. PRAWO ŁĄCZNOŚCI KONIUNKCJI
( a • b ) • c = a • ( b • c ) (Komentarz: kolejność operacji jest nieistotna)
a b c ( a • b) • c ⇔ a • ( b • c) 0
0
0
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
Układ cyfrowy - bramki:
wynik
wynik
7. PRAWO ŁĄCZNOŚCI ALTERNATYWY
( a + b ) + c = a + ( b + c ) (Komentarz: kolejność operacji jest niewaŜna)
a b c
( a + b) + c ⇔ a + ( b + c) 0
0
0
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
Układ cyfrowy - bramki:
wynik
wynik
____________________________________________________________
Urządzenia techniki komputerowej
3
Zespół Szkół Łączności w Gdańsku
________________________________________________
8. RAWO IDEMPOTENTNOŚCI KONIUNKCJI
a = ( a • a ) ( Komentarz: wynik zawsze równy a) a
a ⇔ a • a
0
1
1
1
Układ cyfrowy - bramki:
wynik
9. PRAWO IDEMPOTENTNOŚCI ALTERNATYWY
a = ( a + a ) ( Komentarz: wynik zawsze równy a) a
a ⇔ a + a
0
1
1
1
Układ cyfrowy - bramki:
wynik
10.
PRAWO ELEMENTU NEUTRALNEGO
a • 1 = a ( Komentarz: wynik zawsze równy a) a
a •1 ⇔ a
0
1
1
1
Układ cyfrowy - bramki:
wynik
a + 1 = 1 ( Komentarz: wynik zawsze równy 1) a
a +1 ⇔ 1
0
1
1
1
Układ cyfrowy - bramki:
wynik
____________________________________________________________
Urządzenia techniki komputerowej
4
Zespół Szkół Łączności w Gdańsku
________________________________________________
11.
PRAWO ROZDZIELNOŚCI KONIUNKCJI WZGLĘDEM
ALTERNATYWY
a • ( b + c ) = ( a • b ) + ( a • c ) a b c
a • ( b + c) ⇔
( a • b) + ( a • c) 0
0
0
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
12.
PRAWO ROZDZIELNOŚCI ALTERNATYWY WZGLĘDEM
KONIUNKCJI
a + ( b • c ) = ( a + b ) • ( a + c ) a b c
a + ( b • c) ⇔
( a + b) • ( a + c) 0
0
0
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
____________________________________________________________
Urządzenia techniki komputerowej
5
Zespół Szkół Łączności w Gdańsku
________________________________________________
13.
PIERWSZE PRAWO DE’ MORGANA
( a • b ) = a + b
(prawo zaprzeczenia koniunkcji)
a b
( a • b) ⇔ a + b
0
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
1
14.
DRUGIE PRAWO DE’ MORGANA
( a + b ) = a • b
(prawo zaprzeczenia alternatywy)
a b
( a + b) ⇔ a • b
0
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
1
15.
Przykład zastosowania praw logiki Boole’a do
minimalizacji układu kombinacyjnego
Układ kombinacyjny:
jest równowaŜy układowi:
Dowód na równowaŜność układów kombinacyjnych:
(( a + a) • ( a + a)) • ( a • b) = (( a) • ( a)) • ( a • b)
= ( a • a) • ( a • b) = 1• ( a • b) = ( a • b) = a + b ____________________________________________________________
Urządzenia techniki komputerowej
6