Struktura modelu ekonometrycznego
Zadanie 1.1
W poniŜszych modelach wskaŜ zmienne objaśniane, zmienne objaśniające, zmienne endogeniczne, zmienne egzogeniczne, parametry strukturalne i składniki losowe: a) y = β + β x + β x + ξ ,
t
0
1
t1
2
t 2
t
b) p = α + y
β + z
γ + ξ ,
t
t
t
t
c) y = δ + δ y
+ δ y
+ δ y
+ ε ,
t
0
1
t −1
2
t −2
3
t −3
t
d) w = β + β x + α x
+ α x
+ µ ,
t
0
1
t
1
t −1
2
t −2
t
e)
β
β
1
2
Q = β M Z
,
t
0
t
t
f)
{α +α t+ξ
0
1
t }
u = e
.
t
Zadanie 1.2
Odpowiedz na poniŜsze pytania.
a) Jaka jest część wspólna zbioru zmiennych objaśnianych i zmiennych endogenicznych?
b) Jaka jest część wspólna zbioru zmiennych egzogenicznych i zmiennych objaśniających?
c) Jaka jest rola składnika losowego ξ w modelu ekonometrycznym?
t
d) O czym informują nas parametry strukturalne występujące w modelu ekonometrycznym?
Zadanie 1.3
Zaproponuj i naszkicuj wykres modelu wykładniczego dla dowolnej zmiennej objaśnianej. Niech w modelu występuje jedna zmienna objaśniająca. Jak nazywa się taki model? Jak przebiega wykres tej funkcji w zaleŜności od wartości parametrów strukturalnych? Do opisu jakich zjawisk wykorzystywana jest ta funkcja?
Zadanie 1.4
Który z poniŜszych modeli jest dynamiczny i dlaczego?
a) y = α + α x + α x + ξ ,
t
0
1
t1
2
t 2
t
b) y = α + α y
+ α y
+ α y
+ ξ ,
t
0
1
t −1
2
t −2
3
t −3
t
+ ξ ,
t
0
1
t
1
t −1
t
d) y = β + β t + β t 2 + ξ .
t
0
1
2
t
Zadanie 1.5
Dokonaj klasyfikacji poniŜszych modeli, nazwij wszystkie zmienne występujące w tych modelach i zapisz te modele w postaci macierzy.
a) y = β + β x + ξ
,
t = ,
1
10
,...,
2
t
0
1
t
t
gdzie: yt – miesięczne zuŜycie paliwa przez autobusy ZKM (w litrach), xt – liczba kilometrów przejechanych przez autobusy w ciągu miesiąca;
b) p = α + y
β + γz + ξ
,
t = ,
1 ,...
2
25 ;
t
t
t
t
gdzie: pt –
c) y = δ + δ y
+ δ y
+ ε
, t = ,
1
,
,....,
2
24 ,
t
0
1
t 1
−
2
t −2
t
gdzie: yt – miesięczne wynagrodzenie netto w sektorze prywatnym (w złotych), 1
d) w = λ + λ t + λ
t
,
= 1,2,...,18 ;
t
0
1
2 t
gdzie: wt – wielkość zapasów
e)
β
β
1
2
Q = β M Z
,
t =
32
,...,
2
,
1
;
t
0
t
t
gdzie: Qt – wielkość produkcji stoczni Gdynia (w mln zł), Mt – wartość majątku trwałego stoczni w cenach stałych (w mln zł), Zt – liczba osób zatrudnionych w stoczni (w osobach).
f)
{α +α ξ
0
1t
t }
u =
+
e
,
t = ,
1 ,...,
2
20 ,
t
Interpretacja parametrów przeciętnych, krańcowych i elastyczności.
Zadanie 2.1
Dana jest funkcja popytu konsumpcyjnego postaci: y = β + β x + ξ , gdzie: y t
0
1
t
t
t - wydatki
gospodarstw domowych na pewne dobro, xt - przeciętna wielkość dochodu na gospodarstwo domowe. Wyznacz i zinterpretuj elastyczność dochodową wydatków.
Zadanie 2.2
Dla danych z okresu 1989-1999 oszacowano funkcję produkcji i otrzymano następującą postać: Qˆ
ln
= ˆ
α + ˆ
α ln M + ˆ
α ln Z
t
0
1
t
2
t
gdzie Qt - produkcja (w mln zł), Mt - nakłady majątku trwałego (w mln zł), Zt - nakłady siły roboczej (w tysiącach osób).
a) Zapisz model w postaci pierwotnej i sklasyfikuj go.
b) Sklasyfikuj zmienne występujące w modelu.
c) Zinterpretuj oceny parametrów strukturalnych.
d) Wyznacz elastyczność produkcji względem nakładów majątku trwałego.
Zadanie 2.3
Oszacowano parametry strukturalne liniowego modelu popytu na pieczywo i otrzymano następujące wyniki:
pˆ = 250 − ,
0
c
45
t
t
gdzie pt - tygodniowe spoŜycie pieczywa w gospodarstwie domowym, ct - średnia cena pieczywa za dekagram.
a) Czy jest to regresja szeregu czasowego czy regresja szeregu przekrojowego?
b) Sporządź wykres linii regresji.
c) Zinterpretuj wyraz wolny. Określ, czy ta interpretacja ma sens ekonomiczny?
d) Zinterpretuj współczynnik nachylenia. Jaki jest związek tego współczynnika z parametrem określanym jako krańcowy?
e) Oblicz i zinterpretuj elastyczność cenową dla dowolnego poziomu ceny pieczywa c0=10.
Na podstawie danych zamieszczonych w tablicy dobierz postać analityczną modelu tendencji rozwojowej, wyznacz średnią roczną stopę wzrostu liczby absolwentów.
Tablica 2.1: Liczba absolwentów szkół wyŜszych w Polsce w latach
Rok
1992
1993
1994
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
Absolwenci
61,4
64,2
70,3
89
115,9
150,3
192
229,1
304
342,1
(w tys. osób)
Źródło: Rocznik Statystyczny GUS 2002.
Zadanie 2.5
W tablicy zamieszczono dane dotyczące wielkości dochodów dt i wydatków wt przypadających na osobę w przeciętnym gospodarstwie domowym (w zł).
Tablica 2.2
00Q1
00Q2
00Q3
00Q4
01Q1
01Q2
01Q3
01Q4
02Q1
02Q2
dt
430
444
484
500
510
522
515
528
545
560
wt
67
69
82
82
87
89
91
90
96
100
Źródło: dane umowne.
Czy
w
przypadku
tych
szeregów
moŜna
zastosować
krzywą
Engla
postaci:
w = β + β ln d + ξ ?
t
0
1
t
t
Jakie są zalety i wady tej relacji? Jaką interpretację ekonomiczną mają parametry strukturalne?
Zadanie 2.6
Omów właściwości następujących funkcji i sporządź ich wykresy. W jaki sposób moŜna doprowadzić je do postaci funkcji liniowej?
a)
α1
y = α x ,
t
0
t
ax
b) y
t
=
,
t
x + b
t
c)
β + β x
0
1 t
y = e
,
t
a
d) y =
.
t
−ct
1 + be
Estymacja parametrów strukturalnych modelu za pomocą MNK.
Zadanie 3.1
Dany jest model ekonometryczny postaci: y = β + β x + β x + ξ . W oparciu o załoŜenia t
0
1
t1
2
t 2
t
numeryczne MNK, zaproponuj najmniejszą moŜliwą liczbę obserwacji.
Zadanie 3.2
Czy moŜna zastosować estymator MNK do wyznaczenia ocen parametrów strukturalnych modelu y = β + β x + β x + ξ mając dane następujące macierzy obserwacji: t
0
1
t1
2
t 2
t
1 1 3
8
X = 1 2
6
y =
11 .
1 3 9
15
Zadanie 3.3
Za pomocą estymatora MNK oszacuj parametry strukturalne modelu y = β + β x + ξ , gdzie y t
0
1
t
t
t
– wartość lokat zdeponowanych w pewnym banku w tys.zł, xt – wysokość stopy oprocentowania depozytów w %, wiedząc Ŝe:
Tablica 3.1
yt (w tys.zł)
10
10
8
7
5
3
3
xt (w %)
5
5
4
4
3
3
2
Źródło: dane umowne.
Zadanie 3.4
Mając dane macierze:
14 10
64
X T X =
y =
10 30
0
a) oszacuj parametry strukturalne modelu postaci: y = β + β x + ξ ,
t
0
1
t
t
b) oblicz i zinterpretuj parametr krańcowy,
c) oblicz i zinterpretuj elastyczność cząstkową.
Zadanie 3.5
Mając dane macierze:
781
,
16
?
?
100
−1
( X T X )
= −
53
,
13
20
?
y =
120
− ,
0 25
− 5 30
210
a) oszacuj parametry strukturalne modelu postaci: y = β + β x + β x + ξ , t
0
1
t1
2
t 2
t
b) oblicz i zinterpretuj parametry krańcowe,
c) oblicz i zinterpretuj elastyczności cząstkowe.
Zadanie 3.7
Oszacuj za pomocą metody najmniejszych kwadratów parametry strukturalne modelu postaci: y = β + β x + ξ , wiedząc, Ŝe :
t
0
1
t
t
10
10
10
10
∑ x = 4
2
x
y
x y
t
∑ = 31
t
∑ =10
t
∑
= 25
t
t
t 1
=
t 1
=
t 1
=
t 1
=
Ćwiczenia 4
Weryfikacja modelu ekonometrycznego – syntetyczne miary dopasowania
Zadanie 4.1
Uzupełnij poniŜszą tabelę, wykorzystując wyniki estymacji modelu postaci: y = β + β x + ξ .
t
0
1
t
t
Tablica 4.1
y
x
yˆ
y − y
(y − y
(y yˆ
ˆ −
(ˆy − y
t
)2
ˆ
t
)
t
)2
t
t
t
ξˆ
( t
)
t
12
1
10
2
9
3
9
4
7
5
6
a) Zapisz oszacowaną postać modelu.
b) Oblicz i zinterpretuj odchylenie standardowe składnika resztowego.
c) Oblicz średnie błędy szacunku parametrów strukturalnych.
d) Oblicz i zinterpretuj współczynnik zmienności losowej.
e) Oblicz i zinterpretuj współczynniki: determinacji i zbieŜności.
Zadanie 4.2
Zmienne endogeniczne y i y przybierały w analizowanym okresie następujące wartości: y -
t1
t 2
t1
4, 6, 8, 11, 11, 10 oraz y - 22, 25, 24, 21, 26,30. Dla obu zmiennych oszacowano modele i t 2
otrzymano w obu przypadkach identyczny ciąg reszt: ξˆ - 2, 1, 0, -1, -3, 1. Który z modeli jest t
lepiej dopasowany?
Zadanie 4.3
Mając dane wyniki obserwacji y : 4, 3, 0, 1, 2, współczynnik determinacji 2
R =
715
,
0
oraz
t
wariancję resztową ˆ 2
σ = 95
,
0
, wskazać który z poniŜszych modeli w wyniku estymacji MNK
ξ
dał takie rezultaty.
a) y = β + β x + ξ
t
0
1 t1
t
b) y = β + β x + β x + ξ
t
0
1
t1
2
t 2
t
c) y = β + β x + β x + β x + ξ
t
0
1
t1
2
t 2
3
t3
t
d) y = β + β x + β x + β x + β x + ξ
t
0
1
t1
2
t 2
3
t 3
4
t 4
t
Zadanie 4.4
Oszacowano liniowy model ekonometryczny postaci y = β + β x + β x + β x + ξ i t
0
1
t1
2
t 2
3
t3
t
otrzymano następujące wartości szeregu reszt:
Tablica 4.2
2
4
4
3
5
9
10
8
12
14
11
t
ξˆ
0
-1
-2
3
3
0
1
2
-3
2
1
t
Źródło: dane umowne.
a) Oblicz i zinterpretuj odchylenie standardowe składnika resztowego.
b) Oblicz i zinterpretuj współczynnik zmienności losowej.
c) Oblicz i zinterpretuj współczynniki: determinacji i zbieŜności.
Zadanie 4.5
Mając dane:
T = 20
∑ x = 25
x
y
x y
y
,
t
∑ 2 = 60
t
∑ = 80
t
∑
= 210
t
t
∑ 2 = 220
t
a) oszacuj parametry strukturalne modelu postaci y = β + β x + ξ ,
t
0
1
t
t
b) oblicz i zinterpretuj średnie błędy szacunku parametrów strukturalnych, c) oblicz i zinterpretuj syntetyczne miary dopasowania.