1 MACIERZ ODWROTNA 1. DEFINICJA Przymiotnik odwrotny i jego wszelkie odmiany jest jednym z częściej występujących słów w definicjach matematycznych. Nie wszystkie działania, konstrukcje, operacje, - zarówno w matematyce jak i w życiu - są odwracalne. W tym wykładzie podamy definicję, własności i warunki istnienia macierzy odwrotnych. Przypomnijmy na początek, co nazywamy liczbą odwrotną danej do liczby rzeczywistej. Liczbą odwrotną do liczby rzeczywistej a nazywamy taką liczbę rzeczywistą b, dla której zachodzi równość ab = ba =1. Liczbę taką często oznaczamy symbolem a-1. W analogii do powyższych rozważań definiujemy macierz odwrotną do danej macierzy kwadratowej. Definicja 1. Macierzą odwrotną do macierzy kwadratowej A nazywamy taką macierz kwadratową B , dla której spełnione są równości: AB = I i BA = I . Oznaczamy ją symbolem A-1. Jeżeli dla danej macierzy A istnieje macierz odwrotna to mówimy, że A jest macierzą odwracalną. Przykład 1. -2 1 ć 3 2 ć
Macierzą odwrotną do macierzy A = = . Można się o tym 7 3 7 4 jest macierz A-1
- Ł ł Ł 2 2 ł przekonać mnożąc obydwie macierze. Aatwo sprawdzić, że mamy tutaj A-1A = I i AA-1 = I . 2. METODY WYZNACZANIA MACIERZY ODWROTNEJ Jak wiadomo nie dla każdej liczby istnieje liczba odwrotna nie istnieje odwrotność dla liczby 0; to znaczy dla żadnej liczby rzeczywistej a nie zachodzi równość a 0 = 1. W rachunku macierzowym reguła ta ma swoisty odpowiednik: Macierz kwadratowa A jest odwracalna wtedy tylko wtedy, gdy wyznacznik macierzy A jest różny od zera. Macierze o wyznaczniku różnym od zero nazywa się macierzami nieosobliwymi, macierze o wyznaczniku równym zero macierzami osobliwymi. Przedstawimy (z przykładami) 3 metody wyznaczania macierzy odwrotnej. Będą to w kolejności: 1. Metoda z definicji. 2. Metoda wyznacznikowa - przez tworzenie macierzy dopełnień algebraicznych. 3.Metoda operacji elementarnych. Metoda1 z definicji. Jest to metoda najbardziej naturalna. Wiedząc, że macierz A i macierz do niej odwrotna spełniają równość AA-1 = I tworzymy odpowiedni układ równań i rozwiązując go otrzymujemy A-1. Przykład 2 4 5 4 5 ć ć
Wezmy macierz A = . Ponieważ det A = det = 12 -10 = 2 więc A jest macierzą 2 3 Ł ł Ł2 3 ł nieosobliwą (wyznacznik różny od 0) i istnieje do niej macierz odwrotna. 2 a b ć Niech szukana macierz odwrotna będzie postaci A-1 = (z własności działań na macierzach
c d Ł ł wynika, że stopnie macierzy i macierzy do niej odwrotnej muszą być równe). Z definicji macierzy odwrotnej mamy: A-1A = I , czyli a b 4 5 1 0 ć ć ć
2 3 = 0 1 c d Ł ł Ł ł Ł ł Powyższa równość macierzowa jest równoważna układowi równań: 4a + 2b = 1
5a + 3b = 0
4c + 2d = 0
5c + 3d = 1
Chociaż formalnie otrzymaliśmy układ czterech równań z czterema niewiadomymi to w rzeczywistości mamy do czynienia z dwoma układami równań z dwiema niewiadomymi każdy. 3 5 Rozwiązując układ mamy: a = , b = - , c = -1, d = 2 . Stąd 2 2 3 5 ć -
A-1 = 2 2
-1 2 Ł ł Metoda 2 metoda wyznacznikowa. Macierz odwrotna do macierzy nieosobliwej A dana jest wzorem T 1 A-1 = Ad ( ) det(A) gdzie Ad jest macierzą dopełnień algebraicznych macierzy A , czyli D11 D12 ... D1n ć
D21 D22 ... D2n
Ad =
... ... ... ...
D D ... D Ł n1 n2 nn ł gdzie Dij jest dopełnieniem algebraicznym elementu aij , czyli i+ j Dij = -1 det(Aij ) ( ) a macierz Aij powstaje z macierzy A przez wykreślenie jej i - go wiersza i j - tej kolumny. Przykład 3 Wyznaczymy tą metodą macierz odwrotną do macierzy 3 -2 1 ć
5 -2 3 5 -2 3 5 -2 Ł ł Ł ł Wyznacznik jest różny od 0 więc A jest macierzą nieosobliwą i istnieje do niej macierz odwrotna. Obliczamy elementy Dij - dopełnienia algebraiczne elementów macierzy A . 3 1 3 4 3 4 1 ć ć ć 1+1 1+2 1+3 D11 = -1 det = 9 , D12 = -1 det = 3, D13 = -1 = det = -13, ( ) ( ) ( )
-13 -4 11 Ł ł Metoda wyznacznikowa jest użyteczna przede wszystkim dla macierzy stopnia 3. Dla macierzy wyższych stopni jest ona zbyt pracochłonna na przykład zastosowanie tej metody dla macierzy stopnia 5 powoduje konieczność obliczenia 25 wyznaczników stopnia 4. Z kolei dla macierzy stopnia 2 najprościej jest stosować wzór, które podany będzie pózniej. Najefektywniejszą metodą obliczania macierzy odwrotnej dla stopni większych niż 3 jest metoda operacji elementarnych. Metoda 3 metoda operacji elementarnych. Opiera się ona na prostym schemacie : operacje elementarne A I I A-1 ( ) ( ) Powyższy schemat to graficzne przedstawienie następującego algorytmu wyznaczania macierzy odwrotnej. Po prawej stronie macierzy A dopisujemy macierz jednostkową takiego samego stopnia jak macierz A Stosując operacje elementarne przekształcamy macierz A do postaci jednostkowej. Wykonując te same operacje na elementach dopisanej macierzy jednostkowej przekształcimy ją w macierz odwrotną do macierzy A . Sprowadzanie macierzy A do postaci jednostkowej dokonujemy redukując ją. Przykład 4 2 0 -1 ć 1 Wyznaczymy tą metodą macierz odwrotną do macierzy A = 1 3
Ł ł Ostatnia operacja polegała na takim przestawieniu wierszy macierzy aby z lewej strony kreski powstała macierz jednostkowa. Po lewej stronie otrzymaliśmy macierz jednostkową, więc (zgodnie ze schematem) po prawej stronie jest macierz odwrotna do macierzy A 1 ć 0 1 -
-2 4 -2 Ł ł 2.1. MACIERZ ODWROTNA DO MACIERZY STOPNIA 2 Macierz odwrotną do macierzy stopnia najszybciej wyznacza się stosując wzór -1 a b d -b ć 1 ć =
c d ad - bc -c a Ł ł Ł ł Zauważmy, że tutaj również istnienie macierzy odwrotnej jest uzależnione od spełnienia warunku a b ć nieosobliwości macierzy. Wyznacznik macierzy jest równy ad - bc i jeżeli będzie on równy o
c d Ł ł to prawa strona powyższego wzory nie ma sensu liczbowego. Oczywiście wzór ten w prosty sposób wynika ze wszystkich trzech opisanych wyżej metod wyznaczania macierzy odwrotnej. 5 Przykład 5. -1 1 5 -1 ć -1ć Dla macierzy A = mamy A-1 = .
2 5 7 -2 -1 Ł ł Ł ł 3. WAASNOŚCI MACIERZY ODWROTNEJ -1 1. A-1 = A - macierz odwrotna do macierzy odwrotnej jest odwracalna ( ) -1 2. AB = B-1A-1 - kolejność macierz po prawej stronie jest istotna ze względu na nieprzemienność ( ) mnożenia macierzy -1 T 3. AT = A-1 - złożenie operacji transpozycji i odwracania jest przemienne ( ) ( ) -1 4. I = I dla każdej liczby naturalnej n ( ) n n -1 1 5. aA = A-1 - dla dowolnej różnej od zera liczby rzeczywistej a . ( ) a 1 6. det(A-1) = det(A) Nie zachodzi własność analogiczna do własności 2. w odniesieniu do dodawania macierzy. Co więcej suma dwóch macierzy odwracalnych może nie być macierzą odwracalną. Na przykład nie istnieje 1 3 -1 -3 ć ć macierz odwrotna do macierzy + chociaż obydwie macierze (składniki sumy) są
2 7 -2 -7 Ł ł Ł ł odwracalne. 4. RÓWNANIA MACIERZOWE Przez równanie macierzowe będziemy rozumieć równanie w którym niewiadomymi są macierze lub ich poszczególne elementy. O równaniach macierzowych była już mowa w rozdziale Rachunek Macierzowy, jednak w analizowanych tam przykładach nie mieliśmy jeszcze możliwości wykorzystania pojęcia macierzy odwrotnej. Rozwiązywanie równań macierzowych (gdy niewiadomą jest macierz) z wykorzystaniem macierzy odwrotnej możliwe jest tylko w niektórych przypadkach. Najbardziej ogólną dla takich równań jest metoda przedstawiona w rozdziale Rachunek macierzowy. Przykład 6. 2 1 -3 3 0 -2 ć ć 0 1 Rozwiążemy równanie macierzowe AX = B , gdzie A = 2 -5 , B = 2 4 .
0 -3 5 2 -1 3 Ł ł Ł ł Mnożąc równanie AX = B obustronnie z lewej strony przez macierz odwrotną do macierzy A , co możemy symbolicznie zapisać A-1 AX = B otrzymujemy A-1AX = A-1B IX = A-1B X = A-1B Zauważmy, że: pomnożenie obustronne równania AX = B przez macierz A-1 jest możliwe tylko w sytuacji, gdy istnieje macierz odwrotna do macierzy A , czyli gdy A jest macierzą nieosobliwą 6 równanie AX = B musieliśmy pomnożyć obustronnie z lewej strony. Pomnożenie obustronne z prawej strony nie doprowadziłoby do otrzymania po lewej stronie przekształcanego równania niewiadomej X . Wynika to z faktu, że mnożenie macierzy nie jest przemienne. Aby otrzymać rozwiązanie rozpatrywanego równania wystarczy teraz wyznaczyć macierz A-1 i pomnożyć ją przez B . Wyznaczymy macierz A-1 metodą operacji elementarnych 2 1 -3 1 0 0 ć ć W2 -2W1 2 1 -3 1 0 0 3 1 W +W1 W +3W2 A I 0 2 -5 0 1 0 -4 0 1 -2 1 0 ( )
Ł ł Zauważmy, że zaczęliśmy wyznaczać macierz odwrotną do macierzy A nie sprawdzając wcześniej czy jest to macierz nieosobliwa. Nie mieliśmy więc pewności czy macierz do niej odwrotna istnieje. Metoda operacji elementarnych jest zabezpieczona przed otrzymaniem fałszywej macierzy odwrotnej w przypadku, gdy det(A) = 0. Algorytmu opartego na tej metodzie nie da się wówczas doprowadzić do końca niemożliwe jest przekształcenie (za pomocą operacji elementarnych) macierzy A do postaci jednostkowej. Metodą Falka wyznaczymy iloczyn macierzy A-1 i B 3 0 -2 1 2 4 0 -3 5 1 1 3 3 3 0 - 4 4 4 4 4 5 5 9 3 59 - 3 - - 2 2 2 2 2 -1 1 1 -2 -1 11 7 Ostatecznie mamy 3 3 3 ć -
4 4 4 3 -3 3 ć
9 3 59 1
X = - - = -18 -6 118
2 2 2 4
-8 -4 44 Ł ł -2 -1 11
Ł ł Przykład 7. Naszkicujemy rozwiązanie równania XA = B , gdzie macierze A i B są takie same jak w przykładzie 6. Równanie XA = B mnożymy obustronnie (z prawej strony) przez macierz odwrotną do macierzy A XA = B A-1 skąd otrzymujemy X = BA-1 Ostatecznie otrzymujemy 11 -8 -5 ć 1
X = -35 40 37
4
10 -16 -10 Ł ł Przykład 8 3 0 7 3 -3 2 ć ć ć Rozwiążemy równanie (3X - A)B = C , gdzie A = , , C = . 1 -2 B = 3 1 1 5 Ł ł Ł ł Ł ł Zaczynamy od przekształcenia danego równania tak aby wyrazić niewiadomą macierz X za pomocą macierzy A , B i C . (3X - A)B = C Mnożymy równanie obustronnie (z prawej strony) przez macierz odwrotną do B - macierz B jest odwracalna ponieważ det(B) = -2 ą 0 . 3X - A = CB-1 Dalej mamy 3X = CB-1 + A I ostatecznie 1 X = (CB-1 + A) 3 Korzystając ze wzoru na macierz odwrotną do macierzy stopnia 2 otrzymujemy 1 -3 -1 3 1 ć 1 ć B-1 = =
-2 -3 7 2 3 -7 Ł ł Ł ł Następnie wykonujemy kolejne działania -3 2 -1 3 9 -23 5 3 ć 1 ć 1 ć 1 ć CB-1 = = , CB-1 + A = 14 5 1 5 2 3 -7 2 -26 2 -11 Ł ł Ł ł Ł ł Ł ł Dzieląc ostatnią macierz przez 3 otrzymujemy rozwiązanie równania 15 3 1 ć X = 15 6 -11 Ł ł 8 5. UKAADY RÓWNAC LINIOWYCH Układ równań liniowych to szczególny przypadek równania macierzowego Ax = b , w którym niewiadoma macierz x jest macierzą jednokolumnową zawierającą niewiadome występujące w układzie. W szczególnych przypadku, gdy A jest macierz kwadratową nieosobliwą układ taki jest układem oznaczonym, ma więc dokładnie jedno rozwiązanie. Przykład 9 Wezmy układ równań liniowych 2x + y - z = -3
x + 2y + z = 9 3x + 3y - 2z = -4
Powyższy układ możemy zapisać w postaci równania macierzowego 2 1 -1 x -3 ć ć ć 1 2 1 y = 9
3 3 -2 z -4 Ł łŁ ł Ł ł Wprowadzając oznaczenia 2 1 -1 x -3 ć ć ć 1 A = 2 1 , x = y , b = 9
3 3 -2 z -4 Ł ł Ł ł Ł ł układ ten możemy zapisać jeszcze krócej Ax = b Przypomnijmy w tym miejscu terminologię (wprowadzoną w wykładzie poświęconym układom równań liniowych): A - macierz współczynników, x - kolumna niewiadomych, b - kolumna wyrazów wolnych. Równanie Ax = b jest już po prostu równaniem macierzowym, gdzie macierz x zawiera (w tym przypadku) trzy niewiadome. Jeżeli tylko macierz A jest nieosobliwa (czyli det(A) ą 0 ) to równanie to możemy rozwiązać mnożąc je obustronnie ( z lewej strony) przez A-1. Otrzymamy wówczas x = A-1b Warunek nieosobliwości macierzy A definiuje układ równań Ax = b jako układ Cramera (patrz wykład o wyznacznikach). W rozpatrywanym przykładzie mamy 7 1 -3 ć 1
det(A) = -6 , A-1 = -5 1 3
6
3 3 -3 Ł ł Dalej otrzymujemy 7 1 -3 -3 0 ć ć ć 1
x = A-1b = -5 1 3 9 = 2
6
3 3 -3 -4 5 Ł ł Ł ł Ł ł Mamy więc x = 0 , y = 2 , z = 5 . 9 Przykład 10 Rozwiążemy układ 2x + y - z = 0
x + 2y + z = 3 3x + 3y - 2z = -1
Zauważmy, że macierz współczynników tego układu jest taka sana jak w przykładzie poprzednim. Do otrzymania rozwiązania wystarczy więc pomnożyć macierz A-1 przez kolumnę wyrazów wolnych 7 1 -3 0 1 ć ć ć 1 0 x = A-1b = -5 1 3 3 =
6
3 3 -3 -1 2 Ł ł Ł ł Ł ł Czyli x = 1, y = 0, z = 2 . Poznaliśmy już trzy metody rozwiązywania układów równań Ax = b : metoda redukcji macierzy (eliminacji Gaussa wzory Cramera metoda macierzy odwrotnej Wzory Cramera i metoda macierzy odwrotnej mają ograniczone zastosowania można je (bezpośrednio) zastosować tylko w przypadku, gdy A jest macierzą nieosobliwą. Metoda redukcji macierzy nie ma żadnych ograniczeń. Jednak wzory Cramera i metoda macierzy odwrotnej mają zalety, które powodują ich użyteczność. Wzory Cramera pozwalają na wyznaczanie z danego układu poszczególnych niewiadomych. Warto je więc stosować w przypadku gdy układ równań zawiera dużą ilość niewiadomych a interesuje nas wartość tylko niektórych z nich. Z kolei metoda macierzy odwrotnej pozwala na szybkie rozwiązywanie wielu układów równań o takich samych macierzach współczynników. W takim przypadku raz wyznaczona macierz odwrotna może być wykorzystana wielokrotnie patrz przykłady 9 i 10.