Wykład Energia


1. Obecność na wykładach, ćwiczeniach i projektach jest obowiązkowa
2. Na ćwiczeniach i projektach obowiązuje znajomość materiału
przedstawianego na wykładach
3. Zasady zaliczenia ćwiczeń:
-trzy sprawdziany po 5 punktów:
14-15p  bdb
13p  pdb
11-12p  db
10p  ddb
8p  dst
<8p brak zaliczenia ćwiczeń.
Każdy sprawdzian można raz poprawić: obowiązuje wtedy liczba punktów z
poprawy.
4. Warunkiem koniecznym dopuszczenia do egzaminu jest zaliczenie
ćwiczeń i projektów
5. Osoby, które przed końcem semestru uzyskają z ćwiczeń i projektów
oceny co najmniej dobre, zostajÄ… zwolnione z egzaminu
Podstawowe twierdzenia o energii
sprężystej
I. Praca sił uogólnionych
siła uogólniona F - siła lub moment
przemieszczenie uogólnione u - droga (liniowa lub kątowa)
na której siła uogólniona wykonuje
pracÄ™
dL =ð Fdu
elementarna praca siły uogólnionej:
1
caÅ‚kowita praca siÅ‚y uogólnionej: L =ð Fdu =ð Fu
òð
2
Założenie: rozważamy układ Clapeyrona (układ liniowo-sprężysty), tzn. układ,
w którym uogólnione przemieszczenia są liniowymi funkcjami
uogólnionych sił
1
u =ð cF, F =ð u =ð ku
c
sztywność
podatność
L =ð Fdu
całkowita praca siły uogólnionej: 1)
òð
1
= U
L =ð kudu=ð ku2
2)
òð
2
1
3)
L =ð cFdF =ð cF2
òð
2
przypadek ogólny: na układ liniowo-sprężysty działa
n uogólnionych sił
Fj, j =ð1,2,..., n
układ liniowo-sprężysty => można stosować zasadę superpozycji
n
ìð
n
ìðF =ð k11u1 +ð k12u2 +ð.... +ð k1nun =ð åðk1 u
1 åðc Fj
1 j
ïðu =ð c11F1 +ð c12F2 +ð....+ð c1nFn =ð
1 j j
ïð
j=ð1
j=ð1
ïð
ïð
n
n
ïð
ïðF2 =ð k21u1 +ð k22u2 +ð .... +ð k2nun =ð åðk2 juj
ïð
ïðu =ð c21F1 +ð c22F2 +ð....+ð c2nFn =ð
2 åðc Fj
2 j
j=ð1
íð
j=ð1
íð
ïðMð
ïðMð
ïð
ïð
n
n
ïðFn =ð kn1u1 +ð kn2u2 +ð .... +ð knnun =ð åðknju j
ïð
ïð
n åðc Fj j=ð1
ïðu =ð cn1F1 +ð cn2F2 +ð....+ð cnnFn =ð nj
îð
j=ð1
îð
n
u2 =ð c21F1 +ð c22F2 +ð....+ð c2nFn =ð
åðc Fj
2 j
j=ð1
2 ®ð i
n n n
ui=ð cijFj =ð uij , Fi =ð kijuj
åð åð åð
j=ð1 j=ð1 j=ð1
ui - przemieszczenie uogólnione w miejscu  i wywołane działaniem wszystkich
Fj, j =ð 1,2,..., n
sił uogólnionych
Fj
uij - przemieszczenie uogólnione w miejscu  i wywołane działaniem jednej siły
cij - przemieszczenie uogólnione w miejscu  i wywołane działaniem
jednostkowej siły w miejscu  j
praca układu n sił uogólnionych:
n n n n n
1 1 1
Lz =ð Fiui =ðU =ð cijFiFj =ð kijuiuj
åð åð åð åð åð
wzór Clapeyrona
2 i=ð1 2i=ð1 j=ð1 2 i=ð1 j=ð1
II. Twierdzenie Bettiego
faza I
1
LIz =ð F1u11
2
u11
u21
faza II
1
LII =ð F1u12 +ð F2u22
z
2
u22
całkowita praca:
1 1
u12
Lz =ð LIz +ð LII =ð F1u11 +ð F2u22 +ð F1u12
z
2 2
faza I
1
LIz =ð F2u22
2
u12
u22
faza II
1
LII =ð F1u11 +ð F2u21
z
2
całkowita praca:
u21
u11
1 1
Lz =ð LIz +ð LII =ð F1u11 +ð F2u22 +ð F2u21
z
2 2
proces adiabatyczny => praca wykonana przy przejściu z jednego stanu do drugiego
nie zależy od sposobu przejścia
1 1 1 1
F1u11 +ð F2u22 +ð F1u12 =ð F1u11 +ð F2u22 +ð F2u21
2 2 2 2
F1u12 =ð F2u21
Twierdzenie Bettiego (o wzajemności prac):
praca sił uogólnionych jednego układu na odpowiadających im przemieszczeniach
uogólnionych wywołanych drugim układem jest równa pracy sił uogólnionych
drugiego układu na odpowiadających im przemieszczeniach wywołanych przez
układ pierwszy
III. Twierdzenie Maxwella
z twierdzenia Bettiego =>
Fiuij =ð Fjuji
uij=ð cijFj, u =ð cjiFi
ji
FicijFj =ð FjcjiFi
cij =ð cji
Twierdzenie Maxwella (o wzajemności przemieszczeń):
przemieszczenie cij w miejscu i kierunku działania siły uogólnionej Fi wywołane
jednostkową siłą uogólnioną Fj, jest równe przemieszczeniu cji w miejscu i kierunku
działania siły Fj, wywołanemu siłą jednostkową Fi.
IV. Twierdzenie Castigliano
twierdzenie Eulera: jeśli F(x1,x2,...,xn) jest funkcją jednorodną
m-tego stopnia, to dla tej funkcji zachodzi:
Å›ðF Å›ðF Å›ðF
mF (x1, x2,..., xn ) =ð x1 +ð x2 +ð... +ð xn
Å›ðx1 Å›ðx2 Å›ðxn
n n n n
1 1
wzór Clapeyrona: U =ð cijFiFj =ð kijuiuj
åð åð åð åð
2 i=ð1 j=ð1 2 i=ð1 j=ð1
n n n
1 Å›ðU Å›ðU Å›ðU Å›ðU
2 Fiui =ð F1 +ð F2 +ð... +ð Fn Þð Fiui =ð Fi
åð åð åð
2 i=ð1 Å›ðF1 Å›ðF2 Å›ðFn i=ð1 i=ð1 Å›ðFi
Å›ðU
Å›ðU
Fi =ð
ui =ð
Å›ðui
Å›ðFi
Å›ðU
Å›ðU
Fi =ð
ui =ð
Å›ðui
Å›ðFi
Twierdzenie Castigliano:
Pochodna cząstkowa całkowitej energii sprężystej układu Clapeyrona względem
dowolnej niezależnej siły uogólnionej jest równa przemieszczeniu uogólnionemu
w miejscu i na kierunku działania tej siły.
Pochodna cząstkowa całkowitej energii sprężystej układu Clapeyrona po dowolnym
przemieszczeniu uogólnionym jest równa sile uogólnionej przyłożonej w miejscu i
na kierunku tego przemieszczenia.
IV. Twierdzenie Menabrei
Hi- reakcja hiperstatyczna
Å›ðU
=ð 0
Å›ðHi
Twierdzenie Menabrei:
Pochodna cząstkowa całkowitej energii sprężystej układu Clapeyrona względem
uogólnionej siły hiperstatycznej jest równa zero.


Wyszukiwarka