Zadania z RP1 - 15
1. a) Dany jest ciag (Xn) niezależnych zmiennych losowych o tym samym rozkladzie takim,
że Xi " Lp dla pewnego p > 1. Udowodnić, że
X1 + X2 + . . . + Xn
EX1
n
w L1.
b) Udowodnić powyższe bez zalożenia o dodatkowej calkowalności ciagu (Xn).
2. Dany jest ciag (Xn) niezależnych zmiennych losowych, przy czym dla n e" 1 zmienna Xn
ma rozklad wykladniczy z parametrem n. Zbadać zbieżność ciagu
X1 + X2 + . . . + Xn
n
w sensie zbieżności p.n.
3. Zmienne losowe X1, X2, . . . sa niezależne, przy czym dla n e" 1 rozklad Xn zadany jest
nastepujaco:
1 1
P(Xn = 0) = 1/2, P(Xn = 1) = 1/2 - , P(Xn = n) = .
4n2 4n2
Udowodnić, że ciag
X1 + X2 + . . . + Xn
n
jest zbieżny prawie na pewno i wyznaczyć jego granice.
4. Dany jest ciag (Nn) niezależnych zmiennych losowych takich, że dla n e" 1 zmienna Nn
ma rozklad Poissona z parametrem n. Udowodnić, że (Nn/n) jest zbieżny w L1.
5. Dany jest ciag (µn) niezależnych zmiennych Rademachera. Udowodnić, że dla p > 1/2
ciag
µ1 + µ2 + . . . + µn
, n = 1, 2, . . .
np
jest zbieżny p.n. Co dla p = 1/2?
6. Dany jest ciag Z1, Z2, . . . niezależnych zmiennych losowych o tym samym rozkladzie: Zi
ma rozklad jednostajny na kole o środku w (0, 0) i promieniu 1.
a) Udowodnić, że ciag
Z1 + Z2 + . . . + Zn
, n = 1, 2, . . .
n
jest zbieżny p.n. i wyznaczyć granice.
b) Udowodnić, że ciag
||Z1|| + ||Z2|| + . . . + ||Zn||
, n = 1, 2, . . .
n
jest zbieżny p.n. i wyznaczyć granice.