3. PA
ASKI STAN NAPR
ŻENIA I ODKSZTAA
CENIA 1
3. ����Ł�
3. PA
ASKI STAN NAPR
ŻENIA I ODKSZTAA
CENIA
Analizując płaski stan naprężenia posługujemy się składowymi tensora naprężenia w postaci wektora
�ą= �ąx ,�ą ,�ąxy (3.1)
{ }
y
Za dodatnie składowe uznajemy te, których zwroty są ze składowymi jak pokazano na rysunku:
�ąy
�ąyx
�ąxy
�ąx �ąx
�ąxy
�ąyx
y
�ąy
x
Rys. 3.1. Znakowanie składowych naprężeń
Wartości składowych wektora naprężenia w stosunku do układu obróconego o kąt �ą zapisujemy:
(3.2)
�ąx ,=�ąx cos2�ą�ą�ąy sin2�ą�ą2�ąxy sin �ą cos�ą
(3.3)
�ąy ,=�ąxsin2�ą�ą�ąy cos2�ą-2�ąxy sin �ą cos�ą
(3.4)
�ąx ' y '=-śą�ąx-�ą źąsin �ą cos�ą�ą�ąxyśącos2 �ą-sin2�ąźą
y
lub krócej w postaci macierzowej
�ą '=T �ą (3.5)
�ą
gdzie wektory �ą ' i �ą opisują stan naprężenia odniesiony odpowiednio do układu współrzędnych
obróconych i wyjściowych.
Macierz transformacji zapisujemy w postaci:
J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak AlmaMater
3. PA
ASKI STAN NAPR
ŻENIA I ODKSZTAA
CENIA 2
c2 s2 2 sc
T = (3.6)
s2 c2 -2 sc
�ą
[ ]
-sc sc c2 -s2
Wygodnie jest przedstawić te zależności wykorzystując wzory na kąty podwójne. Otrzymamy
wówczas
�ąx�ą�ąy �ąx-�ą
y
(3.7)
�ąx ,= �ą cosśą2�ąźą�ą�ąxy sin śą2�ąźą
2 2
�ąx�ą�ą �ąx-�ąy
y
(3.8)
�ą ,= - cosśą2�ąźą-�ąxy sinśą2�ąźą
y
2 2
�ąx-�ąy
(3.9)
�ąx ' y '=- sin śą2�ąźą�ą�ąxy cosśą2�ąźą
2
Muszą być oczywiście spełnione warunki, które nazywamy warunkami niezmienniczości lub krócej
niezmiennikami, które zapiszemy następująco:
�ąx�ą�ąy=�ąx '�ą�ą =const. (3.10)
y '
(3.11)
�ąx�ąy-�ą2 =�ąx ' �ąy '-�ą2 ' y '=const.
xy x
Aby znalez
ć kierunki osi głównych naprężeń i ekstremalne naprężenia główne należy obliczyć
ekstremum równania (3.7) względem kąta �ą . Po zróżniczkowaniu i przyrównaniu do zera otrzymamy:
2�ąxy
tg śą2�ągłźą= (3.12)
�ąx-�ą
y
2
�ąx�ą�ą �ąx-�ąy
y
(3.13)
�ąI , II= ą �ą�ą2
xy
śą źą
2 2
ćą
Ćą/4
Maksymalne naprężenia ścinające odniesione są do układu współrzędnych obróconego o kąt w
stosunku do układu osi głównych. Te wartości wynoszą:
2
�ąx�ą�ąy
(3.14)
�ą' = �ą�ą2
MAX xy
śą źą
2
ćą
Jeśli będziemy mówić o stanie odkształcenia, będziemy posługiwać się wektorem opisującym
składowe odniesione do układu (x0y) w postaci:
J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak AlmaMater
3. PA
ASKI STAN NAPR
ŻENIA I ODKSZTAA
CENIA 3
�ą= �ąx �ąy ąąxy (3.15)
{ }
Zależności geometryczne nazywane związkami Cauchy'ego przy użyciu opisu przemieszczeń u i v,
odpowiednio w kierunkach osi x i y, wyrażone będą w postaci:
" u " v " u " v
�ąx= �ąy= ąąxy= �ą (3.16)
" x " y " y " x
Związki pomiędzy przemieszczeniami a odkształceniami pokazano na rysunku poniżej:
"u
dy
" y
" v
v�ą dy
" y
" u
dy " y
" v
dx
" v
" x
v
y,v " x " u
u�ą dx
u
" x
dx
x,u
Rys. 3.2. Przemieszczenia i odkształcenia dla elementu płaskiego
W zapisie macierzowym związki (3.16) można przedstawić następująco
�ą=Lu (3.17)
gdzie wektor , natomiast macierz L jest operatorem różniczkowym, który dla problemu
u=[u , v]T
dwuwymiarowego przyjmuje postać:
"
0
" x
"
(3.18)
L= 0
" y
" "
[ ]
" y " x
W płaskim stanie naprężenia (płaszczyzna x0y) niektóre składowe tego stanu są równe zeru:
J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak AlmaMater
3. PA
ASKI STAN NAPR
ŻENIA I ODKSZTAA
CENIA 4
�ąz=0
�ąxz=0
(3.19)
�ąyz=0
Co pociąga również za sobą fakt, że niektóre składowe odkształceń są równe zeru:
ąąxz=0
(3.20)
ąąyz=0
a wartość �ąz`"0
Odpowiednie zależności przedstawiają się następująco
1
�ąx= �ąx-�ą�ą
śą źą
y
E
(3.21)
1
�ąy= �ą -�ą�ąx
śą źą
y
E
2śą1�ą�ąźą
1
ąąxy= �ąxy= �ąxy
G E
(3.22)
�ą
�ąz=- �ąx�ą�ą�ą
śą źą
y
E
lub w postaci relacji odwrotnej
E
�ąx= �ąx�ą�ą�ąy
śą źą
1-�ą2
(3.23)
E
�ąy= �ąy�ą�ą�ąx
śą źą
1-�ą2
E �ą
E
�ąxy= ąąxy= ąąxy
(3.24)
2śą1�ą�ąźą
1-�ą2
1 -�ą
gdzie �ą=
2
Powyższe zależności można zapisać macierzowo w postaci
�ą=C �ą (3.25)
J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak AlmaMater
3. PA
ASKI STAN NAPR
ŻENIA I ODKSZTAA
CENIA 5
gdzie
1 -�ą 0
1
C= -�ą 1 0 (3.26)
E
[ ]
0 0 2śą1�ą�ąźą
lub odwrotnie
�ą=D �ą (3.27)
gdzie
1 �ą 0
E
D=C-1=
�ą 1 0 (3.28)
1-�ą2 0 0 �ą
[ ]
W płaskim stanie odkształcenia następujące składowe są równe zeru:
�ąz=0
ąąxz=0
ąąyz=0 (3.29)
�ąxz=0
�ąyz=0
natomiast
�ąz`"0 (3.30)
Odpowiednie zależności fizyczne przedstawiają się następująco
1
�ąx= �ąx-�ą�ą -�ą�ąz
śą źą
y
E
(3.31)
�ąy=1 �ąy-�ą�ąx-�ą�ąz
śą źą
E
2śą1�ą�ąźą
(3.32)
ąąxy= �ąxy
E
oraz
J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak AlmaMater
3. PA
ASKI STAN NAPR
ŻENIA I ODKSZTAA
CENIA 6
1
�ąz= -�ą�ąx-�ą�ą �ą�ąz =0 (3.33)
śą źą
y
E
skąd
(3.34)
�ąz=�ą �ą �ą�ąx
śą źą
y
Podstawiając powyższy rezultat do wzorów (3.31) i (3.32) otrzymamy ostatecznie
1�ą�ą
(3.35)
�ąx= śą1-�ąźą�ąx-�ą�ąy
[ ]
E
1�ą�ą
(3.36)
�ąy= śą1-�ąźą�ą -�ą�ąx
[ ]
y
E
2śą1�ą�ąźą
(3.37)
ąąxy= �ąxy
E
lub odwracając zależności:
E
�ąx= śą1-�ąźą�ąx-�ą�ąy (3.38)
[ ]
śą1�ą�ąźąśą1-2�ąźą
E
�ą = śą1-�ąźą�ąy-�ą�ąx (3.39)
[ ]
y
śą1�ą�ąźąśą1-2�ąźą
E
�ąxy= ąąxy (3.40)
2śą1�ą�ąźą
W zapisie macierzowym zapiszemy:
1-�ą -�ą 0
1�ą�ą
C= -�ą 1-�ą 0
(3.41)
E
[ ]
0 0 2
oraz
1-�ą �ą 0
E �ą 1-�ą 0
D=C-1= (3.42)
śą1�ą�ąźąśą1-2 �ąźą 1-2 �ą
[ 0 0 ]
2
J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak AlmaMater