Fale materii Fale materii
h
 =
Dualizm falowo-czÄ…stkowy fali elektromagnetycznej.
p
Elektron
" W zjawiskach takich jak dyfrakcja czy interferencja fala elektromagnetyczna
wykazuje typowe własności falowe.
Masa = 9.11 x 10-31 kg prędkość =106 m/s=280km/s
" W zjawiskach takich jak efekt Comptona czy efekt fotoelektryczny fala
elektromagnetyczna wykazuje naturÄ™ korpuskularnÄ…, tzn. jest strumieniem
6.63×10-34Joula Å"s
czÄ…stek zwanych fotonami.
 = = 7.28 ×10-10m



(9.11×10-31 kg)(106 m/s)
Hipoteza de Broglie'a .
Hipoteza de Broglie'a .
" W 1924 roku L. de Broglie założył, że dualizm cząstkowo - falowy jest
Piłka
własnością charakterystyczną nie tylko dla fali elektromagnetycznej, ale
również dla cząstek o masie spoczynkowej różnej od zera .Oznacza to, że
Masa = 1 kg prędkość = 1 m / s=0.28 km/s
cząstki takie jak np. elektrony powinny również wykazywać własności
falowe. Fale te nazwał on falami materii. Założył, że długość fal materii
6.63×10-34JoulesÅ"sec
określona jest tym samym związkiem, który stosuje się do fotonów.
 = = 6.63×10-34m



(1 kg)(1 m/sec)
h
 =
p
Doświadczenie C.J.Davissona i L.G.Germera
Dyfrakcja na polikrystalicznej folii aluminiowej
dNi=0.215nm
p2
eVba =
2m
Wzór de Broglie
Z dyfrakcji
h h
 = d sin¸ = 0.165nm
 = = = 0.167nm
Dyfrakcja
p
2meVba
Dyfrakcja elektronów
promieniowania X
Funkcja falowa
Zasada komplementarności
Fotony czy też elektrony oraz obiekty mikroświata w jednych zjawiskach Zgodnie z hipotezą de Broglie'a, cząstki takie jak elektron czy proton, mają
mogą zachowywać się jak fala, a w innych jak cząstka tzn. wykazują własności falowe.
zarówno własności falowe jak i korpuskularne. Obie te cechy uzupełniają
się wzajemnie , dając pełny opis danego obiektu. Własności falowe cząstki (lub innego obiektu) w mechanice kwantowej
opisuje tzw. funkcja falowa ¨(x,t) :
zawiera w sobie wszystkie informacje o obiekcie (np. czÄ…stce)
Jaka jest długość fali 50 kg worka poruszającego się z prędkością
w ogólnym przypadku jest to funkcja zespolona współrzędnych
100 m/s?
przestrzennych oraz czasu
przestrzennych oraz czasu
musi być funkcją ciągłą , a także musi mieć ciągłą pochodną
6.62 Å"10-34 Js
Kwadrat modułu funkcji falowej
 = H" 1.2 Å"10-33 !!
50Å"100 kgm / s
2
È =È *È
Długość fali elektronu poruszającego się z prędkością 100 m/s
jest gęstością prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w chwili t w
pewnym punkcie przestrzeni
v H" 7.1" 10-6 m
2
p = ¨ "V Ò! ¨2 dV = 1
+"
V
Równanie Schroedingera Cząstka swobodna
Cząstka swobodna - na cząstkę nie działają żadne pola.
FunkcjÄ™ falowÄ…, ¨ dla danej czÄ…stki, lub bardziej zÅ‚ożonego ukÅ‚adu Energia potencjalna czÄ…stki U(x)=0.
fizycznego, otrzymujemy rozwiązując równanie różniczkowe nazywane
2
!2 d ¨
równaniem Schroedingera. Jeżeli energia potencjalna cząstki U nie zależy
- = E¨(x)
od czasu, to równanie Schroedingera jest równaniem niezależnym od
2m
dx2
czasu i nazywa się stacjonarnym równaniem Schroedingera.
Szukamy rozwiÄ…zania w postaci ¨(x)=A sin(kx)
!
!2
2
2
- A(-k )sin(kx) = EAsin(kx)
- A(-k2)sin(kx) = EAsin(kx)
!2 d ¨
!2 d ¨
- +U(x)¨(x) = E¨(x) 2m
2m
dx2
!2
k2Asin(kx) = E Asin(kx)
2m
Funkcja ¨(x)=A sin(kx) bÄ™dzie rozwiÄ…zaniem gdy:
!2k2
E =
2m
CzÄ…stka swobodna - paczka falowa
CzÄ…stka -
mikroświat
CzÄ…stka -
makroświat
"
2Ä„x
¨(x) = A()sin d
+"

0
Zasada nieoznaczoności Zasada nieoznaczoności - interpretacja
" Fizyka klasyczna
 dokładność pomiaru jest zdeterminowana jedynie jakością aparatury
pomiarowej
 Nie ma teoretycznych ograniczeń na dokładność z jaką mogą być
wykonane pomiary
" Mechanika kwantowa
 Obowiązuje zasada nieoznaczoności: pewnych wielkości fizycznych
nie można zmierzyć równocześnie z dowolną dokładnością
Zasada nieoznaczoności dla równoczesnego pomiaru pędu i położenia:
"x"px e" ! / 2
Przykład. Pęd poruszającego się z prędkością v=5000m/s elektronu zmierzono
z dokładnością ą0.003%. Z jaką maksymalną dokładnością można było
Proces pomiaru zaburza stan układu
wyznaczyć położenie tego elektronu?
!
"x e" = 3.84 Å"10-3mm
2"p
Zasada nieoznaczoności Zasada nieoznaczoności energii
Zasada nieoznaczoności dla równoczesnego pomiaru energii i
"x"px e" ! / 2
czasu:
" Piłka o masie m=0.1kg porusza się z prędkością
v= 40 m/s
"E"Ä e" ! / 2
" Jej pęd p= 0.1 x 40kg = 4 kg m/s
Przykład: Czas przebywania atomu sodu w
Przykład: Czas przebywania atomu sodu w
" Pęd zmierzono z dokładnością do 0.01%
stanie wzbudzonym zmierzono z
"
dokładnością "t=1.6 10-8 s. Z jaką
"p = 0.01 p = 4 x 10-4 kg m/s
"
"
"
maksymalną dokładnością można było
" Dokładność wyznaczenia położenia:
wyznaczyć wartość energii tego stanu?
!
h
"x e" = 1.3×10-31m
"E e" H" 2Å"10-8eV
2"p
2"t
Cząstka w studni potencjału
Cząstka w studni potencjału
1. Przypadek klasyczny 2. Przypadek kwantowy
Znajdująca się w głębokiej studni Energia potencjalna
piłka może posiadać dowolną ener-gię
kinetycznÄ….
Å„Å‚" dla x "(-",0)*" (L,")
U(x) =
òÅ‚0 dla x "(0, L)
W szczególnym przypadku gdy
ół
znajduje siÄ™ w spoczynku na dnie
znajduje siÄ™ w spoczynku na dnie
2 2
studni posiada energię całkowitą
Warunki brzegowe:
¨(0) = ¨(L) = 0
równą zeru .
2
!2 d ¨
Równanie Schroedingera:
- = E¨
2m
dx2
Cząstka w studni potencjału
2
Cząstka w studni potencjału -wnioski
!2 d ¨
- = E¨
2m
dx2
Pytanie: czy n może być równe zeru?
x"(0,L)
W obszarze studni czÄ…stka jest czÄ…stkÄ… swobodnÄ….
Szukamy wiec rozwiÄ…zania w postaci ¨(x)=A sin( kx+Ä…) .
Dla n=0 energia k=0 oraz ¨(x)=A sin(0 " x)= 0. Oznacza to,
2 2
2
że prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w tym obszarze
Warunku brzegowy dla x=0 :
¨(0) = A [sin(k Å"0 +Ä…)] = 0
2
¨(x) "x = 0
spełniony jest jedynie gdy ą=0 .
2 2
2 2
2
2
Warunku brzegowy dla x= L :
Warunku brzegowy dla x= L :
¨(L) = A [sin(k Å" L)] = 0
¨(L) = A [sin(k Å" L)] = 0
Wniosek: najmniejsza wartość n=1. Cząstka musi mieć
energię różną od zera. Najmniejsza energia:
spełniony jest jedynie gdy kL=nĄ .
2
2
nĄ
!2k2 Ä„ !2
Ä„ !2
k = oraz
E = skÄ…d
E = n2
E1 = 12
L
2m
2mL2
2mL2
n = 0, 1, 2, 3, ...
Cząstka w studni potencjału -wnioski Cząstka w studni potencjału -wnioski
2 nĄ
W nieskończonej studni potencjału energia cząstki może przyjmować
Funkcja falowa : ¨n = sin( x)
L L
tylko pewne ściśle określone, różne od zera wartości:
WewnÄ…trz studni powstaje fala stojÄ…ca materii z
2
Ä„ !2 gdzie n = 1, 2, 3, ...
węzłami na brzegach studni.
E = n2
2mL2
Cząstka w studni potencjału -wnioski Cząstka w studni potencjału -wnioski
Przykład 1
Przykład 2
Pyłek o masie 1 g w studni o szerokości 1 cm
Elektron o masie 9.11x10-31 g w studni o szerokości 0.2 nm.
a) minimalna energia
a) minimalna energia
h2 (6.63Å"10-34 J Å" s)2
E1 = = = 5.49Å"10-58 J = 3.43Å"10-39eV
h2 (6.63Å"10-34 J Å" s)2
E1 = = = 1.51Å"10-18 J = 9.42eV
8mL2 8Å"10-6kg Å"10-2m
34 10
8mL2 8Å"(9.11Å"10 kg) Å"(2 Å"10 m)
8mL2 8Å"(9.11Å"10-34kg) Å"(2 Å"10-10m)
b) nr poziomu gdy porusza się z prędkością 3cm/s
1 b) poziomy drugi i trzeci
En = mv2 = 4.5Å"10-10 J
2
E2 = 4 Å" E1 = 37.7eV
E3 = 9E1 = 84.8 eV
En = n2E1 Ò! n = En / E1 = 9.05Å"1023
E2 - E1 = 28.28 eV
En+1 - En = (2n +1)E1 H" 6.2 Å"10-15eV
Molekuła dwuatomowa - H2
Kwantowanie energii
" Energia dowolnego obiektu jest skwanowana. Obiekt
znajduje się na jednym z dozwolonych poziomów
energetycznych
" Zmiana energii układu może odbywać się wyłącznie
Molekuła H2 emituje falę EM z
porcjami - kwantami
zakresu podczerwieni o długości fali
zakresu podczerwieni o długości fali
" W makroświecie odległość pomiędzy najbliższymi
w pobliżu 2300 nm.
poziomami energetycznymi jest niemierzalnie mała
1
E0 = !É = 0.27eV
2
"Evib = 0.54eV
Kwantowanie energii - oscylator harmoniczny
Energia potencjalna oscylatora harmonicznego:
1
U(x) = mÉ2x2
2
Równanie Schroedingera dla oscylatora :
2 2
!
!2 d ¨ mÉ x2
- + ¨ = E¨
- + ¨ = E¨
2m 2
dx2
Funkcje falowe ¨ bÄ™dÄ…ce rozwiÄ…zaniem tego równania muszÄ… być
ciągłe i posiadać ciągłe pierwsze pochodne. Takie rozwiązania istnieją
wyłącznie wtedy gdy energia całkowita oscylatora posiada jedną z
wartości:
1
En = (n + )!É gdzie n = 1,2,3,....
2