RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE JEDNORODNE WZGL
DEM X i Y
dy y y
= f ( ) stosujemy podstawienie u = ==> y = xu
dx x x
dy du du
po zróżniczkowaniu = u + x i po podstawieniu do równania u + x = f (u)
dx dx dx
a1x + b1y + c1
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE TYPU y`= f ( )
a2x + b2 y + c2
Przypadek I : a1b2  b1a2 `"
`" 0
`"
`"
Wtedy ukÅ‚ad równaÅ„ ma jedno rozwiÄ…zanie x=Ä… i y=²
Wprowadzamy nowe zmienne : x - Ä… = u; y - ² = v
dv a1u + b1v
Równanie różniczkowe przekształci się na : = f ( )
du a2u + b2v
dv dt
Za v podstawiamy v = tu => = t + u Rozdzielamy zmienne i całkujemy.
du du
Przypadek II : a1b2  b1a2 = 0
a2
współczynnik proporcjonalności : k =
a1
dz dy
wprowadzamy nową zmienną : z = a1x + b1y => po różniczce = a1 + b1 f
dx dx
dz z + c1
po uwzględnieniu wzorów równanie przyjmie postać : = a1 + b1 f ( )
dx kz + c2
rozwiÄ…zujemy metodÄ… rozdzielenia zmiennych
dy
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE LINIOWE NIEJEDNORODNE + p(x)y = q(x)
dx
rozwiązujemy tzw. metodą uzmienniania stałej.
dy
Rozwiązujemy najpierw równanie jednorodne + p(x)y = 0
dx
Całką tego równania jest y = Ce-P(x)
- P ( x )
y = u ( x )e
Teraz stałą C zastępujemy funkcją u(x) i mamy
dy du
Obliczamy z tego pochodnÄ… : = e-P( x) + u(x)e-P(x) podstawiamy, redukujemy i liczymy
dx dx
PRZYKA
AD :
2
dy
- xy = xex
dx
dy
Rozwiązujemy najpierw równanie jednorodne - xy = 0 (przez rozdzielenie zmiennych)
dx
1
Wynikiem jest ln y = x2 + C gdzie C = ln C1
2
1
x2
uwalniając się od logarytmów mamy y = C1e2
1
x2
uzmienniamy stałą C1 : y = u(x)e2 (**)
1 1
x2 x2
dy du
obliczamy pochodnÄ… : y`= = e2 + u(x)e2 x
dx dx
1 1 1
x2 x2 x2 2
du
wartości y i y` wstawiamy do pierwszego równania e2 + xu(x)e2 - xu(x)e2 = xex
dx
1 1
x2 2 x2
du du
skÄ…d po redukcji otrzymamy e2 = xex czyli = e2
dx dx
1 1
x2 x2
2
u(x) = dx = e2 + C2 podstawiamy to do równania (**) otrzymując końcowy wynik
+"e
1
x2
2
y = ex + C2e2
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE TYPU y`+ay = becx
Przewidzenie : y1 = meCx lub y1 = (mx+n)eCx
PRZYKA
AD
dy
- 2y = 2e3x
dx
Przewidujemy : y1 = me3x
dy1
Obliczamy z tego pochodnÄ… = 3me3x
dx
dy1
Wartości y1 i podstawiamy do pierwszego równania : 3me3x - 2me3x = 2e3x
dx
SkÄ…d po uproszczeniu przez e3x znajdujemy m=2
Podstawiając m do równania na y1 otrzymujemy y1(x) = 2e3x
dy
Obliczamy teraz całkę ogólną równania uproszczonego : - 2y = 0
dx
Po rozwiÄ…zaniu mamy : y2 = C1e2x
Całka ogólna całego równania to y1+y2 czyli y = 2e3x + C1e2x
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE TYPU y`+ay = Wn (x) gdzie a jest liczbą stałą, a Wn(x)
jest wielomianem stopnia n
PRZYKA
AD:
dy
+ 2y = x2
dx
Przewidzenie : y1 = ax2 + bx + c
dy1
Obliczamy pochodnÄ… = 2ax + b
dx
Podstawiamy powyższe wartości do pierwszego równania: 2ax + b + 2ax2 + 2bx + 2c = x2
Przyrównując współczynniki przy tych samych potęgach zmiennej x otrzymujemy związki:
2a=1; 2a+2b=0; b+2c=0; z tego mamy :
1 1 1
y1 = x2 - x +
2 2 4
dy
Rozwiązujemy teraz równanie jednorodne + 2y = 0 i z tego mamy y2 = Ce-2 x
dx
1 1 1
Całka ogólna ma więc postać y1 + y2 tj. y = x2 - x + + Ce-2 x
2 2 4
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE TYPU y`+by = c sin ax + n cos ax
PRZEWIDZENIE : y1 = msin ax + n cos ax
PRZYKA
AD
dy
+ y = 5sin 3x
dx
Przewidujemy : y1 = msin 3x + n cos3x
dy1
Obliczamy z tego pochodnÄ… : = 3m cos3x - 3nsin 3x
dx
Wstawiamy to do pierwszej równości : 3m cos3x - 3n sin 3x + m sin 3x + n cos 3x = 5sin 3x
1 3
Obliczamy n i m i mamy y1 = sin 3x - cos3x
2 2
dy
Obliczamy równanie jednorodne + y = 0 z czego mamy y2 = Ce- x
dx
1 3
No i całka ogólna ma postać : y = sin 3x - cos 3x + Ce-x
2 2
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE INNYCH TYPÓW
PRZYKA
AD 1
dy
+ 2y = 25x2e3x
dx
PRZEWIDZENIE : y1 = (ax2 + bx + c)e3x
dy1
Obliczamy pochodnÄ… = (2ax + b)e3x + 3(ax2 + bx + c)e3x
dx
wstawiamy to do równania pierwszego i dzielimy od razu przez e3x,
otrzymujemy : 2ax + b + 3(ax2 + bx + c) + 2(ax2 + bx + c) a" 25x2
2
znajdujemy a,b,c i mamy y1 = (5x2 - 2x + )e3x
5
dy
Liczymy całkę ogólną równania jednorodnego i mamy ostatecznie
+ 2y = 0
dx
2
y = (5x2 - 2x + )e3x + Ce-2 x
5
PRZYKA
AD 2
dy
+ y = 2x cos x
dx
PRZEWIDUJEMY : y1 = (ax + b)sin x + (cx + d) cos x
dy1
Liczymy pochodnÄ… : = a sin x + (ax + b) cos x + c cos x - (cx + d) sin x
dx
Wstawiamy to do pierwszego równania i mamy równanie, obliczamy współczynniki
y1 = (x -1)sin x + x cos x
liczymy całkę ogólną równania jednorodnego i ostatecznie mamy :
y = (x -1)sin x + x cos x + Ce- x
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE RZ
DU DRUGIEGO
TYP : F(x, y`, y``) = 0
Podstawienie : y`= p(x)
PRZYKA
AD
(1+ x) y``= y`
dp
Robimy podstawienie : y`= p(x) i otrzymujemy (1+ x) = p
dx
dp dx
rozdzielamy zmienne = skÄ…d mamy lnp = ln(1+x) +lnC, a wiec p = C(1+ x)
p 1+ x
dy
to znaczy = C + Cx czyli y = + C)dx
+"(Cx
dx
1
ostatecznie otrzymujemy y = Cx2 + Cx + C1
2
TYP : F(y, y`, y``) = 0
Podstawienie : y`= p( y)
du du dy du
wówczas y``= = Å" = u(y) a równanie przeksztaÅ‚ci siÄ™ na równanie rzÄ™du
dx dy dx dy
pierwszego