ANALIZA MATEMATYCZNA 2, WPPT (MATEMATYKA) Kolokwium 1, grupa e&, 22 kwietnia 2004 Uwaga: należy formułować wykorzystywane kryteria zbieżności szeregów i całek! 1. Zbadaj zbieżność następujących szeregów: " "
2n sin n (-1)n " (a) ; (b) ; n 1 · 3 · . . . · (2n + 1) n2 n=1 n=1 " "
(c) na5 przy założeniu, że an jest zbieżny. n n=1 n=1 " (W przykładzie (c) należy udowodnić zbieżność na5 lub wskazać przy- " " n=1 n kład szeregu zbieżnego an takiego, że na5 jest rozbieżny). n=1 n=1 n " "
(-1)n+1 2. Niech cn będzie iloczynem Cauchy ego szeregu przez siebie. n + 1 n=0 n=0 "
Oblicz c0, c1, c2. Czy szereg cn jest bezwzględnie zbieżny? Odpowiedz n=0 uzasadnij. "
3. Udowodnij, że szereg an o wyrazach rzeczywistych jest bezwzględnie zbież- n=1 ny wtedy i tylko wtedy, gdy
" x3 dx 4. Sprawdz z definicji, czy całka niewłaściwa jest zbieżna i jeśli tak, - " x4 + 1 to ją oblicz. 5. Zbadaj zbieżność i bezwzględną zbieżność całek niewłaściwych
" 1 (-1)[2x] ln x dx (a) " dx; (b) (1 1 x arctg(2x) 0 - x)a w zależności od parametru a > 0. 6. Oblicz granicę n2
1 " lim . n n " n ek k=1 Uwaga: w sumie powyżej występuje n2 składników. W razie kłopotów z ob- n n 2 liczeniem granicy proszę zastąpić przez . [9 zamiast 16 punktów] k=1 k=1 Punktacja: zadanie 1: 19 punktów, zadanie 2: 11 punktów, zadanie 3: 20 punktów, zadanie 4: 8 punktów, zadanie 5: 26 punktów, zadanie 6: 16 punktów. ANALIZA MATEMATYCZNA 2, WPPT (MATEMATYKA) Kolokwium 1, grupa , 22 kwietnia 2004 Uwaga: należy formułować wykorzystywane kryteria zbieżności szeregów i całek! 1. Zbadaj zbieżność następujących szeregów: " "
n2 cos n (-1)n (a) ; (b) ; 1 (Ä„ + sin n)n (1 + )2n n=1 n=1 n " "
" (c) na3 przy założeniu, że an jest zbieżny. n n=1 n=1 " " (W przykładzie (c) należy udowodnić zbieżność na3 lub wskazać " " " n=1 n przykład szeregu zbieżnego an takiego, że na3 jest rozbieżny). n=1 n=1 n " "
(-1)n 2. Niech cn będzie iloczynem Cauchy ego szeregu przez siebie. n + 1 n=0 n=0 "
Oblicz c0, c1, c2. Czy szereg cn jest bezwzględnie zbieżny? Odpowiedz n=0 uzasadnij. "
3. Udowodnij, że szereg an o wyrazach rzeczywistych jest bezwzględnie zbież- n=1 ny wtedy i tylko wtedy, gdy
1 x3 dx 4. Sprawdz z definicji, czy całka niewłaściwa jest zbieżna i jeśli tak, 1 -1 - x4 to ją oblicz. 5. Zbadaj zbieżność i bezwzględną zbieżność całek niewłaściwych
" 1 (-1)[2x] ln x dx (a) " dx; (b) (1 1 x arctg(3x) 0 - x)a w zależności od parametru a > 0. 6. Oblicz granicę n2
1 lim . k2 n " n + k=1 n Uwaga: w sumie powyżej występuje n2 składników. W razie kłopotów z ob- n n 2 liczeniem granicy proszę zastąpić przez . [9 zamiast 16 punktów] k=1 k=1 Punktacja: zadanie 1: 19 punktów, zadanie 2: 11 punktów, zadanie 3: 20 punktów, zadanie 4: 8 punktów, zadanie 5: 26 punktów, zadanie 6: 16 punktów.