Hipoteza jednorodnej populacji HJP: P ( Tx > t) = P ( T 0 > x + t|T 0 > x) tp[ x]+ s = P ( Tx > s + t|Tx > s) Prawdopodobieństwo, że x-latek umrze przed tq[ x]+ s = P ( Tx ¬ s + t|Tx > s) upływem czasu t

Z

∞

tqx = Fx( t) = P ( Tx ¬ t) , e◦ = ET

x

x =

tpxdt.

0

Prawdopodobieństwo, że x-latek przeżyje więcej niż t lat

ex = EKx

Jeżeli prawdziwa jest HU, to

tpx = 1 − Fx( t) = P ( Tx > t) j

1

P ( S( m) =

) =

.

Natężenie zgonów x-latka w momencie czasu t m

m

Własności z ćw

fx( t)

µ[ x]+ t =

pxpx+1 ∗ ... ∗ px+ k = k+1 px 1 − Fx( t)

ex = px(1 + ex+1) P ( K

Z

t

x = k) = pxP ( Kx+1 = k − 1) (przy HJP) h

i

tpx = exp −

µ[ x]+ τ dτ

(1 + i( m) ) m = 1 + i m

0

Przy HCFM:

Prawo de Moivre’a:

T 0 ma rozkład jednostajny na przedziale [0 , ω] , ω > 0, n+ upx = npx( p[ x]+ n) u

-

Prawo Gompertza:

Przy HB:

µt = Bct, gdzie B > 0 , c > 1, n+1 px

n+ upx = npx

h

B

i

1 − (1 − u) q[ x]+ n tpx = exp −

( ct+ x − cx) .

log c

Przy HU:

Prawo Makehama:

µ

n+ upx = npx(1 − uq[ x]+ n) t = A + Bct, B > 0 , A ­ −B i c > 1

q

h

B

i

[ x]+ n

µ[ x]+ n+ u =

tpx = exp −At −

( ct+ x − cx) ,

log c

1 − uq[ x]+ n

A

Prawo Weibulla:

x = vqx + vpxAx+1

∞

P

µ

( IA)

t = ktn, dla t ­ 0 gdzie k > 0 , n > 0, x =

m|Ax

m=0

( IA)

h

k

i

x = vqx + vpxAx+1 + vpx( I A) x+1

tpx = exp −

( t + x) n+1 − xn+1

.

n + 1

( m)

i

A

=

A

1

1

Dla t, x ∈

x

N

x : ¯

m|

i( m)

: ¯

m|

l

i

x+ t

( IA)( m) =

( IA)

tpx =

x

x

l

i( m)

x

lx − lx+ t

i

tqx =

.

( DA)( m) =

( DA) x

l

x

x

i( m)

i

Hipoteza agregacji

( m)

( IA)

=

( IA)

1

1

x : ¯

m|

i( m)

x : ¯

m|

P ( Kx ­ k) = P ( K 0 ­ x + k|K 0 ­ x) i

n|A( m) =

x

i( m) n|Ax

Hipoteza jednostajności (HU)

Jeżeli µx = µ, to: n+ upx = (1 − u) npx + u · n+1 px, 0 ¬ u < 1 .

1 − e−µ

Ax = e−δ

Hipoteza przedziałami stałego natężenia 1 − e−( µ+ δ)

zgonów (HCFM)

µ[ x]+ n+ u = µ[ x]+ n, 0 ¬ u < 1 .

Hipoteza Balducciego

(1 −u) q[ x]+ n+ u = (1 − u) q[ x]+ n.

1

Składki Ubezpieczeniowe

gdzie i( m) jest nominalną stopą procentową, która przy kapitalizacji m razy w roku daje efektywną stopę i 1

v =

= e−δ

Funkcje komutacyjne

1 + i

Zdyskontowana liczba przeżywających

Ubezpieczenie x-latka na całe życie płatne w momencie śmierci

Dx = vxlx.

Z

∞

¯

Inne funkcje komutacyjne

Ax = E vTx =

vtfx( t) dt

0

Cx = vx+1 dx,

Uwaga

∞

f

X

x( t) = tpxµ[ x]+ t Mx =

Cx+ k,

Ubezpieczenie terminowe x-latka z k=0

∞

okresem ubezpieczenia n-lat płatne w momencie X

R

M

śmierci

x =

x+ k .

k=0

Z

n

Z

n

∞

¯

A

X

1

=

vttpxµ[ x]+ tdt =

vtfx( t) dt

x : ¯

n|

N

D

0

0

x =

x+ k

k=0

Czyste ubezpieczenie na dożycie x-latka

¯

A

1

= vnnpx.

x : ¯

n|

Mx

Odroczone ubezpieczenie na całe życie x-latka Ax =

,

Dx

z okresem odroczenia m-lat płatne w momencie Mx − Mx+ n

śmierci

A 1

=

,

x : ¯

n|

Dx

Z

∞

¯

Mx+ n

m|Ax =

vtfx( t) dt = ¯

Ax − ¯

A 1

n|Ax =

,

x

m

: ¯

m|

Dx

M

Ubezpieczenie bezterminowe z rosnącą sumą x − Mx+ n + Dx+ n Ax: ¯ n| =

.

ubezpieczenia płatne w momencie śmierci Dx

Z

∞

Wzory z ćw

( ¯

I ¯

A) x =

tvt · fx( t) dt

0

n− 1

X

( IA)

=

( k + 1) vk+1 P ( K

Ubezpieczenie x-latka na całe życie płatne na 1

x = k)

x : ¯

n|

k=0

koniec roku śmierci ubezpieczonego

n− 1

∞

X

X

A

( DA)1

=

( n − k) vk+1 P ( Kx = k) x = E vKx+1 =

vk+1 kpxq[ x]+ k x : ¯

n|

k=0

k=0

Ubezpieczenie terminowe x-latka m-letnie płatne na koniec roku śmierci

m− 1

X

A 1

=

vk+1 P ( Kx = k) x : ¯

m|

k=0

Odroczone ubezpieczenie na całe życie x-latka z odroczeniem m-lat płatne na koniec roku śmierci

∞

X

m|Ax = Ax − A 1

=

vk+1 P ( Kx = k) x : ¯

m|

k= m

Ubezpieczenie o rosnącej sumie ubezpieczenia

∞

X

( IA) x =

( k + 1) vk+1 kpxq[ x]+ k.

k=0

Przypadek ubezpieczenia płatnego na koniec m-

tej części roku

Przy założeniu HU zachodzi związek

i

A( m) =

A

x

x

i( m)

2

Renty

Własności z cw

Zmienną losową opisującą wartośc obecną wypłat jest

v¨

ax = ax + Ax

A

K

x + d¨

ax = 1

x

X c

i

k vk .

d =

k=0

1 + i

Jednorazowa składka netto dla rent o płatności Ax: ¯ n| + dax: ¯ n| = 1

ck w k-tym roku: Kx

∞

hX

i

X

α( m) =

id

, β( m) = i−i( m) E

c

i( m) d( m)

i( m) d( m)

k vk

=

ckvk · kpx.

k=0

k=0

Renty na całe życie

¨

a( m) = α( m)¨

a

x

x − β( m)

• Renta płatna z góry na początku każdego n| ¨

a( m) = α( m) x

n| ¨

ax − β( m) A

1

x : ¯

n|

roku życia rentobiorcy

∞

n|Ax + A 1

= Ax

x : ¯

n|

X

¨

ax =

vkkpx.

¨

ax = ¨

ax: ¯ n| + n|¨

ax

k=0

1

• Renta płatna z dołu na koniec roku przeżytego n| ¨

a( m) =

(

− A

)

x

1

n|A( m)

x

1

m( v m − 1)

x : ¯

n|

przez rentobiorcę

¨

ax = 1 + vpx¨

ax+1

Kx

∞

X

X

a

A

x = E

vk =

vkkpx = ¨

ax − 1 .

x − Ax : ¯

n| + dn| ¨

ax = 0

k=1

k=1

A

1

+ A 1

= Ax: ¯ n|

x : ¯

n|

x : ¯

n|

Renty terminowe

Centralne tw. graniczne

• Renta terminowa na życie płatna z góry n− 1

!

P n

X

X

k − nEX 1

¨

a

lim P

k=1 √

¬ u

= Φ( u)

x : ¯

n| =

vkkpx.

n→∞

nσ

k=0

• Renta na życie płatna z dołu

n

X

ax: ¯ n| =

vk · kpx.

k=1

Renty odroczone

• Dożywotnia renta płatna z góry odroczona o m

∞

X

m| ¨

ax =

vkkpx.

k= m

• Dożywotnia renta płatna z dołu odroczona o m

∞

X

m|ax =

vkkpx.

k= m+1

Jednorazowa składka renty na całe życie, płatnej po 1 /m, z góry, m-krotnie w roku, wynosi ( m)

1 − Ax

¨

a( m) =

,

x

d( m)

Gdzie d( m) jest stopą procentową z góry, odpowiadającą nominalnej stopie procentowej i( m) przy m-krotnej kapitalizacji, czyli i( m)

d( m) = 1 + i( m) /m 3