RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKAAD 9 Szeregi liczbowe Twierdzenie (kryterium całkowe, Maclaurina-Cauchy'ego) Jeżeli an = f(n) i funkcja f jest, nierosnąca i nieujemna na przedziale [n0, Ą), Ą Ą f (x)dx są jednocześnie zbieżne, lub jednocześnie rozbieżne. a i całka n to szereg n=n0 n0 Ą Przykład n1 a Uzasadnić zbieżność (rozbieżność) szeregu Dirichleta n=1 1 f (x) = = x-a Funkcj , spełnia warunki kryterium całkowego xa Ą b b-a+1 1 1 1 1 -a -a ) = + bĄb-a+1 = dla a >1 lim x dx = limx dx = lim(-a +1- bĄ bĄ a -1 1-a 1-a 1-a 1 1 Ą Zatem szereg jest rozbieżny dla a Ł 1 i zbieżny dla a >1 . n1 a n=1 2 Szeregi liczbowe Przykład Zbadać zbieżność szeregu Ą 1 nln n n=1 Niech 1 f (n) = nln n Funkcja 1 f (x) = xln x 1 lim = 0. dla x ł 2 jest malejąca i xĄ xln x Ponieważ Ą A A 1 1 dx = lim dx = lim ln | ln | x || = lim(ln | ln A| -ln(ln | 2|) = Ą
AĄ AĄ AĄ 2 xln x xln x 2 2 szereg jest rozbieżny (Kryteria ilorazowe i d Alemberta nie rozstrzygają zbieżności tego szeregu). 3 Szeregi liczbowe Twierdzenie (kryterium Abela) Ą b jest zbieżny, n Jeżeli (an) jest ciągiem monotonicznym i ograniczonym oraz szereg n=n0 Ą a bn jest zbieżny. n to szereg n=n0 Twierdzenie (kryterium Dirichleta) Ą b jest ograniczony i (an) jest n Jeżeli ciąg sum częściowych szeregu n=n0 Ą a bn jest zbieżny. n ciągiem monotonicznym zbieżnym do zera, to szereg n=n0 (Są i inne kryteria np. Kummera, Raabego, Gaussa) 4 Szeregi liczbowe Definicja Szeregiem naprzemiennym nazywamy szereg liczbowy postaci Ą n+1 (-1) an = a1 - a2 + a3 -...+ (-1)n+1an +..., n=k0 an ł 0 dla każdego n N. gdzie Przykład Szereg postaci Ą n+1 (-1) 1 =1- 1 + 1 - 1 +... n 2 3 4 n=1 jest przykładem szeregu naprzemiennego. Nazywamy go szeregiem anharmonicznym. 5 Szeregi liczbowe Twierdzenie (kryterium Leibniza) Ą n+1 (-1) an spełnia warunki: Jeżeli szereg naprzemienny n=k0 an 1. ciąg jest nierosnący, lim an = 0 2. nĄ , to szereg jest zbieżny. Leibniz Gottfried Wilhelm (1646-1716) Przykład 1 an = Z kryterium Leibniza wynika, że szereg anharmoniczny jest zbieżny ponieważ ciąg n jest ciągiem malejącym, dążącym do zera. 6 Szeregi liczbowe Definicja Ą a nazywamy szeregiem bezwzględnie zbieżnym, jeżeli n Szereg liczbowy n=1 Ą an (szereg wartości bezwzględnych) jest zbieżny.
szereg n=1 Definicja Szereg liczbowy, który jest zbieżny, lecz nie jest zbieżny bezwzględnie nazywamy szeregiem warunkowo zbieżnym. Twierdzenie Jeżeli szereg liczbowy jest bezwzględnie zbieżny, to jest zbieżny. Twierdzenie (Riemanna) Jeżeli szereg liczbowy jest warunkowo zbieżny, to dla każdej liczby rzeczywistej S można wyrazy szeregu tak poprzestawiać, aby suma przekształconego szeregu była równa S. 7 Szeregi liczbowe Przykład Szereg n Ą n+1
(-1) ć 3n + 4 4n + 2ł Ł n=1 jest szeregiem bezwzględnie zbieżnym, ponieważ szereg n n Ą Ą n+1 =
(-1) ć 3n + 4 ć 3n + 4 4n + 2ł n=1 Ł 4n + 2ł Ł n=1 jest szeregiem zbieżnym, co wynika z kryterium Cauchye go. n ć lim n ć 3n + 4 lim 3n + 4 = 3 <1 =
nĄ . 4n + 2ł nĄ 4n + 2 4 Ł Ł ł 8 Szeregi liczbowe Przykład Szereg Ą n+1 (-1) (n!)2 (2n)! n=1 jest szeregiem bezwzględnie zbieżnym, ponieważ szereg Ą Ą )2 n+1 (-1) (n!)2 =(n!n)! (2n)! (2 n=1 n=1 jest zbieżny, co wynika z kryterium d Alemberta. ć (n +1)2 n2 + 2n +1 1 nĄ ((n +1)!)2(2n)! n m m lim (2n + 2)!(n!)2 = liĄ (2n +1)(2n + 2) = liĄ 4n2 +6n + 2 = 4 <1. n Ł ł 9 Szeregi liczbowe Przykład Szereg anharmoniczny Ą n+1 (-1) 1 n n=1 nie jest szeregiem bezwzględnie zbieżnym, ponieważ szereg jego bezwzględnych wartości Ą Ą n+1 (-1) 1 =1 n n n=1 n=1 jest szeregiem rozbieżnym (szereg harmoniczny). Jest on zbieżny warunkowo, ponieważ spełnia kryterium Leibniza. 10 Szeregi liczbowe Przykład Ą 1 n! = e n=0 11 Ciągi funkcyjne Definicja Jeżeli dla każdego n N została przyporządkowana dokładnie jedna funkcja fn(x), to mówimy, że został określony ciąg funkcyjny f1(x), f2(x), f3(x),..., fn(x) ... Oznaczamy go ( fn(x))nN , lub ( fn(x)). Niech X N oznacza dziedzinę funkcji tworzących ciąg, zaś f funkcję określoną na X. Wówczas dla każdego x0 X wartości funkcji fn(x0) tworzą ciąg liczbowy. Definicja Ciąg funkcyjny ( fn(x)) jest zbieżny punktowo na zbiorze X do funkcji f jeśli "x X liĄ fn(x) = f (x) m n ("x X "e > 0 $n0 N "n ł n0 fn(x) - f (x) < e) . Funkcję f nazywamy funkcją graniczną lub granicą ciągu funkcyjnego. fn f fn f Zapisujemy to , lub . X 12 Ciągi funkcyjne Przykład X = R Niech , n fn(x) = x2 + n2 , wtedy początkowe wyrazy ciągu funkcyjnego są następujące: 1 f1(x) = x2 +1, 2 f2(x) = , x2 + 4 3 f3(x) = , x2 +9 13 Ciągi funkcyjne Definicja Ciąg funkcyjny ( fn(x)) jest zbieżny jednostajnie na zbiorze X do funkcji f jeśli "e > 0 $n0 N "n ł n0 "x X fn(x) - f (x) < e Twierdzenie Jeśli ciąg funkcyjny jest zbieżny jednostajnie, to jest zbieżny punktowo. Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe! Twierdzenie Jeśli ciąg funkcyjny jest zbieżny jednostajnie i funkcje fn są ciągłe, to funkcja graniczna f też jest ciągła. 14 Ciągi funkcyjne Przykład X =[0,1], Niech fn(x) = xn, nN , Funkcja graniczna ma postać 0 dla x[0,1)
f (x) = liĄ fn(x) = liĄ xn = m m 1 dla x =1 , n n
15 Ciągi funkcyjne Niech f będzie granicą ciągu funkcyjnego ( fn) na zbiorze X. Twierdzenie Jeśli funkcje f n, n N, są ciągłe i ciąg funkcyjny ( f n) jest zbieżny jednostajnie, to funkcja graniczna f jest różniczkowalna i zachodzi równość f '(x) = lim fn'(x) nĄ Twierdzenie Jeśli funkcje fn, n N, są całkowalne na przedziale [a, b] i ciąg funkcyjny ( fn) jest zbieżny jednostajnie na tym przedziale, to funkcja graniczna f jest całkowalna i zachodzi równość b b f (x)dx = lim fn(x)dx