1. Obecność na wykÅ‚adach, ćwiczeniach i projektach jest obowiÄ…zkowa 2. Na ćwiczeniach i projektach obowiÄ…zuje znajomość materiaÅ‚u przedstawianego na wykÅ‚adach 3. Zasady zaliczenia ćwiczeÅ„: -trzy sprawdziany po 5 punktów: 14-15p bdb 13p pdb 11-12p db 10p ddb 8p dst <8p brak zaliczenia ćwiczeÅ„. Każdy sprawdzian można raz poprawić: obowiÄ…zuje wtedy liczba punktów z poprawy. 4. Warunkiem koniecznym dopuszczenia do egzaminu jest zaliczenie ćwiczeÅ„ i projektów 5. Osoby, które przed koÅ„cem semestru uzyskajÄ… z ćwiczeÅ„ i projektów oceny co najmniej dobre, zostajÄ… zwolnione z egzaminu Podstawowe twierdzenia o energii sprężystej I. Praca siÅ‚ uogólnionych siÅ‚a uogólniona F - siÅ‚a lub moment przemieszczenie uogólnione u - droga (liniowa lub kÄ…towa) na której siÅ‚a uogólniona wykonuje pracÄ™ dL =ð Fdu elementarna praca siÅ‚y uogólnionej: 1 caÅ‚kowita praca siÅ‚y uogólnionej: L =ð Fdu =ð Fu òð 2 ZaÅ‚ożenie: rozważamy ukÅ‚ad Clapeyrona (ukÅ‚ad liniowo-sprężysty), tzn. ukÅ‚ad, w którym uogólnione przemieszczenia sÄ… liniowymi funkcjami uogólnionych siÅ‚ 1 u =ð cF, F =ð u =ð ku c sztywność podatność L =ð Fdu caÅ‚kowita praca siÅ‚y uogólnionej: 1) òð 1 = U L =ð kudu=ð ku2 2) òð 2 1 3) L =ð cFdF =ð cF2 òð 2 przypadek ogólny: na ukÅ‚ad liniowo-sprężysty dziaÅ‚a n uogólnionych siÅ‚ Fj, j =ð1,2,..., n ukÅ‚ad liniowo-sprężysty => można stosować zasadÄ™ superpozycji n ìð n ìðF =ð k11u1 +ð k12u2 +ð.... +ð k1nun =ð åðk1 u 1 åðc Fj 1 j ïðu =ð c11F1 +ð c12F2 +ð....+ð c1nFn =ð 1 j j ïð j=ð1 j=ð1 ïð ïð n n ïð ïðF2 =ð k21u1 +ð k22u2 +ð .... +ð k2nun =ð åðk2 juj ïð ïðu =ð c21F1 +ð c22F2 +ð....+ð c2nFn =ð 2 åðc Fj 2 j j=ð1 íð j=ð1 íð ïðMð ïðMð ïð ïð n n ïðFn =ð kn1u1 +ð kn2u2 +ð .... +ð knnun =ð åðknju j ïð ïð n åðc Fj j=ð1 ïðu =ð cn1F1 +ð cn2F2 +ð....+ð cnnFn =ð nj îð j=ð1 îð n u2 =ð c21F1 +ð c22F2 +ð....+ð c2nFn =ð åðc Fj 2 j j=ð1 2 ®ð i n n n ui=ð cijFj =ð uij , Fi =ð kijuj åð åð åð j=ð1 j=ð1 j=ð1 ui - przemieszczenie uogólnione w miejscu i wywoÅ‚ane dziaÅ‚aniem wszystkich Fj, j =ð 1,2,..., n siÅ‚ uogólnionych Fj uij - przemieszczenie uogólnione w miejscu i wywoÅ‚ane dziaÅ‚aniem jednej siÅ‚y cij - przemieszczenie uogólnione w miejscu i wywoÅ‚ane dziaÅ‚aniem jednostkowej siÅ‚y w miejscu j praca ukÅ‚adu n siÅ‚ uogólnionych: n n n n n 1 1 1 Lz =ð Fiui =ðU =ð cijFiFj =ð kijuiuj åð åð åð åð åð wzór Clapeyrona 2 i=ð1 2i=ð1 j=ð1 2 i=ð1 j=ð1 II. Twierdzenie Bettiego faza I 1 LIz =ð F1u11 2 u11 u21 faza II 1 LII =ð F1u12 +ð F2u22 z 2 u22 caÅ‚kowita praca: 1 1 u12 Lz =ð LIz +ð LII =ð F1u11 +ð F2u22 +ð F1u12 z 2 2 faza I 1 LIz =ð F2u22 2 u12 u22 faza II 1 LII =ð F1u11 +ð F2u21 z 2 caÅ‚kowita praca: u21 u11 1 1 Lz =ð LIz +ð LII =ð F1u11 +ð F2u22 +ð F2u21 z 2 2 proces adiabatyczny => praca wykonana przy przejÅ›ciu z jednego stanu do drugiego nie zależy od sposobu przejÅ›cia 1 1 1 1 F1u11 +ð F2u22 +ð F1u12 =ð F1u11 +ð F2u22 +ð F2u21 2 2 2 2 F1u12 =ð F2u21 Twierdzenie Bettiego (o wzajemnoÅ›ci prac): praca siÅ‚ uogólnionych jednego ukÅ‚adu na odpowiadajÄ…cych im przemieszczeniach uogólnionych wywoÅ‚anych drugim ukÅ‚adem jest równa pracy siÅ‚ uogólnionych drugiego ukÅ‚adu na odpowiadajÄ…cych im przemieszczeniach wywoÅ‚anych przez ukÅ‚ad pierwszy III. Twierdzenie Maxwella z twierdzenia Bettiego => Fiuij =ð Fjuji uij=ð cijFj, u =ð cjiFi ji FicijFj =ð FjcjiFi cij =ð cji Twierdzenie Maxwella (o wzajemnoÅ›ci przemieszczeÅ„): przemieszczenie cij w miejscu i kierunku dziaÅ‚ania siÅ‚y uogólnionej Fi wywoÅ‚ane jednostkowÄ… siÅ‚Ä… uogólnionÄ… Fj, jest równe przemieszczeniu cji w miejscu i kierunku dziaÅ‚ania siÅ‚y Fj, wywoÅ‚anemu siÅ‚Ä… jednostkowÄ… Fi. IV. Twierdzenie Castigliano twierdzenie Eulera: jeÅ›li F(x1,x2,...,xn) jest funkcjÄ… jednorodnÄ… m-tego stopnia, to dla tej funkcji zachodzi: Å›ðF Å›ðF Å›ðF mF (x1, x2,..., xn ) =ð x1 +ð x2 +ð... +ð xn Å›ðx1 Å›ðx2 Å›ðxn n n n n 1 1 wzór Clapeyrona: U =ð cijFiFj =ð kijuiuj åð åð åð åð 2 i=ð1 j=ð1 2 i=ð1 j=ð1 n n n 1 Å›ðU Å›ðU Å›ðU Å›ðU 2 Fiui =ð F1 +ð F2 +ð... +ð Fn Þð Fiui =ð Fi åð åð åð 2 i=ð1 Å›ðF1 Å›ðF2 Å›ðFn i=ð1 i=ð1 Å›ðFi Å›ðU Å›ðU Fi =ð ui =ð Å›ðui Å›ðFi Å›ðU Å›ðU Fi =ð ui =ð Å›ðui Å›ðFi Twierdzenie Castigliano: Pochodna czÄ…stkowa caÅ‚kowitej energii sprężystej ukÅ‚adu Clapeyrona wzglÄ™dem dowolnej niezależnej siÅ‚y uogólnionej jest równa przemieszczeniu uogólnionemu w miejscu i na kierunku dziaÅ‚ania tej siÅ‚y. Pochodna czÄ…stkowa caÅ‚kowitej energii sprężystej ukÅ‚adu Clapeyrona po dowolnym przemieszczeniu uogólnionym jest równa sile uogólnionej przyÅ‚ożonej w miejscu i na kierunku tego przemieszczenia. IV. Twierdzenie Menabrei Hi- reakcja hiperstatyczna Å›ðU =ð 0 Å›ðHi Twierdzenie Menabrei: Pochodna czÄ…stkowa caÅ‚kowitej energii sprężystej ukÅ‚adu Clapeyrona wzglÄ™dem uogólnionej siÅ‚y hiperstatycznej jest równa zero.