Rachunek Prawdopodobieństwa MAP1151, 2009/10
Wydział Elektroniki
Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz
Listy zadań nr 3-4
Opracowanie: dr hab. Agnieszka Jurlewicz
Lista 3. Zmienne losowe dyskretne. Rozkłady Bernoulliego
(dwumianowy), Pascala, Poissona. Przybliżenie Poissona rozkładu
dwumianowego. Zmienne losowe typu ciągłego. Gęstość
prawdopodobieństwa. Rozkład jednostajny, normalny, wykładniczy.
Transformacje zmiennej losowej.
Zadanie 3.1
(a) Niech X oznacza wynik rozmowy kwalifikacyjnej w skali -1 (kandydat odrzucony), 0 (kandydat
do powtórnej rozmowy), 1 (kandydat przyjęty) z losowo wybranym kandydatem z dużej grupy
chętnych. Rozkład tej zmiennej losowej podany jest w tabeli:
n 1 2 3
xn -1 0 1
pn 2C C 0,1
Wyznacz stałą C i oblicz prawdopodobieństwo, że kandydat nie zostanie od razu odrzucony.
n
(b) Dla jakiej wartości stałej c ciąg pn = c , n = 1, 2, 3, . . ., określa rozkład pewnej zmiennej
(n + 1)!
losowej? Podać dwa różne przykłady takiej zmiennej losowej i wyliczyć dla obu prawdopodo-
bieństwo, że zmienna ta jest większa od 6,3 i mniejsza od 9,99.
1
(c) W pewnej grze wygrana X wynosi n zł z prawdopodobieństwem proporcjonalnym do ,
n!
n = 0, 1, 2, . . .. Oblicz prawdopodobieństwo wygrania co najmniej 5 zł.
(d) Punkt startuje z początku układu współrzędnych i porusza się po prostej, przy czym przesuwa
się o jednostkę w prawo z prawdopodobieństwem 0,5 i o jednostkę w lewo z prawdopodobień-
stwem 0,5 (błądzenie losowe po prostej). Poszczególne przesunięcia są niezależne. Jaki rozkład
ma zmienna losowa Y będąca położeniem cząstki po 6 ruchach?
Zadanie 3.2
(a) Wiadomo, że 2% skrzynek cytryn psuje się w czasie transportu. Z transportu w sposób losowy
pobiera się 8 skrzynek i transport ten jest odrzucany, gdy więcej niż 1 badana skrzynka zawiera
popsute owoce. Jakie jest prawdopodobieństwo odrzucenia transportu?
(b) Na podstawie pewnych badań stwierdzono, że zmienna losowa X opisująca procent zanieczysz-
czeń w próbce rudy miedzi ma rozkład o dystrybuancie
Å„Å‚
ôÅ‚ 0 dla x 0,
òÅ‚
F (x) = x2 dla 0 < x 1,
ôÅ‚
ół
1 dla x > 1.
Wybrano niezależnie pięć próbek. Wyznaczyć prawdopodobieństwo, że więcej niż dwie próbki
zawierają ponad 75% zanieczyszczeń.
1
(c) W centrali telefonicznej jest n = 20 linii. Wezwania nadchodzą niezależnie od siebie i nad-
chodzące wezwanie może zająć którąkolwiek z wolnych linii. Szansa na to, że linia jest wolna,
wynosi 0,4. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że liczba linii zajętych jest nie większa niż 4.
(d) Rzucamy dwiema kostkami do gry. Sukcesem jest wyrzucenie pary szóstek. Obliczyć prawdo-
podobieństwo, że w 10 rzutach liczba sukcesów będzie dodatnia, ale nie przekroczy 3.
(e) Szansa wygrania nagrody na loterii wynosi 0,1. W loterii uczestniczy 20 grajÄ…cych. Oblicz
prawdopodobieństwo, że wygra co najmniej jeden.
(f) Rzucamy symetryczną kostką tak długo aż wypadnie liczba oczek podzielna przez 3. Jaki roz-
kład ma zmienna losowa X oznaczająca liczbę wykonanych rzutów? Wyznaczyć prawdopodo-
bieństwo, że będzie potrzebna nieparzysta liczba rzutów.
(g) Gra polega na zarzucaniu krążków na kołek. Gracz otrzymuje ich pięć i rzuca je aż do pierwszego
celnego rzutu. Obliczyć prawdopodobieństwo, że po zarzuceniu krążka zostanie graczowi jeszcze
co najmniej jeden krążek, jeżeli prawdopodobieństwo trafienia na kołek przy każdym rzucie
wynosi 0,2.
Zadanie 3.3
(a) Prawdopodobieństwo, że dowolna osoba odpowie na przesłaną pocztą reklamę i zamówi towar,
wynosi 0,03. Reklamę wysłano do 200 osób. Obliczyć prawdopodobieństwo, że (1) dokładnie
5 osób, (2) mniej niż 5 osób przyśle zamówienia. Obliczenia wykonać metodą dokładną oraz
przybliżoną z tw. Poissona. Porównać wyniki.
(b) Przy badaniach na nosicielstwo pewnego wirusa prawdopodobieństwo natrafienia na nosiciela
wynosi 0,005. Na podstawie przybliżenia Poissona oszacować prawdopodobieństwo, że wśród
1000 badanych będzie mniej niż 4 nosicieli. Oszacować błąd przybliżenia.
(c) Licznik Geigera-Millera i z
ródło promieniowania umieszczono względem siebie tak, że szansa
zarejestrowania cząstki wynosi 0,001. W czasie obserwacji ciało radioaktywne wypromieniowało
2000 cząstek. Na podstawie przybliżenia Poissona oszacować prawdopodobieństwo zarejestrowa-
nia przez licznik (1) braku cząstek; (2) mniej niż 4 cząstek; (3) więcej niż 2 cząstek. Oszacować
błąd przybliżenia.
(d) Książkę wydano w nakładzie 5000 egzemplarzy. Szansa na to, że egzemplarz zostanie z
le opra-
wiony jest równa 0,001. Na podstawie przybliżenia Poissona oszacować prawdopodobieństwo
tego, że w nakładzie pojawią się co najmniej 3 wybrakowane oprawy.
Zadanie 3.4
Å„Å‚
òÅ‚
0 dla x 1,
c
(a) Czy można dobrać stałą c tak, aby funkcja f(x) = była gęstością pewnego
ół
dla x > 1
x2
rozkładu probabilistycznego? Odpowiedz
uzasadnić.
Å„Å‚
òÅ‚
0 dla x 1,
c
(b) Czy można dobrać stałą c tak, aby funkcja f(x) = była gęstością pewnego
ół
dla x > 1
x1/2
rozkładu probabilistycznego? Odpowiedz
uzasadnić.
Å„Å‚
ôÅ‚
0 dla x " [a, b],
/
òÅ‚
1
(c) Czy można dobrać stałe a, b tak, aby funkcja f(x) = była gęstością
ôÅ‚
dla x " [a, b]
ół
|x|
pewnego rozkładu probabilistycznego? Odpowiedz
uzasadnić.
2
Zadanie 3.5
1
(a) Funkcja f(x) = jest gęstością pewnej zmiennej losowej X.
Ä„(1 + x2)
Wyliczyć P (0, 5 X < 1, 5) i P (X -0, 5). Wyznaczyć dystrybuantę tej zmiennej losowej.

0 dla |x| 1,
(b) Dobrać stałą c tak, aby funkcja f(x) = była gęstością pewnej
c(x2 - 5) dla |x| < 1
zmiennej losowej X. Wyliczyć P (0, 5 X < 1, 5) i P (X -0, 5). Wyznaczyć dystrybuantę tej
zmiennej losowej.
Å„Å‚
ôÅ‚ cx dla 0 x 1,
òÅ‚
(c) Dobrać stałą c tak, aby funkcja f(x) = 2 - x dla 1 < x 2, była gęstością pewnej
ôÅ‚
ół
0 dla pozostałych x
zmiennej losowej X. Wyliczyć P (0, 5 X < 1, 5) i P (X 0, 75). Wyznaczyć dystrybuantę tej
zmiennej losowej.
Zadanie 3.6
Å„Å‚
ôÅ‚ 0 dla x -1/2,
òÅ‚
(a) Dobrać stałe A i B tak, aby funkcja F (x) = A + B arc sin(x) dla -1/2 < x 1/2, by-
ôÅ‚
ół
1 dla 1/2 < x
ła dystrybuantą pewnej zmiennej losowej X o rozkładzie ciągłym. Znalez
ć gęstość f(x) tego
rozkładu.

0 dla x 0,
(b) Dobrać stałe A i B tak, aby funkcja F (x) = była dystrybuantą
B
A - dla x > 0
1+x2
pewnej zmiennej losowej X o rozkładzie ciągłym. Znalez
ć gęstość f(x) tego rozkładu.
Zadanie 3.7
(a) Liczba cząstek wpadających do pewnego licznika to zmienna losowa X o rozkładzie Poissona
P(2). Definiujemy nowÄ… zmiennÄ… losowÄ… Y :

X, gdy X < 10,
Y =
10, gdy X 10.
Wyznaczyć rozkład zmiennej losowej Y .
(b) Załóżmy, że napięcie U = Umax sin Ć prądu zmiennego ma losową fazę Ć o rozkładzie jednostaj-

Ä„
nym U -Ä„ , i amplitudÄ™ Umax = 1. Znalez
ć rozkład losowego napięcia U.
2 2
(c) Bok sześcianu B ma rozkład jednostajny U(2, 9; 3, 1) cm. Sześcian wykonano z żelaza o gęstości
7,88 g/cm3. Wyznaczyć rozkład masy M tego sześcianu.
(d) Zmienna losowa X ma rozkład wykładniczy Exp(2).
Znalez
ć rozkład zmiennej losowej Y = 1 - e-2X.
(e) Niech X będzie zmienną o rozkładzie normalnym N (0, 2). Znalez
ć rozkłady zmiennych losowych

Y = |X| i Z = X2.
3
Lista 4. Wartość oczekiwana, wariancja, mediana, kwartyle
rozkładu prawdopodobieństwa. Standaryzacja rozkładu
normalnego.
Zadanie 4.1
Wyliczyć - o ile to możliwe - wartość oczekiwaną i wariancję oraz wyznaczyć medianę i kwartyle
dyskretnego rozkładu zmiennej losowej X,
n 1 2 3
(a) podanego w tabeli xn -1 0 1 .
pn 0, 6 0, 3 0,1
1 n
(b) zadanego ciÄ…giem {(xn, pn), n = 1, 2, . . .}, gdzie xn = , pn = , n = 1, 2, . . ..
n (n + 1)!
e-1
(c) gdzie X to losowa wygrana, która wynosi n zł z prawdopodobieństwem , n = 0, 1, 2, . . .,
n!
(patrz też zadanie 3.1 (c)). Czy zagrałbyś w tę grę? Odpowiedz
uzasadnij.
n 0 1 2 3 4 5 6
(d) podanego w tabeli -6 -4 -2 0 2 4 6
xn
1 6
pn 26 26 15 20 15 6 1
26 26 26 26 26
xn = n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
(e) podanego w tabeli
20947
pn e-2 2e-2 2e-2 4 e-2 2 e-2 4 e-2 4 e-2 8 e-2 2 e-2 4 e-2 1 - e-2
3 3 15 45 315 315 2835 2835
(f) gdzie X to losowa wygrana w grze, w której gracz wyciąga z talii (52 kart) trzy karty (bez
zwracania) i jeśli są to 3 asy, wygrywa 100 zł. Jeśli są wśród nich dokładnie 2 asy, gracz
wygrywa 50 zł. Jeśli są to 3 figury, gracz wygrywa 10 zł, a w pozostałych przypadkach płaci
1 zł (patrz zadanie 2.1 (a)). Czy zagrałbyś w tę grę? Odpowiedz
uzasadnij.
Zadanie 4.2
Wyliczyć - o ile to możliwe - wartość oczekiwaną i wariancję oraz wyznaczyć medianę i kwartyle
ciągłego rozkładu zmiennej losowej X

0 dla |x| 1,
(a) o gęstości f(x) = .
3
- (x2 - 5) dla |x| < 1.
28
Å„Å‚
ôÅ‚ x dla 0 x 1,
òÅ‚
(b) o gęstości f(x) = 2 - x dla 1 < x 2,
ôÅ‚
ół
0 dla pozostałych x.
1
(c) o gęstosci f(x) = .
Ä„(1 + x2)

"
(3/Ä„)/ 1 - x2 dla - 1/2 < x < 1/2,
(d) o gęstości f(x) =
0 poza tym.

0 dla x 0,
(e) o gęstości f(x) =
2x
dla x > 0.
(1+x2)2
Å„Å‚
ôÅ‚ 0 dla x 0,
òÅ‚
(f) o dystrybuancie F (x) = x2 dla 0 < x 1,
ôÅ‚
ół
1 dla x > 1
4
Zadanie 4.3
(a) Wyliczyć - o ile to możliwe - wartość oczekiwaną i wariancję napięcia U = Umax sin Ć prądu

Ä„
zmiennego, które ma losową fazę Ć o rozkładzie jednostajnym U -Ą , i amplitudę Umax = 1.
2 2
Wykorzystać przy tym rozkład losowej fazy Ć.
(b) Bok sześcianu B ma rozkład jednostajny U(2, 9; 3, 1) cm. Sześcian wykonano z żelaza o gęstości
7,88 g/cm3. Wyliczyć - o ile to możliwe - wartość oczekiwaną i wariancję losowej masy M tego
sześcianu, wykorzystując rozkład losowego boku B.
(c) Wyliczyć - o ile to możliwe - wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej Y = 1 - e-2X,
gdzie X ma rozkład wykładniczy Exp(2). Wykorzystać przy tym rozkład zmiennej losowej X.
Zadanie 4.4
(a) Błąd pomiaru długości śruby ma standardowy rozkład normalny. Znalez
ć prawdopodobieństwo,
że błąd zawarty będzie w przedziale [0; 0,25], [-1,2; 1,2], [-2,31; 1,78].
(b) Długość produkowanych detali ma rozkład N (2; 0, 02). Norma przewiduje wyroby o wymiarach
2 ą 0, 05. Jaki procent produkowanych detali spełnia wymogi normy?
(c) Asystent prowadzący zajęcia ze statystyki przychodzi do sali na ogół 1 minutę przed wyznaczo-
ną godziną rozpoczęcia zajęć. Zakładając, że czas przyjścia jest zmienną losową o rozkładzie
normalnym z à = 10 minut, okreÅ›lić, jakie jest prawdopodobieÅ„stwo spóz
nienia siÄ™ tego asy-
stenta na zajęcia o więcej niż 15 minut.
5
Odpowiedzi i wskazówki:
Lista nr 3:
3.1 (a) C = 0, 3; P (X = -1) = 0, 4; (b) c = 1, przykład 1: xn = n dla n = 2, 3, 4, . . ., szuka-

719
ne prawd. to wtedy H" 0, 000198, przykład 2: xn = 12 + n2 dla n = 2, 3, 4, . . ., szukane
10!
c 65
prawd. to 0; (c) xn = n, pn = z c = e-1, n = 0, 1, . . .; P (X 5) = 1 - H" 0, 0037;
n! 24e
k 0 1 2 3 4 5 6
yk -6 -4 -2 0 2 4 6
(d)
1 6 15 20 15 6 1
pk 26
26 26 26 26 26 26
= 0, 015625 0, 09375 0, 234375 0, 3125 0, 234375 0, 09375 0, 015625
7 1174·73
3.2 (a) 1 - 1, 14 · (0, 98)7 H" 0, 0103; (b) p = , szukane prawd. wynosi H" 0, 384;
16 165
216·461341 357·13945
(c) H" 0, 0003; (d) H" 0, 2454; (e) 1 - (0, 9)20 H" 0, 8784;
520 3610

1
(f) X ma rozkład Geo , szukane prawd. to 0,6; (g) 0,5904.
3
wzory dokładne z tw. Poissona
3.3 (a) (1) 0,1622 0,1606 ; (b) 0,2650; błąd przybl. nie przekracza 0,025;
(2) 0,2810 0,2851
(c) (1) 0,1353; (2) 0,8571; (3) 0,3233; błąd przybl. nie przekracza 0,002;
(d) 0,8754; błąd przybl. nie przekracza 0,005.
3.4 (a) tak, c = 1; (b) nie, caÅ‚ka nie jest zbieżna; (c) tak, a > 0 i b = e · a albo a < 0 i b = e-1 · a.
1
3.5 (a) P (0, 5 X < 1, 5) = (arctg(1, 5) - arctg(0, 5)) H" 0, 162
Ä„
1 1 1 1
P (X 2, 5) = 1 - (Ä„ arctg(2, 5) + ) H" 0, 12, F (x) = arctgx + ;
2 Ä„ 2
Å„Å‚
0 dla x < -1,
ôÅ‚
òÅ‚
3 x(15-x2)
1
(b) c = - , F (x) =
+ dla -1 x < 1,
28
28 2
ôÅ‚
ół
1 dla 1 x,
53 171
P (0, 5 X < 1, 5) = H" 0, 2366, P (X -0, 5) = H" 0, 7634;
224 224
Å„Å‚
ôÅ‚
0 dla x 0,
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚ x2
dla 0 < x 1,
2
(c) c = 1, F (x) =
x2
ôÅ‚
2x
ôÅ‚ - 1 - dla 1 < x 2,
ôÅ‚ 2
ôÅ‚
ół
1 dla 2 < x,
23
P (0, 5 X < 1, 5) = 0, 75, P (X 0, 75) = = 0, 71875;
32

3
"
dla - 1/2 < x < 1/2,
1 3
Ä„ 1-x2
3.6 (a) A = , B = , f(x) =
2 Ä„
0 poza tym,

0 dla x 0,
(b) A = B = 1; f(x) =
2x
dla x > 0
(1+x2)2
yk = k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
20947
3.7 (a)
pk e-2 2e-2 2e-2 4 e-2 2 e-2 4 e-2 4 e-2 8 e-2 2 e-2 4 e-2 1 - e-2
3 3 15 45 315 315 2835 2835
H" 0,1354 0,2707 0,2707 0,1804 0,0902 0,0361 0,012 0,0034 0,0009 0,0002 0,0001
(wartości pk w przybliżeniu na podstawie tablic rozkładu Poissona);

0, gdy u " (-1, 1),
/
(b) U ma rozkład o gęstości fU(u) =
1
"
, gdy u " (-1, 1);
Ä„ 1-u2
5·(7,88)-1/3
m-2/3, gdy m " [193, 18532; 234, 75308],
3
(c) M ma rozkład o gęstości fM(m) =
0, poza tym,
6
(d) Y ma rozkład jednostajny U(0, 1);
Å„Å‚
òÅ‚
0, gdy y 0,
1 1
(e) Y ma rozkład o gęstości fY (y) = y4 Z ma rozkład gamma G , .
8 2
ół
"4 8
ye- , gdy y > 0,
8Ä„
Lista nr 4:
4.1 (a) EX = -0, 5, D2X = 0, 45, x0,5 = -1, x0,25 = -1, x0,75 = 0;
(b) EX = e - 1 H" 1, 7183, D2X = e(3 - e) H" 5, 4366, x0,5 - dowolna liczba z przedziału [1, 2),
x0,25 = 1, x0,75 = 2;
(c) EX = 1, D2X = 1, x0,5 = 1, x0,25 = 0, x0,75 = 2;
(d) EY = 0, D2Y = 6, y0,5 = 0, y0,25 = -2, x0,75 = 2;
167584 1833034
(e) EY = 10 - H" 1, 9999, D2Y = 100 - - (EY )2 H" 8, 496, y0,5 = 2, y0,25 = 1,
2835e2 2835e2
y0,75 = 3;
1108640316
(f) EX = -1147 H" -0, 21 zł, D2X = H" 36, 32, x0,5 = -1, x0,25 = -1,
5525 (5525)2
x0,75 = -1.
11
4.2 (a) EX = 0, D2X = H" 0, 3143, x0,5 = 0, x0,25 H" -0, 46875 (jest to rozwiązanie równania
35
x3 - 15x - 7 = 0 należące do przedziału (-1, 1)), x0,75 = -x0,25 H" 0, 46875 (jest to rozwiązanie
równania x3 - 15x + 7 = 0 należące do przedziału (-1, 1));
" "
1 2 2
(b) EX = 1, D2X = , x0,5 = 1, x0,25 = H" 0, 7071, x0,75 = 2 - H" 1, 2929;
6 2 2
(c) EX nie istnieje, D2X nie jest zdefiniowana, x0,5 = 0, x0,25 = -1, x0,75 = 1;
"
2Ä„-3 3 Ä„
(d) EX = 0, D2X = H" 0, 0865, x0,5 = 0, x0,25 = - sin H" -0, 2588,
4Ä„ 12
Ä„
x0,75 = sin H" 0, 2588;
12
"
"
Ä„ 3
(e) EX = H" 1, 5708, D2X = ", x0,5 = 1, x0,25 = H" 0, 5773, x0,75 = 3 H" 1, 7320;
2 3
" "
2 1 2 1 3
(f) ER = , D2X = , x0,5 = H" 0, 7071, x0,25 = , x0,75 = H" 0, 8660.
3 18 2 2 2
7,88·5(3,14-2,94)
1
4.3 (a) EU = 0, D2U = ; (b) EM = H" 213 g,
2 4
7,882·5(3,17-2,97)
D2M = - (EM)2 H" 151 g2;
7
1 1
(c) EY = , D2Y = .
2 12
4.4 (a) odpowiednio 0,0987; 0,7698; 0,9521; (b) 98,76%; (c) 0,0548.
7