MN MiBM zaoczne wyklad 2 aproksymacja, interpolacja


Metody Numeryczne
METODY
NUMERYCZNE
dr inż. Mirosław Dziewoński
e-mail: miroslaw.dziewonski@polsl.pl
Pok. 151
Wykład 2/1
Metody Numeryczne
Aproksymacja funkcji
jednej zmiennej
Wykład 2/2
Aproksymacja funkcji jednej zmiennej
Dana jest funkcja jednej zmiennej
y = f (x)
gdzie
x [a,b]
Funkcja ta podana jest w postaci wzoru analitycznego lub w postaci
zbioru punktów
f (x1) = y1, f (x2) = y2, ... , f (xn) = yn
Celem aproksymacji jest dobór takiej funkcji
F(x, p0, ... , pk ), x [a,b]
aby w sensie przyjętego kryterium funkcja ta możliwie dokładnie
odtwarzała przebieg funkcji f (x).
Wykład 2/3
Aproksymacja funkcji jednej zmiennej
Jeżeli funkcja dana jest w postaci dyskretnej (zbioru punktów) to
aproksymację nazywamy punktową, a jeżeli w postaci wzoru
analitycznego, to mówimy o aproksymacji integralnej.
Wykład 2/4
Aproksymacja funkcji jednej zmiennej
Kryteria aproksymacji punktowej dla funkcji jednej zmiennej konstruuje
się tak, aby zminimalizować różnice pomiędzy wartościami danej funkcji
f (x) w punktach (xi, yi), i = 1, 2 ,& , n a wartościami funkcji
F (x, p0, & , pk ) w tych samych punktach.
Wprowadzamy pojęcie odchyłki:
ei = F(xi, p0, ... , pk ) - yi min, i =1,2,...,n
Należy tak dobrać parametry p0, & , pk wzoru empirycznego, aby
spełnione było kryterium minimalizacji odchyłki.
Wykład 2/5
Aproksymacja funkcji jednej zmiennej
Wykład 2/6
Aproksymacja funkcji jednej zmiennej
W literaturze można spotkać następujące kryteria minimalizacji
odchyłek
" metoda wybranych punktów,
" metoda średnich,
" metoda sumowania bezwzględnych wartości,
" metoda najmniejszych kwadratów.
Wykład 2/7
Metoda najmniejszych kwadratów
Kryterium tej metody polega na takim doborze współczynników funkcji
F (x, p0, & , pk ), aby
nn
2
2
S( p0, ... , pk ) = F(xi, p0, ... , pk ) - yi min
[ ]
e =
i
i=1 i=1
Wykład 2/8
Aproksymacja liniowa funkcji jednej zmiennej
Rozpatrujemy zbiór punktów
(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)
którego aproksymacją ma być funkcja liniowa
y = p0 + p1x
Zgodnie z kryterium metody najmniejszych kwadratów
n
2
S( p0, p1) = p0 + p1xi - yi = min
( )

i=1
Wykład 2/9
Aproksymacja liniowa funkcji jednej zmiennej
Warunkiem koniecznym dla istnienia ekstremum funkcji dwóch
zmiennych jest zerowanie się odpowiednich pochodnych cząstkowych:
śS( p0, p1)

= 0

śp0

śS( p0, p1)

= 0

śp1

Otrzymujemy zatem następujący układ równań:
n
śS
( )

śp = 2 i=1 p0 + p1xi - yi =0

0

n
śS

= 2 p0 + p1xi - yi xi =0
( )

śp1
i=1

Wykład 2/10
Aproksymacja liniowa funkcji jednej zmiennej
Układ ten można zapisać w następującej postaci:
nn

p0 n + p1 yi
x =
i


i=1 i=1

n n n
2

p0
x + p1x = x yi
i i i

i=1 i=1 i=1
lub macierzowo:
nn
ł
n yi ś
x ł p0 ł
i
ę ś ę

i=1 i=1
ę ś ę ś
=
ę ś
n n n
p1
ę
2
x x ś ęx yi ś
i i i
ę ś ę ś
i=1 i=1 i=1
Wykład 2/11
Aproksymacja liniowa funkcji jednej zmiennej
Rozwiązując układ równań dowolną metodą można obliczyć parametry
p0 i p1 np.:
-1
X P = Y P = X Y
Wykład 2/12
Aproksymacja kwadratowa funkcji jednej zmiennej
Przykład 1:
Dla zbioru punktów
Pi (xi, yi ), i =1,2, ... ,n
dobrać wzór aproksymujący w postaci:
y = p0 + p1x + p2x2
Wykład 2/13
Aproksymacja kwadratowa funkcji jednej zmiennej
Wykorzystując kryterium metody najmniejszych kwadratów
2
n
S( p0, p1, p2) = p0 + p1 xi + p2 xi2 - yi = min
( )

i=1
możemy zapisać następujący układ równań:
n

śS
p0 + p1 xi + p2 xi2 - yi 1 = 0
( )

śp = 2
i=1
0

n

śS
= 2 p0 + p1 xi + p2 xi2 - yi xi = 0
( )


i=1
śp1
n

śS
= 2 p0 + p1 xi + p2 xi2 - yi xi2 = 0
( )

i=1
śp2
Wykład 2/14
Aproksymacja kwadratowa funkcji jednej zmiennej
Zapis macierzowy:
n n n
ł
2
n yi ś
x x ł
i i
ę ś ę
i=1 i=1
ę ś ś
p0
łę ni=1
n n n
ę
23

x x x ś ę p1 ś = ęx yi ś
i i i
ę ś
ę śę i=1 i ś
i=1 i=1 i=1
ę ś ś
p2
ę śę n
ę
n n n
ę
2 3 4 2
x x x ś x yi ś
i i i i
ę ś ę ś
i=1 i=1 i=1 i=1
Z powyższego układu równań wyznacza się p0, p1, p2.
Wykład 2/15
Aproksymacja funkcji jednej zmiennej
Przykład 2:
Dla zbioru punktów
Pi (xi, yi ), i =1,2, ... ,n
dobrać wzór aproksymujący w postaci:
1
y = b0 + b1 + b2 x2
x2
Wykład 2/16
Aproksymacja funkcji jednej zmiennej
Wykorzystując kryterium metody najmniejszych kwadratów
2
n
ć
1
S(b0,b1,b2) =
Łb + b1 xi2 + b2 xi2 - yi ł = min
0
i=1
zapisujemy następujący układ równań:
n

ć
śS 1
śb = 2
Łb + b1 xi2 + b2 xi2 - yi ł = 0
0 1
i=1
0


n
ć
śS 11

= 2

Łb + b1 xi2 + b2 xi2 - yi ł xi2 = 0
0
i=1
śb1

n
ć
śS 1

= 2
Łb + b1 xi2 + b2 xi2 - yi ł xi2 = 0
0

i=1
2
śb
Wykład 2/17
Aproksymacja funkcji jednej zmiennej
Zapis macierzowy:
nn
n
1 ł
2
n
yi ś
x ł

ę ę
xi2 i=1 i ś
i=1
i=1
ę ś ę ś
b0
ł
n n n
ę ś ę ś
11 yi
ęb ś
n =


1
ę ś ę
ę ś
xi2 i=1 xi4 xi2 ś
i=1 i=1
ę ś ę ś
ę ś
b2
n n n
ę ś ę ś
2 4 2
n
ęx x ś ęx yi ś
i i i
i=1 i=1 i=1
Z powyższego układu równań wyznacza się b0, b1, b2.
Wykład 2/18
Metody Numeryczne
Interpolacja funkcji
jednej zmiennej
Wykład 2/19
Interpolacja - definicja
Dana jest funkcja:
y = f (x) , x x0 , xn
[ ]
dla której znamy tablicę jej wartości
f (x0) = y0 , f (x1) = y1, ..., f (xn) = yn
Wartości tworzące n +1 par punktów
(x0, y0),(x1, y1), ...,(xn, yn)
zwane są węzłami interpolacji.
Wykład 2/20
Interpolacja - definicja
Celem interpolacji jest wyznaczenie takiej funkcji W(x), aby:
W (x0) = y0, W (x1) = y1,..., W (xn) = yn
Funkcja ta nazywana jest wielomianem interpolacyjnym i węzłach
interpolacji przyjmuje takie same wartości co funkcja y = f (x).
Wykład 2/21
Interpolacja - definicja
Wielomian interpolacyjny definiuje się jako kombinację liniową
n + 1 funkcji bazowych i współczynników ai
n
W (x) =i
a ji (x)
i=0
ai  współczynniki wielomianu interpolacyjnego
ji(x)  przyjęte funkcje bazowe
Wykład 2/22
Interpolacja - definicja
Definiując:
Ś = j0(x),j1(x),j2(x),...,jn(x)
[ ]
j0(x0) j1(x0) ... jn(x0) a0 y0
ł ł ł
ęj (x1) j1(x1) ... jn(x1)ś ęa ś ę ś
y1
0 1
ęś ę ś ę ś
X = A = Y =
... ... ... ...
ęś ę ś ę ś
ęj (xn) j1(xn) ... jn(xn)ś ęa ś ę ś
yn
0 n
wtedy:
XA = Y
W (x) = F X-1Y
Wykład 2/23
Interpolacja naturalna
Funkcje bazowe:
j0(x) = x0 =1, j1(x) = x, j2(x) = x2, ..., jn(x) = xn
Postać wielomianu interpolacyjnego:
W (x) = a0 + a1x + a2x2 +...+ anxn
Wykład 2/24
Interpolacja naturalna
Opierając się na warunku koniecznym istnienia interpolacji:
2 n
a0 + a1x0 + a2x0 + ...+ anx0 = y0
2 n
a0 + a1x1 + a2x1 + ...+ anx1 = y1
2 n
a0 + a1xn + a2xn + ...+ anxn = yn
można zapisać, że
n
a0 y0
ł ł ł
1 x0 ... x0
ę1 x1 ... x1 ś ęa ś ę ś
n
y1
1
ęś ę ś ę ś
A X = Y
A = Y =
X =
ę... ... ... ... ś ę ś ę ś
ęś ęa ś ę ś
n
yn
n
1 xn ... xn
Wykład 2/25
Interpolacja naturalna
Przykład
Dla podanych węzłów zapisz:
" macierze układu równań, z których wyznacza się
współczynniki wielomianu interpolacyjnego dla interpolacji
wielomianowej
" wielomian interpolacyjny
Węzły:
(1,3) (-2,5) (4,7)
(x0, y0) (x1, y1) (x2, y2)
Wykład 2/26
Interpolacja naturalna
0 1 2
ł
x0 x0 x0 a0 y0
ł ł
ęx0 x1 x1 ś
1 1 ęa ś ę ś
= y1
1 1
ęś
ę ś ę ś
0 2
ęx2 x1 x2 ś
y2
ę ś ę ś
2 a2

ł
10 11 12 a0 3
ł ł
ę(-2)0 (-2)1 (-2)2 ś
ęa ś ę5ś
=
1
ęś
ę ś ę ś
ę
40 41 42 ś a2 7ś
ę ś ę


1 1 1 a0 3
ł ł ł
ę1 -2 4 ś ęa ś ę5ś
=
1
ę ś ę ś ę ś
ę ś
1 4 16 ę ś ę
a2 7ś
Wykład 2/27
Interpolacja naturalna
A = X-1 Y
11
a0 = 3, a1 = - , a2 =
33
W (x) = a0 + a1x + a2x2
11
W (x) = 3- x + x2
33
Wykład 2/28
Interpolacja Lagrange a
Funkcje bazowe:
j0(x) = (x - x1)(x - x2)(x - x3)......................(x - xn)
j1(x) = (x - x0)(x - x2)(x - x3)......................(x - xn)
....................................................................................
ji (x) = (x - x1)(x - x2)...(x - xi-1)(x - xi+1)...(x - xn)
...................................................................................
jn(x) = (x - x1)(x - x2)(x - x3)....................(x - xn-1)
Dla każdej ji(x), i = 0, 1, ..., n brakuje składnika (x - xi) !!!
Wykład 2/29
Interpolacja Lagrange a
Postać wielomianu interpolacyjnego:
W (x) = a0j0(x) + a1j1(x) +...+ anjn(x) =
= a0(x - x1)(x - x2)...(x - xn ) +
+ a1(x - x0)(x - x2)...(x - xn) +...+
+ an(x - x0)(x - x1)...(x - xn-1)
Wykład 2/30
Interpolacja Lagrange a
Macierz X:
j0(x0) 0 0 0
ł
ę0 ś
j1(x1) 0 0
ęś
X = 0 0 j2(x2) 0
ęś
ęś
ęś
ęś
0 0 jn(xn)
0
Dla punktu xi wszystkie funkcje bazowe oprócz ji(x) zerują się,
bo występuje w nich składnik (x - xi)
Wykład 2/31
Interpolacja Lagrange a
Ponieważ macierz X ma tylko główną przekątną niezerową to:
y0 y0
a0 ==
(x0 - x1)(x0 - x2) (x0 - xn) j0(x0)
y1 y1
a1 ==
(x1 - x0)(x1 - x2) (x1 - xn) j1(x1)
yn yn
an ==
(xn - x1)(xn - x2) (xn - xn-1) jn(xn)
Wykład 2/32
Interpolacja Lagrange a
Przykład
Dla podanych węzłów zapisz:
" macierze układu równań, z których wyznacza się
współczynniki wielomianu interpolacyjnego dla interpolacji
wielomianowej
" wielomian interpolacyjny
Węzły:
(-2,3) (0,5) (2,-3)
(x0, y0) (x1, y1) (x2, y2)
Wykład 2/33
Interpolacja Lagrange a
(-2,3) (0,5) (2,-3)
(x0, y0) (x1, y1) (x2, y2)
(x - x1)(x - x2) (x - x0)(x - x2) (x - x0)(x - x1)
W (x) = y0 + y1 + y2
(x0 - x1)(x0 - x2) (x1 - x0)(x0 - x2) (x2 - x0)(x2 - x1)
x - (-2) (x - 2) x - (-2) (x - 0)
(x - 0)(x - 2) [ ] [ ]
W (x) = 3 + 5 + (-3)
(-2 - 0)(-2 - 2) 0 - (-2) (0 - 2) x - (-2) (2 - 0)
[ ] [ ]
(x - 0)(x - 2) (x + 2)(x - 2) (x + 2)(x - 0)
W (x) = 3 + 5 - 3
(-2 - 0)(-2 - 2) (0 + 2)(0 - 2) (2 + 2)(2 - 0)
Wykład 2/34


Wyszukiwarka