Wojciech MÅ‚ocek
Katedra Zastosowań Matematyki, UR w Krakowie Całki nieoznaczone
Wybrane wzory rachunku całkowego

dx
1. = arc tg x + C
1+x2



dx 1 1+x 1
2. = ln + C
1-x2 2 1-x

dx 1 x 2n-3 2
3. = In = · + · In-1, gdzie n " N, n 2
(1+x2)n 2n-2 (1+x2)n-1 2n-2

"
dx 3
"
4. = ln |x + x2 + k | + C, gdzie k = 0

x2+k

" "
x2 1 1 4
"
5. dx = x x2 + k - k ln |x + x2 + k | + C, gdzie k = 0

2 2
x2+k

" " "
1 1 5
6. x2 + k dx = x x2 + k + k ln |x + x2 + k | + C, gdzie k = 0

2 2

dx
"
7. = arc sin x + C
1-x2

"
x2 1 1 6
"
8. dx = arc sin x - x 1 - x2 + C
2
1-x2 2

" "
1 1 7
9. 1 - x2 dx = arc sin x + x 1 - x2 + C
2 2

1 1 8
10. sin2 x dx = x - sin(2x) + C
2 4

1 n-1 9
11. sinn x dx = In = - cos x sinn-1 x + In-2, gdzie n " N, n 2
n n

1 1 10
12. cos2 x dx = x + sin(2x) + C
2 4

1 n-1 11
13. cosn x dx = In = sin x cosn-1 x + In-2, gdzie n " N, n 2
n n

12
14. tg x dx = - ln | cos x| + C

13
15. tg2 x dx = tg x - x + C

1 14
16. tgn x dx = In = tgn-1 x - In-2, gdzie n " N, n 2
n-1

1 1 1 1 1
= +
1-x2 2 1-x 1+x

2 dx x x
= In-1 - x · dx, nastÄ™pnie caÅ‚kujemy przez części: f(x) = x, g (x) = .
(1+x2)n (1+x2)n (1+x2)n
"
3
Korzystamy z pierwszego podstawienia Eulera x2 + k = t - x.
4 x
"
Całkujemy przez części: f(x) = x, g (x) = , następnie korzystamy ze wzoru 4.
x2+k
"
5 x2+k
"
x2 + k = , następnie korzystamy ze wzorów 4 i 5.
x2+k
6 x
"
Całkujemy przez części: f(x) = x, g (x) = , następnie korzystamy ze wzoru 7.
1-x2
"
7 1-x2
"
1 - x2 = , następnie korzystamy ze wzorów 7 i 8.
1-x2
8
cos(2x) = 1 - 2 sin2 x

9
sinn x dx = sin x · sinn-1 x dx, nastÄ™pnie caÅ‚kujemy przez części: f(x) = sinn-1 x, g (x) = sin x.
10
cos(2x) = 2 cos2 x - 1

11
cosn x dx = cos x · cosn-1 x dx, nastÄ™pnie caÅ‚kujemy przez części: f(x) = cosn-1 x, g (x) = cos x.
12
Stosujemy podstawienie cos x = t.
13 sin x
tg x = , sin2 x + cos2 x = 1.
cos x

14 1 1
tgn x dx = - 1 tgn-2 x dx = · tgn-2 x dx - In-2, nastÄ™pnie stosujemy podstawienie tg x = t.
cos2 x cos2 x
1/5
© WM 2009
Wojciech MÅ‚ocek
Katedra Zastosowań Matematyki, UR w Krakowie Całki nieoznaczone

15
17. ctg x dx = ln | sin x| + C

16
18. ctg2 x dx = - ctg x - x + C

1 17
19. ctgn x dx = In = - ctgn-1 x - In-2, gdzie n " N, n 2
n-1
Rozkład funkcji wymiernej na ułamki proste
Niech P , Q wielomiany, Q(x) = (x - x1)n(ax2 + bx + c)m, stP < stQ, b2 - 4ac < 0.
P (x)
A1 A2 An B1x+C1 B2x+C2 Bmx+Cm
= + + . . . + + + + . . . +
(x-x1)n(ax2+bx+c)m x-x1 (x-x1)2 (x-x1)n ax2+bx+c (ax2+bx+c)2 (ax2+bx+c)m
Przykład:
2x3+x2+3x-2 A B Cx+D Ex+F 5 6 5x+6 x+3 18
= + + + = - - + +
(x+1)2(x2+x+1)2 x+1 (x+1)2 x2+x+1 (x2+x+1)2 x+1 (x+1)2 x2+x+1 (x2+x+1)2
15
Stosujemy podstawienie sin x = t.
16 cos x
ctg x = , sin2 x + cos2 x = 1.
sin x

17 1 1
ctgn x dx = - 1 ctgn-2 x dx = · ctgn-2 x dx - In-2, nastÄ™pnie stosujemy podstawienie ctg x = t.
sin2 x sin2 x
18
W celu znalezienia stałych A, B, C, D, E, F sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika i otrzymujemy równość
A(x + 1)(x2 + x + 1)2 + B(x2 + x + 1)2 + (Cx + D)(x + 1)2(x2 + x + 1) + (Ex + F )(x + 1)2 a" 2x3 + x2 + 3x - 2.
Po uporzÄ…dkowaniu mamy
(A + C)x5 + (3A + B + 3C + D)x4 + (5A + 2B + 4C + 3D + E)x3 + (5A + 3B + 3C + 4D + 2E + F )x2+
+(3A + 2B + C + 3D + E + 2F )x + A + B + D + F a" 2x3 + x2 + 3x - 2.
Porównując współczynniki przy odpowiednich potęgach otrzymujemy
Å„Å‚
A + C = 0
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚ 3A + B + 3C + D = 0
ôÅ‚
òÅ‚
5A + 2B + 4C + 3D + E = 2
5A + 3B + 3C + 4D + 2E + F = 1
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
3A + 2B + C + 3D + E + 2F = 3
ôÅ‚
ół
A + B + D + F = -2,
stÄ…d A = -5, B = -6, C = 5, D = 6, E = 1, F = 3.
2/5
© WM 2009
Wojciech MÅ‚ocek
Katedra Zastosowań Matematyki, UR w Krakowie Całki nieoznaczone
Katalog podstawień standardowych
P
Niech R(u, v) będzie funkcją wymierną dwóch zmiennych, tzn. R = , gdzie P , Q wielomiany względem
Q
zmiennych u, v.

"
A. R(x, ax2 + bx + c)dx, R(x, ax2 + bx + c)dx, gdzie a = 0


q

" Stosujemy podstawienie kanoniczne x - p = · t, gdzie ax2 + bx + c = a(x - p)2 + q.
a
Przykład:
Å„Å‚ üÅ‚
1

òÅ‚ " żł
x - 1 = t
2
dx dx 1 dt
" " " "
= = = =
1
2x2-4x+1
2(x-1)2-1 ół "
dx = dtþÅ‚ 2 t2-1
2


"

1 1

" "
= ln t + t2 - 1 + C = ln 2(x - 1) + 2(x - 1)2 - 1 + C
2 2


n ax+b 19
B. R(x, )dx, gdzie ad - bc = 0

cx+d
ax+b
" Stosujemy podstawienie tn = .
cx+d
Przykład:
Å„Å‚ üÅ‚
x
= t3
ôÅ‚ ôÅ‚
x-1
ôÅ‚ ôÅ‚

òÅ‚ żł

t3
1 x 3dt 3dt
3
x =
dx = = = =
t3-1
x x-1 1-t3 (1-t)(t2+t+1)
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ół
-3t2
dx = dtþÅ‚
(t3-1)2

A Bt+C
= + dt = "
1-t t2+t+1
Zatem A(t2 + t + 1) + (Bt + C)(1 - t) a" 3,
stÄ…d (A - B)t2 + (A + B - C)t + A + C a" 3.
Porównując współczynniki przy odpowiednich potęgach, otrzymujemy
Å„Å‚
A
òÅ‚ - B = 0
A + B - C = 0
ół
A + C = 3.
StÄ…d A = 1, B = 1, C = 2.

dt t+2 1 2t+1+3
" = + dt = - ln |1 - t| + dt =
1-t t2+t+1 2 t2+t+1

1 3 dt
= - ln |1 - t| + ln |t2 + t + 1| + = ""
2 2 t2+t+1
Å„Å‚ " üÅ‚
1 3
òÅ‚ żł
t + = k
2 2
dt dt
= 2 3 = =
"
t2+t+1 1
ół
3
t+ +
dt = dkþÅ‚
2 4
2


2 dk 2 2 2 1
" " " "
= = arc tg k + C = arc tg (t + ) + C
1+k2 3 2
3 3 3

"
1 2 1
"
"" = - ln |1 - t| + ln |t2 + t + 1| + 3 arc tg (t + ) + C
2 2
3

2


3
x 1 x x
3 3
= - ln 1 - + ln + + 1 +

x-1 2 x-1 x-1


"
2 x 1
3
"
+ 3 arc tg + + C
x-1 2
3
19 ax+b a
Jeżeli ad - bc = 0, to = .
cx+d c
3/5
© WM 2009
Wojciech MÅ‚ocek
Katedra Zastosowań Matematyki, UR w Krakowie Całki nieoznaczone

k1 k2 kn

l1
ax+b ax+b l2 ax+b ln
C. R x, , , . . . , dx, gdzie ad - bc = 0, NWD(ki, li)=1 (i = 1, 2, . . . , n)

cx+d cx+d cx+d
ax+b k1 k2 kn
" Stosujemy podstawienie = tN , gdzie N jest wspólnym mianownikiem ułamków , , . . . , .
cx+d l1 l2 ln
Przykład:



x + 1 = t6
dx t3 1
" "
= = 6 dt = 6 t2 - t + 1 - dt =
3
1+t 1+t
x+1+ x+1
dx = 6t5dt
= 2t3 - 3t2 + 6t - 6 ln |1 + t| + C =
" " " "
3 6 6
= 2 x + 1 - 3 x + 1 + 6 x + 1 - 6 ln |1 + x + 1| + C

"
D. R(x, ax2 + bx + c)dx, gdzie a > 0
"
"
" Stosujemy pierwsze podstawienie Eulera ax2 + bx + c = a(t - x).

"
E. R(x, ax2 + bx + c)dx, gdzie a < 0, b2 - 4ac > 0
"
" Stosujemy drugie podstawienie Eulera ax2 + bx + c = t(x - x1),
gdzie ax2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2).

dx
"
F. , gdzie x1 " R, a = 0, b2 - 4ac = 0, n 1

(x-x1)n ax2+bx+c
1
" Stosujemy podstawienie t = .
x-x1
Przykład:
Å„Å‚ üÅ‚
1
= t
ôÅ‚ ôÅ‚

òÅ‚ x-1 żł 1
dt
dx 1 dt
" t2
= x = + 1 = - = - = "
t
(x-1) x2+x+1
ôÅ‚ ôÅ‚ 1 1 3 1
ół
+3 t (1+3t+3t2)
1
t t2 + t t2
dx = - dtþÅ‚
t2
Bez straty ogólności możemy założyć, że x - 1 0, stąd t 0.
Å„Å‚ üÅ‚
"

1 3
òÅ‚ żł
"
t + = k
dt dt 2 6 3 dk
" "
"
" = - = - = = - =
2 1 ół
3
1+3t+3t2 3 k2+1
1
dt = dkþÅ‚
3 t+ +
2 4 6
" " " "
" " "
3 3 3 2 3
= - arc tg k + C = - arc tg(2 3t + 3) + C = - arc tg + 3 + C
3 3 3 x-1

G. R(sin x, cos x)dx
" Jeżeli R(u, v) jest nieparzysta względem u, tzn. R(-u, v) = -R(u, v) stosujemy podstawienie
cos x = t.
Przykład:


cos x = t
dx sin x dt 1 1-t
= dx = = = ln + C =

sin x 1-cos2 x t2-1 2 1+t
sin x dx = -dt


1 1-cos x
= ln + C
2 1+cos x
" Jeżeli R(u, v) jest nieparzysta względem v, tzn. R(u, -v) = -R(u, v) stosujemy podstawienie
sin x = t.
Przykład:

sin x = t
cos5 x dx = cos4 x cos x dx = (1 - sin2 x)2 cos x dx = = (1 - t2)2dt =
cos x dx = dt

2 1 2 1
= (1 - 2t2 + t4)dt = t - t3 + t5 + C = sin x - sin3 x + sin5 x + C
3 5 3 5
x
" Podstawienie uniwersalne tg = t, x " (-Ä„, Ä„).
2
2 2t 1-t2
Wówczas dx = dt, sin x = , cos x = .
1+t2 1+t2 1+t2
4/5
© WM 2009
Wojciech MÅ‚ocek
Katedra Zastosowań Matematyki, UR w Krakowie Całki nieoznaczone
Przykład:
Å„Å‚ üÅ‚
x
Å„Å‚ " üÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
tg = t
ôÅ‚ ôÅ‚
2 1 3
òÅ‚ żł òÅ‚ żł
t + = k
2 2 2
dx dt dt
dx = dt
= = = 2 3 = =
"
1+t2
sin x+2 t2+t+1 1
ôÅ‚ ôÅ‚ ół
3
t+ +
ôÅ‚ ôÅ‚
dt = dkþÅ‚
ół 2t þÅ‚ 2 4
2
sin x =
1+t2


2 dk 2 2 2 1
" " " "
= = arc tg k + C = arc tg (t + ) + C =
1+k2 3 2
3 3 3

2 2 x 1
" "
= arc tg (tg + ) + C
2 2
3 3
H. R(sin2 x, cos2 x, sin x cos x)dx
Ä„
" Podstawienie tg x = t, x " (-Ä„ , ).
2 2
1 t2 1 t
Wówczas dx = dt, sin2 x = , cos2 x = , sin x cos x = .
1+t2 1+t2 1+t2 1+t2
Przykład:
Å„Å‚ üÅ‚
tg x = t
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚
1
òÅ‚ żł
dx = dtôÅ‚ 1+t2 1
1+t2
dx
= = dt = + 1 dt = -1 + t + C =
sin2 x cos2 x t2 t2 t2 t
ôÅ‚ ôÅ‚
sin2 x =
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ 1+t2 ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ół þÅ‚
1
cos2 x =
1+t2
1
= - + tg x + C
tg x
5/5
© WM 2009