Równania Różniczkowe Zwyczajne

ZESTAW 1.

Zad.1 Sprawdzić, czy podane funkcje są rozwiązaniami wskazanych równań, a

następnie znaleźć rozwiązania spełniające zadane warunki początkowe:

(a) y( x) = 2 · ( cx)4 − 1 ;

xy0 + y 2 = 4 , y(1) = 1 ,

( cx)4+1

√

(b) y( x) = x + c x 2 + 1;

y0 = xy+1 , y(0) = 0 .

x 2+1

Zad.2 Dobrać stałe a, b ∈ R tak, aby funkcja y( x) = a cos x + b sin x była rozwiązaniem równania y0 + y = sin x.

Zad.3 Znaleźć równanie różniczkowe, którego rozwiązanie ogólne jest postaci y =

c 1 cos 3 x + c 2 sin 3 x.

Zad.4 Znaleźć równanie różniczkowe rodziny okręgów x 2 + ( y − c)2 = c 2 .

Zad.5 Zbadać, czy dana funkcja jest całką szczególną odpowiedniego równania:

00

(a) y( x) = x R x cos t dt; x 2 y −xy0 + y+ x 2 sin x = 0 w przedziale (1 , + ∞) , 1

t

(b) y( x) = x R x sin t dt; xy0 − y + x sin x = 0 w przedziale (0 , + ∞) .

0

t

Równania o zmiennych rozdzielonych

Zad.1 Znaleźć rozwiązanie ogólne następujących równań:

(a) dy = xy,

(e) xy = ( x + a)( b + y) y0,

dx

(b) y0 sin x = y cos x,

(f) y0 = xy + ax + by + ab,

√

p

(c) x

1 + y 2 + y 1 + x 2 y0 = 0 ,

(g) (1 + ex) yy0 = ex,

(d) x 3 y + y + xy 3 y0 − xy0 = 0 ,

(h) (1 + y 2)( e 2 x − eyy0) − (1 + y) y0 = 0 .

Zad.2 Wyznaczyć rozwiązania podanych zagadnień początkowych:

(a) y0 sin x = y ln y, y( π ) = e,

(b) y0 ctg x + y = 2 , y( π ) = 4 .

2

3

Zad.3 Dokonać analizy rozwiązań równania y0x = ky, w zależności od parametru k, gdzie k ∈ R. Naszkicować krzywe całkowe tego równania.

Zad.4 Napisać równanie krzywej, która spełnia dwa warunki:

(a) współczynnik kierunkowy stycznej w dowolnym punkcie krzywej równa

się rzędnej punktu styczności,

(b) krzywa ta przechodzi przez punkt P 0(2 , 5) .

Zad.5 Jaka krzywa ma tę własność, że wszystkie jej normalne przechodzą przez

punkt (2 , − 3)?

Zad.6 Wyznaczyć funkcję ciągłą y = f ( x) , której wartość średnia w przedziale

[0 , x] jest równa 1 f ( x) oraz f (1) = 1 .

3