Kartezjański układ współrzędnych Kartezjański układ współrzędnych
y
A = Ax + Ay
Ax = Ax Å"iĆ
Ay
A
x
5

j
¸
¸
Ć
Ay = Ay Å"iĆ
= Å"
Ax
iĆ
Ax = Acos(¸ )
A = Ax Å"iĆ + Ay 5

Ay = Asin(¸ )
A = Acos(¸ )iĆ + Asin(¸ ) 5
= AxiĆ + Ay 5

2 2
A = A = Ax + Ay
Dodawanie wektorów - podsumowanie
A = axiĆ + ay 5
B = bxiĆ + by 5

A + B = ax + bx i + ay + by 5

1) ( )Ć
( )
A - B = ax - bx i + ay - by 5

( )Ć
( )
2)
3) k dowolna liczba rzeczywista
kA = kaxiĆ + kay 5

Ax = Ax Å"i
R = A + B
4)
A + B = B + A
Ay = Ay Å" j
Rx = Ax + Bx i
( )
k(A + B) = kA + kB
Ry = Ay + By j
( )
R = Ax + Bx i + Ay + By j
( )
( )
Wektor jednostkowy kierunku
y
Wyznaczamy taki, że
n
F1x = F1 cos60 = 0.5F1
A = n Å" A F1y = F1 sin 60 = 3 / 2 F1
( )
R
2 2
F2 x = F2 cos30 = 3 / 2 F2
A = A = Ax + Ay ( )
Ay
Ay x y
A
A
x
F2 y = -F2 sin 30 = -0.5F2
j
¸
1
n = A
Ax
i
A
ëÅ‚
R = 0.5F1 + 3 / 2F2 öÅ‚i + 3 / 2F1 - 0.5F2 j
( )
ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
Ay
Ax
n = iĆ + 5

2
2 2 2 2
2
ëÅ‚0.5F + 3 / 2F2 öÅ‚
Ax + Ay Ax + Ay
R = + 3 / 2F1 - 0.5F2
( )
1
ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
Iloczyn skalarny dwu wektorów
Iloczyn skalarny dwu wektorów
w = a Å"b = a Å" b cos " a,b
( )
Twierdzenia
s
a = axi + ay j ; b = bxi + by j
Niech1)
a Å"b = a b + a b
a Å"b = axbx + ayby
to
Wykonana praca :
2)
Własności: a(b + c) = ab + ac
W = T Å" s Å"cosĆ
3)
ab = ba
W = T Å" s
4)
jeżeli a Ä„"b to a Å"b = 0
Rzut wektora
Przykład. Kąt pomiędzy wektorami
c = a cos Ć = a Å"1Å"cos Ć
( ) ( )
c = a Å" nb
a = 1i + 2 j ; b = 3i + 2 j
ab
cosÄ… =
a b
1
c = a Å" nb Å" nb = a Å" nb Å" b
c = a Å" nb Å" nb = a Å" nb Å" b
( ) ( )
( ) ( )
1Å"3 + 2Å" 2
b
cosÄ… = = 0.868243
a
1+ 4 Å" 9 + 4
Ä…
b
j
Ä… = 29.74488 stopnia
i
Iloczyn wektorowy dwu wektorów
Moment siły
M = r × F
Przesunięcie
Przesunięcie  przypadek szczególny
uwaga: przesunięcie jest niezależne od
 historii ruchu
. .
. 2
x1 x
O
x-axis
"x
"x
Przesunięcie tam
Przesunięcie tam
.
. x.
x1 2
O
x-axis
Przesunięcie z powrotem
"x
przesunięcie
Tam x1 = 5 m do x2 = 200 m oraz z powrotem do x2 = 5 m.
"x = x2 - x1
Przesunięcie całkowite "x = 0.
Prędkość średnia - vśr Prędkość średnia - vśr
x2 - x1 "x
x2 - x1 2 - (-4) 6 m
vavg = =
vsr = = = = 2 m/s
t2 - t1 "t
t2 - t1 4 -1 3 s
x(t) = at + b
x(t) = at + b
x2 =x(t2) oraz x1=x(t1) są położeniami ciała
x1 = x(t1); x2 = x(t2)
Dane :
odpowiednio w chwilach t2 oraz t1.
x2 - x1 at2 + b - at1 - b
vsr = = = a
t2 - t1 t2 - t1
Prędkość średnia = Współczynnik kierunkowy siecznej
Ruch niejednostajnie zmienny prostoliniowy
Prędkość chwilowa
"x dx
ëÅ‚ öÅ‚
v = lim =
ìÅ‚ ÷Å‚
"t0
"t dt
íÅ‚ Å‚Å‚
Przyspieszenie średnie
"v
"vav
asr = czyli "vav = asr"t
= " = "
v2 - v1 "v
asr = = "t
t2 - t1 "t
Całkowita zmiana prędkości= pole pod krzywą a = f(t)
Przyspieszenie chwilowe
Jeżeli a = const. to
"vav =vk -vp =asr tk -tp
( )
"v
ëÅ‚ öÅ‚
a = lim
t2
ìÅ‚ ÷Å‚
n
"t0
"t
íÅ‚ Å‚Å‚
ëÅ‚
"v =
"a(t )Å" "t öÅ‚ Ô! "v = Å" dt
i
limìÅ‚ ÷Å‚ +"a
n"
íÅ‚ i=1 Å‚Å‚
t1
Ruch niejednostajnie zmienny prostoliniowy
v
Ruch na płaszczyz
nie
vi
Si = vi Å" "t
Si
t
"ti
i
Całkowita droga = pole pod krzywą
v = f (t)
t2
s = Å" dt
+"v
t1
19
Wektor położenia
Przemieszczenie
Ć
r = -3iĆ + 2 5
+ 5k
Ć
r = xiĆ + y5
+ zk
"r = r2 - r1
21 22
2. Prędkość chwilowa
Ruch punktu materialnego na płaszczyz
nie
"r "x "y
ëÅ‚ öÅ‚
v(t) = lim = lim i + j
Wektor prędkości średniej
ìÅ‚ ÷Å‚
"t0 "t0
"t "t "t
íÅ‚ Å‚Å‚
"r
vsr =
" x " y
"t
v (t ) = lit ëÅ‚ i + li ëÅ‚ j
m0 ìÅ‚ öÅ‚ " t m0 ìÅ‚ öÅ‚
÷Å‚ ÷Å‚
"
" t " t
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
"r = "x Å" i + "y Å" j
"r = "x Å" i + "y Å" j
"x Å"i + "y Å" j "x "y
"x Å"i + "y Å" j "x "y
v = = i + j
vsr = = i + j
"t "t "t
" x " y
v (t ) = lit ëÅ‚ öÅ‚ i + li ëÅ‚ öÅ‚ j
m0 ìÅ‚ ÷Å‚ " t m0 ìÅ‚ ÷Å‚
"
" t " t
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
d x d y
v (t ) = i + j
vsr = vsr,xi + vsr,y j d t d t
v = vxi + vy j
23 24
Przyspieszenie
v = vxi + vy j
1. Przyspieszenie średnie
Prędkość chwilowa jest zawsze
styczna do toru
"v
asr =
"t
25 26
Przyspieszenie
Przyspieszenie dośrodkowe
2. Przyspieszenie chwilowe
"v ëÅ‚ "vx "vy öÅ‚
a = lim = lim i + j
ìÅ‚ ÷Å‚
"t0 "t0
"t "t "t
íÅ‚ Å‚Å‚
asr
"vy
"v "vx ëÅ‚ öÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚
a = lim = lim i + lim j
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ v2 Ć
"t0 "t0 "t0
"t "t "t
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ ad = - Å" r
r
"v dvx dvy
v2
a = lim = i + j
"t0 ad =
"t dt dt
r
a = axi + ay j
27
Zasady dynamiki Newtona
I. Pierwsza zasada dynamiki
Jeżeli na ciało nie działa żadna siła to jego prędkość nie może
uleć zmianie. Ciało pozostaje w spoczynku lub porusza się ze
Zasady dynamiki
stałą prędkością co do kierunku i wartości.
F = 0 Ò! v = const
"
Stan ciała może zmienić jedynie działająca na niego siła
30
II. Druga dynamiki Newtona
" Pęd ciała
p = mv
F = m Å" a
"p
F =
"t
Przykład. Wyznaczyć siłę naciągu liny T oraz
przyspieszenie układu.
Przykład. Spadająca piłka uderza o podłogę z prędkością
Przykład. Spadająca piłka uderza o podłogę z prędkością
v1=2m/s i odbija się od niej z prędkością v2=1m/s. Z jaką siłą
zadziałała podłoga na piłkę, jeżeli czas zderzenia wynosił
"t=0.1s ?
Brak sił oporu (tarcia)
Trzecia zasada dynamiki
y
a1
0
m1a1 = T + N + Fg
F12 = -F21
*
m2a2 = Fg + T
a2
Fg = m2g
j i x
a1 = a2 = a
a1 = a2 = a
m1a = T
m2a = m2g - m1a
m2
a = g
m1 + m2
33 34