R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju
konspekts.
3. nodarb%2łba
Nodarb%2łbas saturs: Trigonometrisku izteiksmju integraana. Iracionlu
izteiksmju integraana.
3.1. Trigonometrisku izteiksmju integraana
Aplkkosim, k integr da~da veida trigonometrisks funkcijas.
1) Ja zemintegr<a funkcija ir divu vai vairku trigonometrisko funkciju veid sin ax ,
cos bx , reizinjums, t.i., ja jnointegr ada veida integr<us
+"sin axsin bxdx, +"cos ax cosbx, +"sin ax cosbx ,
zemintegr<a funkcija jprveido trigonometrisko funkciju summ pc formulm:
1
siną " sin = (cos(ą - )- cos(ą + )),
2
1
cosą " cos = (cos(ą + )+ cos(ą - )),
2
1
siną " cos = (sin(ą + )+ sin(ą - )).
2
x 1 # x x ś#
# ś# ś#ź#dx
Piemrs.
ś#
ś#
+"cos3x cos 3 dx = +"ś#cosś#3x + 3 ź# + cos#3x - ź#ź# =
2 3
# # # #
# #
1 10x 8x 1 3 10x 10x 1 3 8x 8x
# ś#dx ś# ś#
=
ś# ś#
+"ś#cos 3 + cos 3 ź# = " +"cos 3 d# ź# + 2 " +"cos 3 d# ź# =
2 2 10 3 8 3
# # # # # #
3 10x 3 8x
= - sin - sin + C .
20 3 16 3
2) Ja zemintegr<a funkcija ir funkciju sin x un cos x veselu pakpju reizinjums, t.i.
m
+"sin x cosn xdx ,
kur m, n "Z , un
a) m ir nepra, tad lieto substitkciju t = cos x ;
b) n ir nepra, tad lieto substitkciju t = sin x ;
c) m, n ir pra un m < 0 vai n < 0 , tad lieto substitkciju t = tg x vai t = ctg x ;
3. nodarb%2łba. 1. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju
konspekts.
d) m, n ir pra un m e" 0 , n e" 0 , tad pazemina trigonometrisko funkciju pakpi,
izmantojot formulas
1 1
sin x cos x = sin 2x, sin2 x = (1- cos 2x),
2 2
1
cos2 x = (1+ cos 2x).
2
3
Piemrs. Apr7int x cos7 xdx .
+"sin
Risinjums. Dotaj gad%2łjum m = 3 , n = 7 , ttad abi kpintji ir nepra skait<i
(gad%2łjumi a un b). `aj gad%2łjum var lietot jebkuru no substitkcijm t = cos x vai
t = sin x , ta%0ńu risinjums ir vienkraks, ja par jauno main%2łgo Fem to funkciju, kurai ir
lielka pakpe. Ttad
cos x = t, x = arccost
Ą# ń#
3
Ą#
dt
2 =
+"sin x cos7 xdx = ó#
, sin x = 1- cos2 x = 1- t
ó#dx = - Ą#
2
1- t
Ł# Ś#
3
# ś#
2 7 2 7 7 9 7 9
ś#- dt ź#
= ( 1- t ) " t " = - (1- t )t dt = - (t - t )dt = - dt + dt =
+" +" +" +"t +"t
ś# ź#
2
1- t
# #
t8 t10 cos10 x cos8 x
= - + + C = - + C .
8 10 10 8
4
Piemrs. Apr7int xdx .
+"sin
Risinjums. `oreiz m = 4 , n = 0, ttad abi kpintji ir nenegat%2łvi pra skait<i. Tas ir
gad%2łjums d, kad jpazemina zemintegr<a funkcijas pakpi:
2
2 1 1
#
4
(sin2 x) dx = (1- cos 2x)ś# dx = (1- 2cos 2x + cos2 2x)dx =
ź#
+"sin xdx = +" +"ś# 2 +"
4
# #
1 1 1 1 1
2
= (+"dx - 2 2xdx + 2xdx)= x - 2xd(2x)+ " cos 4x)dx =
+"cos +"cos +"cos +"(1+
4 4 4 4 2
x 1 1 1 3 1 1
#
= - sin 2x + x + sin 4xś# + C = x - sin 2x + sin 4x + C .
ś# ź#
4 4 8 4 8 4 32
# #
3) Ja zemintegr<a funkcija ir racionla funkcija no sin x un cos x , t.i.
R(sin x,cos x)dx
+"
un
3. nodarb%2łba. 2. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju
konspekts.
a) funkcija R(sin x,cos x) ir nepra attiec%2łb pret sin x , tad lieto substitkciju t = cos x ;
b) funkcija R(sin x,cos x) ir nepra attiec%2łb pret cos x , tad lieto substitkciju t = sin x ;
c) funkcija R(sin x,cos x) ir pra attiec%2łb pret sin x un cos x , tad lieto substitkciju
t = tg x vai t = ctg x ;
x
d) prjos gad%2łjumos lieto universlo substitkciju t = tg . Tad
2
x 2dt
= arctgt, x = 2arctgt, dx = ;
2
2 1+ t
1
x Ą# ń#
sin
2
ó#cos ą = 1+ tg2ą Ą#
x x x x 1 2t
2
sin x = 2sin cos = 2 " cos2 = = 2tg " = ;
ó# Ą#
2
1
x x
2 2 2 2
ó# ą =
Ą#
cos2
cos 1+ tg2 1+ t
1+ tg2ą Ą#
ó#
2 2
Ł# Ś#
x x
2
cos2 - sin
2
x x x
#1- x 1 1- t
2 2 2
cos x = cos2 - sin = " cos2 = tg2 ś# " = ;
ś# ź#
2
x x
2 2 2 2
# #
cos2 1+ tg2 1+ t
2 2
2 2 2
sin x 2t 1- t 2t cos x 1- t 2t 1- t
tg x = = : = ; ctg x = = : = .
2 2 2 2 2
cos x 1+ t 1+ t 1- t sin x 1+ t 1+ t 2t
Piez%2łme. Funkcija R(sin x,cos x) ir nepra attiec%2łb pret sin x , ja
R(- sin x,cos x) = -R(sin x,cos x);
funkcija R(sin x,cos x) ir pra attiec%2łb pret sin x un cos x , ja
R(- sin x,- cos x) = R(sin x,cos x).
sin x cos x
Piemrs. Apr7int dx .
+" 2
(sin x - 2)
Risinjums. Noteiksim zemintegr<a funkcijas paritti attiec%2łb pret sin x un cos x .
sin x cos x
Apz%2łmsim R(sin x,cos x) = . Tad
2
(sin x - 2)
- sin x cos x sin x cos x
R(- sin x,cos x) = = - .
2 2
(- sin x - 2) (sin x + 2)
T k R(- sin x,cos x) `" -R(sin x,cos x) un R(- sin x,cos x) `" R(sin x,cos x), tad
zemintegr<a funkcija nav ne pra, ne nepra attiec%2łb pret sin x .
sin x "(- cos x) sin x cos x
R(sin x,-cos x) = = - = -R(sin x,cos x),
2 2
(sin x - 2) (sin x - 2)
3. nodarb%2łba. 3. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju
konspekts.
ttad zemintegr<a funkcija ir nepra attiec%2łb pret cos x un jlieto substitkcija t = sin x .
t = sin x, x = arcsin t
Ą# ń#
2
sin x cos x t 1- t dt
ó# Ą#
dt
dx = 2 2 = " =
+" 2 +" 2
, cos x = 1- sin x = 1- t
2
ó#dx = Ą#
(sin x - 2) (t - 2)1- t
2
1- t
Ł# Ś#
tdt t - 2 + 2 t - 2 2dt dt dt d(t - 2)
= = dt = dt + = + 2 = +
+" 2 +" 2 +" 2 +" 2 +" +" 2 +"
t t - 2
(t - 2) (t - 2) (t - 2) (t - 2) - 2 - 2)
(t
-1
(t - 2) 2
-2
+ 2 - 2) d(t - 2) = ln t - 2 + 2 " + C = ln sin x - 2 - + C .
+"(t
-1 sin x - 2
dx
Piemrs. Apr7int .
+"
cos2 x - 2sin2 x + 3
Risinjums. Noteiksim zemintegr<a funkcijas paritti attiec%2łb pret sin x un cos x .
1
Apz%2łmsim R(sin x,cos x) = . Tad
2
cos2 x - 2sin x + 3
1 1
R(- sin x,-cos x) = = = R(sin x,cos x).
2
(- cos x)2 - 2(- sin x)2 + 3 cos2 x - 2sin x + 3
Varam secint, ka zemintegr<a funkcija ir pra attiec%2łb pret sin x un cos x , ttad jlieto
substitkciju t = tg x . Lai vieglk prietu uz jauno main%2łgo, katru saskaitmo skait%2łtj un
saucj izdal%2łsim ar cos2 x :
dx dx
dx
cos2 x cos2 x
= = =
+" +" +"
3
cos2 x - 2sin2 x + 3 cos2 x 2sin2 x 3
1- 2tg2 x +
- +
cos2 x
cos2 x cos2 x cos2 x
dx
Ą# ń#
t = tg x, dt =
ó# Ą#
dt dt 1 t
cos2 x
= = = = arctg + C =
ó# Ą#
+"1- 2t 2 2 +" 2
1
2 + 3(1+ t ) t + 4 2 2
ó# Ą#
= 1+ tg2 x = 1+ t
Ł#cos2 x Ś#
1 tg x
= arctg + C .
2 2
3. nodarb%2łba. 4. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju
konspekts.
3.2. Iracionlu izteiksmju integraana
Aplkkosim da~da veida iracionlu funkciju integraanas metodes.
# ś#
ax + b
n
ź#
1) Rś# x, dx , kur R ir racionla funkcija, integr, izmantojot substitkciju
+"
ś# ź#
cx + d
# #
ax + b
n
= t .
cx + d
3
Piemrs. Apr7int x " x + 4dx .
+"
Ą# ń#
x + 4 = t3, x = t3 - 4
2
3
Risinjums. x " x + 4dx = = (t3 - 4)" t " 3t dt =
ó# Ą#
+" 2 +"
3
Ł#dx = 3t dt, t = x + 4Ś#
7 4
# ś#
t t 3
7 4
6
3 3
ś# ź#
= 3 (t - 4t3)dt = 3ś# - 4 " + C = (x + 4) - 3 (x + 4) + C .
+" ź#
7 4 7
# #
# ś#
ax + b ax + b
n m
ź#
2) Rś# x, , dx , kur R ir racionla funkcija, integr, izmantojot
+"
ś# ź#
cx + d cx + d
# #
ax + b
p
substitkciju = t , kur p ir skait<u m un n mazkais kop%2łgais dalmais.
cx + d
6
x - 3
Piemrs. Apr7int
+"
3
x - 3( x - 3 - 4)dx .
Risinjums. Zemintegr<a funkcija satur 6., 2. un 3. pakpes saknes. Skait<u 6, 2, 3
6
mazkais kop%2łgais dal%2łtjs ir 6, ttad jpielieto substitkcija x - 3 = t :
6 6
6
Ą# - 3 = t , x = t + 3
ń#
x - 3 x t " 6t5dt t3dt
= = 6 = [ieguvm
Ą#
+" +" 2 +" 2
6
3
x - 3( x - 3 - 4)dx = ó#
Ł#dx = 6t5dt, t = x - 3Ś# t3(t - 4) t - 4
racionlu funkciju, kas ir ne%2łsta da<a, ttad jizdala polinomi:
2
t3 t - 4
t3 - 4t t
4t
2 2
t3 4t tdt t 1 d(t - 4)
ś#
Ttad = t + ] = 6# + 4 = 6 " + 24 " =
ś# ź#
2 2 +"tdt +" 2 +" 2
t - 4 t - 4 t - 4 2 2 t - 4
# #
3. nodarb%2łba. 5. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju
konspekts.
3
= 3t2 +12ln t2 - 4 + C = 3"3 x - 3 +12ln x - 3 - 4 + C .
Mx + N
3) Lai nointegrtu dx , zemsaknes izteiksmi sadala pilnajos kvadrtos
+"
ax2 + bx + c
2 2
# ś#
b c b b b c
ś# # ś# # ś#
ź#
+ =
ax2 + bx + c = a# x2 + x + = aś# x2 + 2 " x + - ś# ź#
ś# ź# ś# ź#
ś# ź#
a a 2a 2a 2a a
# # # # # #
# #
2
b b2 b
ś#
= a# x + - + c un pielieto substitkciju t = x + .
ś# ź#
2a 4a 2a
# #
6x + 5
Piemrs. Apr7int dx .
+"
8 - 4x - x2
Risinjums.
Ą#8 - 4x - x2 = -(x2 + 4x - 8)= -(x2 + 4x + 4 -12)= -(x + 2)2 +12ń#
6x + 5
dx = =
ó# Ą#
+"
x + 2 = t, x = t - 2, dx = dt
8 - 4x - x2
Ł# Ś#
1
6(t - 2)+ 5 6tdt 7dt 1 - dt
# ś#
2 2
2
= dt = - = 6 " (12 =
ś#- ź# - t ) d(12 - t )- 7
+" +" +" +" +"
2 2 2 2
2
# #
12 - t 12 - t 12 - t 12 - t
1
2
2
(12 - t ) t t
2
= -3" - 7 arcsin + C = -6 12 - t - 7 arcsin + C =
1
12 2 3
2
x + 2
2
= -6 12 - (x + 2) - 7 arcsin + C .
2 3
dx 1
4) Integrjot , izmanto substitkciju t = .
+"
Mx + N
(Mx + N) ax2 + bx + c
dx
Piemrs. Apr7int .
+"
x 5x2 - 6x +1
dt
1 1
Ą# ń#
-
t = , x =
2
ó# Ą#
dx
t
x t
Risinjums. = = =
ó# Ą#
+" +"
dt
-2
1 5 6
x 5x2 - 6x +1
ó# -t dt = - Ą#
dx =
- +1
2
2
Ł# t Ś#
t t t
3. nodarb%2łba. 6. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju
konspekts.
dt dt dt dt
= - = - = - = - =
+" +" +" +"
2 2
5 6
5 6
# 5 - 6t + t (t - 6t + 9)- 4
2
t - +1
t - +1ś#
ś# ź#
2
2
t t
t t
# #
d(t - 3) 1 1 6
= - = - ln t - 3 + (t - 3)2 - 4 + C = - ln - 3 + - + 5 + C .
+"
x
x2 x
(t - 3)2 - 4
5) Integrjot iracionlas funkcijas, kas satur kvadrtsakni no kvadrttrinoma, no
kvadrtsaknes var atbr%2łvoties, izmantojot trigonometriskas substitkcijas. Zemsaknes
izteiksmi sadala pilnajos kvadrtos un atkar%2łb no iegkt, izmanto adas substitkcijas:
2
a) ja iegkst a2 - z , kur a ir konstante, tad pielieto substitkciju z = a sin t vai
z = a cost ;
a a
b) ja iegkst z2 - a2 , tad pielieto substitkciju z = vai z = ;
sin t cost
2
c) ja iegkst a2 + z , tad pielieto substitkciju z = a tg t vai z = a ctgt .
dx
Piemrs. Apr7int .
+"
3
x2 (4 + x2)
2dt
x = 2tg t
Ą# ń#
dx
cos2 t
ó# Ą#
Risinjums. = 2dt = =
+" +"
3 3
ó#dx = Ą#
x2 (4 + x2) 4tg2t (4 + 4tg2t)
Ł# cos2 t Ś#
1 dt 1 1 dt
Ą#1+ ń#
= = tg2t = = =
+" ó# Ą# +"
2 sin2 t 3 cos2 t 2
Ł# Ś# 1
cos2 t " 43(1+ tg2t)
sin2 t " 23
cos2 t
cos6 t
2
1 cos3 tdt 1 cos2 t " costdt 1 (1- sin t)d(sin t) 1
-2
= = = =
+" 2 +" 2 +" 2 +"sin td(sin t)-
16 sin t 16 sin t 16 sin t 16
1 1 sin-1 t 1 1 sin t
-
+"d(sin t) = " - sin t + C = - t - + C =
16 16 -1 16 16sin 16
3. nodarb%2łba. 7. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju
konspekts.
Ą# ń#
ó# Ą#
ó# x Ą#
tg t =
ó# Ą#
2
ó# Ą#
1 1 1 4 4 + x2 x
2
ó# Ą# -
= = 1+ tg t ! cos2 t = = = = - + C
2
cos2 t 1+ tg t x2 4 + x2 16x
ó# Ą#
16 4 + x2
1+
ó# Ą#
4
ó# Ą#
-
ó#sin t = 1- cos2 t = 1- 4 4 + x2 4 x Ą#
= =
ó#
4 + x2 4 + x2 4 + x2 Ą#
Ł# Ś#
Piez%2łme. Trijs lekcijs, kuras velt%2łtas nenoteiktajam integrlim, izklst%2łtas galvens
integraanas metodes, ta%0ńu ts ne vienmr dod iespju atrast integrli. Praks lieto
da~das rokasgrmatas un formulu krjumus, kas satur daudzas integraanas formulas.
Doto integrli prveido par integrli, kas ierakst%2łts kd tabul, un izmanto gatavu
formulu t apr7inaanai. Bet ar%2ł tabuls nav atrodami visi integr<i. Kaut ar%2ł katra
neprtraukta funkcija ir integrjama, tomr ne vienmr ts integrlis ir elementra
funkcija. `di elementri neintegrjami integr<i ir, piemram,
- x2
varbkt%2łbu integrlis dx ,
+"e
Frene<a integr<i (x2)dx un (x2)dx ,
+"sin +"cos
sin x cos x
integrlais sinuss un kosinuss dx un dx u.c.
+" +"
x x
`da veida integr<us izsaka ar transcendentm un neelementrm funkcijm vai ar%2ł atrod
tuvintu atrisinjumu.
3. nodarb%2łba. 8. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
Wyszukiwarka