5. Przestrzenny stan naprężenia (wersja 1  listopad)
Przestrzenny stan naprężenia
Rys. 5.1
Trzy równania ŁMc = 0 �xy = �yx , �yz = �zy , �xz = �zx .
Przestrzenny stan określony przez �x , �y , �z , �xy , �yz , �xz .
Zapis za pomocą macierzy. Tensor naprężenia.
Równania równowagi ŁX = 0, ŁY = 0, ŁZ = 0:
"�
"� "�
xy
x xz
+ + +X=0 ,
"x "y "z
"� "� "�
xy y yz
+ + +Y=0 , (5.1)
"x "y "z
"�
"� "�
yz
xz z
+ + +Z=0 ,
"x "y "z
Związki (5.1) nazywane są równaniami Naviera.
Louis Marie Henri Navier (1785  1836).
Wytrzymałość materiałów I Sz. Lutomirski 1/16
5. Przestrzenny stan naprężenia (wersja 1  listopad)
W pobliżu brzegów ciała znajdują się elementy nie będące
prostopadłościanami. Rozpatrujemy równowagę elementu brzegowego
Oabc .
Rys. 5.2
Ścianka abc ma elementarną powierzchnię dA, której normalna  n
tworzy z osiami układu współrzędnych x, y, z kąty określone kosinusami
kierunkowymi: ax = cos(n, x), ay = cos(n, y), az = cos(n, z). Elementarne
powierzchnie ścianek bocznych czworościanu wyrażają się zależnościami:
dAObc = dA cos(n, x) = dA ax,
dAOac = dA cos(n, y) = dA ay,
dAOab = dA cos(n, z) = dA az.
Składowe naprężenia wypadkowego działającego na ściankę a b c
oznaczamy przez X, Y, Z. Rzutując wszystkie siły działające na
czworościan, na oś x otrzymujemy
XdA-�xdAax-�yxdA ay-�zxdA az=0
Po skróceniu otrzymujemy pierwszy warunek brzegowy
X=�x ax+�yxay+�zxaz, (5.2a)
Analogicznie znajdujemy dwa następne warunki brzegowe
Y=�yxax+�yay+�yzaz,
(5.2b)
Z=�zxax+�zyay+�zaz .
Wytrzymałość materiałów I Sz. Lutomirski 2/16
5. Naprężenia w punkcie zależne od orientacji przekroju (wersja 1  listopad)
Rozpatrzymy równowagę elementarnego czworościanu Oabc,
otaczającego rozważany wewnętrzny punkt  A .
Rys. 5.3a
Rys. 5.3b
Wytrzymałość materiałów I Sz. Lutomirski 3/16
5. Naprężenia w punkcie zależne od orientacji przekroju (wersja 1  listopad)
Oznaczmy przez sĆ naprężenie wypadkowe na ściance abc zaś
przez px , py , pz , naprężenia składowe. Czworościan będzie w równowadze
jeżeli sumy miar rzutów wszystkich sił na osie układu współrzędnych są
równe zero.
Przykładowo ŁX = px dA  �x dA ax - �xy dA ay - �xz dA az =0.
Analogicznie ŁY = 0 i ŁZ = 0. Równania równowagi elementarnego
czworościanu możemy napisać w postaci (5.3):
px = �x ax + �xy ay + �xz az ,
py = �xy ax + �y ay + �yz az , (5.3)
pz = �xz ax + �yz ay + �z az.
Na ściance pochyłej abc czworościanu Oabc działa wypadkowe naprężenie
s� = p2 + p2 + p2 ,
x y z
które można rozłożyć na naprężenia normalne �Ć i styczne �Ć. Naprężenie
normalne �Ć do powierzchni dA jest sumą rzutów składowych px , py , pz
na kierunek normalnej
�� = pxax + pyay + pzaz (5.4)
Po wykorzystaniu równań (5.2) i uporządkowaniu będziemy ostatecznie
mieli
��=�xa2+�ya2+�za2+2�xyaxay+2�yzayaz+2�zxazax.
x y z
(5.5)
Naprężenia styczne �Ć występujące na płaszczyz
nie a b c wyznaczamy z
równania
��= s�-��. (5.6)
Wytrzymałość materiałów I Sz. Lutomirski 4/16
5. Naprężenia główne (wersja 1  listopad)
Naprężenia główne
W ogólnym przypadku na pochyłą ściankę abc o powierzchni dA działa
naprężenie sĆ o składowych �Ć i �Ć.
Poszukujemy płaszczyzny tak nachylonej aby występowało na niej tylko
naprężenie normalne �Ć = �G = �n (naprężenie główne). W tym przypadku
ścianka a b c pokrywa się z przekrojem głównym i naprężenia styczne są
równe zero.
��=0.
Rzutując naprężenia główne �G na osie układu współrzędnych w tym
szczególnym przypadku, będzie
sĆ = �Ć = �G ,
zaś składowe naprężenia głównego równoległe do osi układu współrzędnych
wyniosą tutaj
px = �G ax , py = �G ay , pz = �z az .
Podstawiając, składowe naprężenia głównego do równań (5.2), po
uporządkowaniu otrzymamy układ trzech jednorodnych równań liniowych
względem kosinusów kierunkowych ax , ay , az , o postaci
ax�x-�G )+ay�xy+az�xz=0,
(
ax�yx+ay�y-�G )+az�yz=0, (5.7)
(
ax�zx+ay�zy+az�z-�G )=0.
(
Układ (5.7) zawiera cztery niewiadome: trzy kosinusy kierunkowe ax , ay , az
określające położenie płaszczyzny głównej oraz wartość naprężenia
głównego �G . Dodatkowe równanie otrzymujemy z geometrii analitycznej w
postaci:
a2 + a2 + a2 = 1. (5.8)
x y z
Układ posiada niezerowe rozwiązania gdy wyznacznik utworzony ze
współczynników przy niewiadomych równa się zeru
(�x-�G ) �xy �xz
�yx (�y-�G ) �yz (5.9)
�zx �zy (�z-�G )
Wytrzymałość materiałów I Sz. Lutomirski 5/16
5. Równanie charakterystyczne (wersja 1  listopad)
Z rozwinięcie wyznacznika otrzymamy równanie trzeciego stopnia
względem �G
2
�3-�G�x+�y+�z )+�G[(�x�y+�y�z+�z�x )+
(
G
-(�xy�yx+�yz�zy+�zx�xz]+
)
-(�x�y�y+2�xy�yz�zx-�x�yz�zy-�y�xz�zx-�z�xy�yx)=0
(5.10)
Jest to tzw. równanie charakterystyczne, wiekowe (sekularne), ma trzy
rzeczywiste pierwiastki �1, �2, �3, (napręż. główne), które uporządkowujemy
wg wartości algebraicznych �1 e" �2 e" �3.
Podstawiając do układu równań (5.7) kolejno zamiast �G wartości �1, �2, �3
można wyznaczyć trzy grupy kosinusów kierunkowych odpowiadające
trzem przekrojom głównym
ax,1 = cos(n1, x), ay,1 = cos(n1, y), az,1 = cos(n1, z),
ax,2 = cos(n2, x), ay,2 = cos(n2, y), az,2 = cos(n2, z),
ax,3 = cos(n3, x), ay,3 = cos(n3, y), az,3 = cos(n3, z).
Można (łatwo) udowodnić, że zachowana jest prostopadłość kierunków 1 i
2, 2 i 3, 3 i 1.
Dla każdego stanu naprężenia można wyznaczyć trzy wzajemne
prostopadłe osie określające trzy kierunki główne. W przekrojach im
odpowiadających występują wyłącznie naprężenia normalne, zwane
głównymi. Orientacja kierunków głównych, jak i wartości naprężeń
głównych nie są zależne od przyjętego wyjściowego układu osi
współrzędnych i są niezmiennikami stanu naprężenia.
Przestrzenny główny stan naprężenia:
a) ogólny �1 `" �2 `" �3,
b) cylindryczny (walcowy) �1 = �2 `" �3,
c) kulisty �1 = �2 = �3.
Rys. 5.4
Wytrzymałość materiałów I Sz. Lutomirski 6/16
5. Niezmienniki stanu naprężenia (wersja 1  listopad)
Niezmiennikami stanu naprężenia są również współczynniki w równaniu
(5.10). Zapisać je można w postaci
2
�3-�GI1+�GI2-I3=0 (5.11)
G
gdzie I1, I2, I3  niezmienniki stanu naprężenia odpowiednio równe
I1=�x+�y+�z,
I2=�x�y+�y�z+�z�x-�2 -�2 -�2 =
xy yz zx
�x�xy �y�yz �z�zx
= + + ,
�yx�y �zy�z �xz�x
I3=�x�y�z+2�xy�yz�zx-�x�2 -�y�2 -�z�2 =
yz zx xy
�x�xy�xz
(5.12)
=�yx�y�yz .
�zx�zy�z
Niezmienniki stanu naprężenia I1, I2, I3 wykorzystywane są do
formułowania praw fizycznych.
Jeżeli w rozpatrywanym punkcie ciała osie układu współrzędnych x, y, z
pokrywają się z kierunkami głównymi 1, 2, 3 to niezmienniki stanu
naprężenia można wyrazić za pomocą naprężeń głównych
I1=�1+�2+�3=3�s,
�1 0 �2 0 �3 0
I2=�1�2+�2�3+�3�1= + + ,
0 �2 0 �3 0 �1
�1 0 0
I3=�1�2�3= 0 �2 0. (5.13)
0 0 �3
1 1 1
Wartość �s= I1= (�1+�2+�3)= (�x+�y+�z )
3 3 3
nazywamy naprężeniem średnim.
Wytrzymałość materiałów I Sz. Lutomirski 7/16
5. Rozkład tensora naprężenia (wersja 1  listopad)
Rozkład tensora naprężenia
Tensor naprężenia wygodnie jest przedstawić w postaci sumy dwóch
tensorów T� = K� + D�
" tensora kulistego K� związanego ze średnim naprężeniem
(odpowiada to równomiernemu wszechstronnemu,
hydrostatycznemu ściskaniu lub rozciąganiu)
" oraz dewiatora tensora naprężeń D� lub krótko dewiatora naprężeń
Rozkład tensora naprężenia przedstawiamy przy pomocy macierzy
�ł�x �xy �xz łł �ł�x - �s �xy �xz łł
�ł�s 0 0 łł
�ł śł �ł śł
�ł śł
= 0 �s 0 + �yx �y - �s �yz śł
yx
�ł� �y �yz śł �ł
�ł śł
�ł� �zy �z śł
�ł 0 0 �s �ł �ł �zx
śł
�zy �z - �s śł
�ł
zx
�ł �ł �ł �ł
(5.14)
Osie dewiatora D� i tensora T� naprężeń pokrywają się.
Rys. 5.5
W osiach głównych rozkład tensora można zapisać
�1 0 0 �s 0 0 �1 - �s 0 0
�ł łł �ł łł �ł łł
�ł �ł �ł śł.
0 �2 0śł = 0 �s 0śł + 0 �2 - �s 0
�ł śł �ł śł �ł śł
śł �ł śł
�ł 0 0 �3 śł �ł 0 0 �s �ł �ł 0 0 �3 - �s �ł
�ł �ł �ł
(5.15)
Wytrzymałość materiałów I Sz. Lutomirski 8/16
5. Niezmienniki dewiatora naprężenia (wersja 1  listopad)
Dewiator naprężenia powoduje zmianę postaci ciała.
Niezmienniki dewiatora naprężenia
I =0,
1
�ł - �y )2 + (�y - �z )2 + (�z - �x )2
łł
(�x
1
I = =
2 �ł śł
6
�ł+ 6(�2 + �2 + �2 ) śł
xy yz zx
�ł �ł
(5.16a)
1
[(�1 - �2)2 + (�2 - �3)2 + (�3 - �1)2],
6
Trzeci niezmiennik dewiatora naprężenia dla naprężeń głównych
I =(�1-�s )(�2-�s )(�3-�s )=
3
1
[(2�1-�2-�3)(2�2-�1-�3)(2�3-�1-�1)].
27
(5.16b)
Powtórzenie PSN (�z = �zx = �yz = 0)
Niezmienniki stanu naprężenia (por. 5.12)
I1=�x+�y, I2=�x�y-�2 , I3=0.
xy
Wobec tego równanie charakterystyczne ma postać (por. 5.10 -11)
�G�2-�G�x+�y )+(�x�y-�2 ))=0
( (
G xy
A więc �G = �3 = 0, a pozostałe pierwiastki równania wynoszą:
" = (�x + �y )2 - 4(�x�y - �2 ) = (�x - �y )2 - 4�2
xy xy
�x+�y 1
�1,2= ą (�x-�y)2+4�2 .
xy
2 2
Kąt nachylenia płaszczyzn głównych (por. 5.7) ax = cosą,
ay = cos(Ą/2+ą) = siną.
ax�x-�1)+ay�xy=0,
(
2�xy
tg2�n= .
ax�yx+ay�y-�1)=0. �x-�y
(
Wytrzymałość materiałów I Sz. Lutomirski 9/16
5. Maksymalne naprężenia styczne (wersja 1  listopad)
Maksymalne naprężenia styczne
Przyjmujemy kier. główne naprężeń w rozpatrywanym punkcie  O . Oś x
pokrywa się z kierunkiem głównym 1, zaś osie y i z to odpowiednio
kierunki 2 i 3. Na osiach 1, 2, 3 budujemy elementarny czworościan Oabc.
Naprężenia �Ć na ukośnej ściance czworościanu wyrażamy w funkcji
naprężeń głównych.
Rys.5.6
a1 = cos(n, 1) = cosą, a2 = cos(n, 2) = cos�, a3 = cos(n, 3) = cosł.
Por. (5.3 i 5.4).
p1 = �1a1, p2 = �2a2, p3 = �3a1,
2 2 2 2 2 2
s�=p1+p2+p3=�1a1+�2a2+�3a3
2 2 2
Składowa normalna wynosi
2 2
��=�n=�1a1+�2a2+�3 (5.17)
2
Z zależności s�=��+�� otrzymujemy naprężenia styczne na pochyłej
ściance czworościanu
Wytrzymałość materiałów I Sz. Lutomirski 10/16
5. Maksymalne naprężenia styczne (wersja 1  listopad)
2 2 2 2 2 2 2
��=�1a1+�2a2+�3a3-(�1a1+�2a2+�3a3 )2 (5.18)
2 2 2
Po uporządkowaniu zależności (5.18) i wykorzystaniu związków na
kosinusy kierunkowe , wzór na naprężenia styczne ma postać
2 2 2 2
��= (�1-�2)2a1a2+(�2-�3)2a2a3+(�3-�1)2a3a1
2 2
(5.19)
Funkcja (5.19) ma wartości ekstremalne dla następujących zestawów
wartości kosinusów kierunkowych
I. a1 = 0, a2 `" 0, a3 `" 0,
II. a1 = 0, a2 `" 0, a3 `" 0,
III. a1 = 0, a2 `" 0, a3 `" 0.
Dla zestawu I otrzymujemy następujące wartości kątów
a1 = cos(n, 1) = cosą = 0 ą = 90�,
a2 = cos(n, 2) = cos� = ą 1/"2 � = ą 45�,
a3 = cos(n, 3) = cosł = ą 1/"2 ł = ą 45�.
Podwójne znaki kosinusów kierunkowych dają cztery kombinacje
rozwiązań (por. rys. a poniżej).
Podstawiając kosinusy kier. do równania (5.19) otrzymamy ekstremalne
naprężenia styczne na pochyłej ściance czworościanu
�2-�3
�23=ą (5.20a)
2
oraz występujące również tam naprężenia normalne (por. 5.17)
�2+�3
�23= (5.20b)
2
Przeprowadzając analogiczne rozumowania dla rozwiązań z zestawu II i III
znajdziemy wartości kosinusów kier. i ekstremalne naprężenia styczne i
odpowiadające im wartości normalnego
Dla zestawu II ( por. rys. b)
a1 = cos(n, 1) = ą 1/"2 , a2 = cos(n, 2) = 0, a3 = cos(n, 3) = ą 1/"2,
�1-�3 �1+�3
�13=ą , �13= (5.21)
2 2
Dla zestawu III ( por. rys. c)
a1 = cos(n, 1) = ą 1/"2 , a2 = cos(n, 2) = ą 1/"2, a3 = cos(n, 3) = 0,
�1-�2 �1+�2
�12=ą , �12= (5.22)
2 2
Wytrzymałość materiałów I Sz. Lutomirski 11/16
5. Maksymalne naprężenia styczne (wersja 1  listopad)
�12+�23+�31=0 (5.23)
Naprężenia na ściankach czworościanu i dwunastościanu foremnego
Rys. 5.7
Wytrzymałość materiałów I Sz. Lutomirski 12/16
5. Naprężenia oktaedryczne (wersja 1  listopad)
Ekstremalne naprężenia styczne działają w płaszczyznach nachylonych pod
kątem Ą/4 do płaszczyzn głównych.
Rys. 5.8
Ekstremalne naprężenia styczne w płaszczyznach zakreskowanych
Naprężenia oktaedryczne
Zbadamy rozkład naprężeń na płaszczyz
nie jednakowo nachylonej do
wszystkich osi układu współrzędnych. Płaszczyzny te nazywamy
oktaedryczne, gdyż po ich przecięciu (ze wszystkich ćwiartek układu osi
współrzędnych) tworzą one ośmiościan foremny. Orientacje płaszczyzny
oktaedrycznej określają kosinusy kierunkowe
a1=a2=a3=1/ 3 (5.24)
Mamy zatem osiem różnych kombinacji znaków kosinusów kierunkowych a
więc osiem płaszczyzn jednakowo oddalonych od rozważanego punktu (por.
rys).
Podstawiając wartości kosinusów kierunkowych (5.24) do zależności (5.17)
otrzymamy naprężenia normalne w płaszczyz
nie oktaedrycznej
1
�o= (�1+�2+�3) (5.25)
3
Wartość �o nazywamy naprężeniem średnim powodującym wszechstronne
ściskanie lub rozciąganie ( zmiana objętości).
Naprężenia styczne na pł. oktaedranu ze wzoru (5.19)
1
�o= (�1-�2)2+(�2-�3)2+(�3-�1)2 (5.26)
3
Wytrzymałość materiałów I Sz. Lutomirski 13/16
5. Naprężenia oktaedryczne (wersja 1  listopad)
Ośmiościam foremny i naprężenia oktaedryczne
Rys. 5.9
Styczne naprężenia oktaedryczne
2
2
�o= (I1-3I2) (5.27)
9
Dla ogólnego stanu naprężenia
1
�o= (�x-�y)2+(�y-�z )2+(�z-�x )2+6(�2 +�2 +�2
xy yz zx
3
(5.28)
Wytrzymałość materiałów I Sz. Lutomirski 14/16
5. Podsumowanie stanu naprężenia w punkcie (wersja 1  listopad)
Podsumowanie
Przez każdy punkt przestrzeni można poprowadzić:
" trzy wzajemnie prostopadłe płaszczyzny główne,
" trzy pary płaszczyzn na których działają naprężenia normalne i
ekstremalne naprężenia styczne,
" cztery płaszczyzny oktaedryczne.
Zatem wokół każdego punktu można poprowadzić: 3 + 3*2 + 4 = 13
charakterystycznych płaszczyzn. Można zatem z nich zbudować sześcian,
czworościan ośmiościan i dwunastościan foremny
Charakterystyczne płaszczyzny poprowadzone w danym punkcie
odciążonego ciała przedstawiono na rys. 5.10: I  płaszczyzny główne,
II  płaszczyzny oktaedryczne, III  płaszczyzny największych naprężeń
stycznych.
Rys. 5.10
Wytrzymałość materiałów I Sz. Lutomirski 15/16
5. Geometryczna interpretacja stanu naprężenia (wersja 1  listopad)
Geometryczna interpretacja stanu naprężenia
Podobnie jak płaski tak i przestrzenny stan naprężenia może być
przedstawiony za pomocą kół Mohra. Napiszemy jeszcze raz uprzednio
wyprowadzone zależności (5.8) i (5.17).
2 2
a1 + a2 + a3 = 1,
2
2 2 2 2
s�=�1a1+�2a2+�3a3
2 2
2 2
��=�n=�1a1+�2a2+�3
2
Jest to układ równań liniowych jednorodnych o trzech niewiadomych
2 2
a1 , a2 , a3 . Rozwiązanie tego układu przedstawia się następująco:
2
2 2
(��-�2)(��-�3)+�� (��-�3)(��-�1)+��
2
a1= , a2= ,
2
(�1-�2)(�1-�3) (�2-�3)(�2-�1)
2
(��-�1)(��-�2)+��
2
a3= . (5.29)
(�3-�1)(�3-�2)
Wykreślną konstrukcję naprężeń � i � na dowolnie nachylonej
� �
� �
� �
płaszczyz
nie abc przedstawiono na rys. 5.11
Rys. 5.11
Wytrzymałość materiałów I Sz. Lutomirski 16/16