Przekształcenie Laplace a f( t e" 0 ) f(" ) Dziedzina Zbiór funkcji rzeczywista Pozostałe zmiennej rzeczywistej 0 f(t) Np. czas t " f (t)e-stdt = LĄ# f (t)ń# = F(s) +" ó# Ą# Ł# Ś# 0 f (t)"1(t) = L-1[F(s)] + j F( " ) Zbiór funkcji + 1 F(s) zmiennej zespolonej Dziedzina zespolona Np. zmienna s = ą+j
Dr inż. Jacek Czosnowski Katedra Elektrotechniki AGH Wydział EAIiE Twierdzenia " O Liniowości Jeśli L[f1(t)]= F1(s) oraz L[f2(t)]= F2(s) , to dla dowolnych liczb k1, k2: L[k1 f1(t) + k2 f2(t)] = k1F1(s) + k2F2(s) " O Zmianie Skali ( o podobieństwie ) Jeśli L[f(t)]= F(s) oraz a"R+, to : L[f(at)] = a 1F(a 1 s) " O Przesunięciu w Dziedzinie Czasu Jeśli L[f (t)]= F (s) , to dla e" 0 : L[f(t ) 1(t )] = e s F(s) 1 1 f(t)1(t) f(t )1(t ) 0.5 0.5 -5 -2.5 2.5 5 7.5 -5 -2.5 2.5 5 7.5
-0.5 -0.5 -1 -1 " O Przesunięciu w Dziedzinie Transformat Jeśli L[f (t) 1(t)]= F (s) , to dla ą "Z: L[e ąt f(t) 1(t)] = F( s + ą ) 1 1 f(t)1(t) e ąt f(t) 1(t) 0.5 0.5 -5 -2.5 2.5 5 7.5 -5 -2.5 2.5 5 7.5 -0.5 -0.5 -1 -1 Dr inż. Jacek Czosnowski Katedra Elektrotechniki AGH Wydział EAIiE " O Transformacie Pochodnej Jeśli f(t) i f (1)(t) są L - transformowalne , to: L[f (1)(t)]= s F(s) f(0+) n-1 (n) (k) i ogólnie: L[ f (t)]= snF(s)- sn-k-1 f (0+) " k=0 " O Transformacie Całki Jeśli L[f (t)]= F (s) , to: Ą#t ń# 1F(s) ó# Ą# Ló#+" f ( )d = s Ą# 0 Ł# Ś# " O Różniczkowaniu Transformaty Jeśli L[f (t)]= F (s) , to: Lt f (t)]=-d F(s) [ ds nn"dnF(s) [ i ogólnie: Lt f (t)]=(-1)dns " O Granicy Transformaty w Nieskończoności Jeśli L[f (t)]= F (s) , to: limF(s) =0 s " " O Wartościach Granicznych Jeśli L[f (t)]= F (s) oraz a) istnieje granica tlim f (t)= f ( "), to: + " limsF(s) = f ( ") s0 b) istnieje granica tlim f (t) = f (0+), to: + 0 limsF(s) = f (0+) s " Dr inż. Jacek Czosnowski Katedra Elektrotechniki AGH Wydział EAIiE Tabela podstawowych transformat Laplace a f(t) F(s) - Wykres F(s) Wykres f(t) oryginał transf. Moduł Argument f(t) (t) 2 1 1 (t) 1.5 0.5 1 0.1 1 0 0.5 0.5 -0.5 0.05 -1 0 -0.1 -1 -1 0 -0.1 0 -0.05 -0.05 -0.5 t -0.5 0 0 0 -0.5 0 -0.05 0.05 0.05 0.5 0.5 -0.1 -1 0.1 0.1 1 1 f(t) 1 1(t) 4 1016 1 3 1016 0.1 2 2 1016 0.1 0 1 1016 0.05 s 0.05 0 -2 -0.1 -0.1 0 t -0.1 -0.1 0 -0.05 -0.05 -0.05 -0.05 0 0 -0.05 -0.05 0 0 0.05 0.05 0.05 0.05 -0.1 0.1 0.1 -0.1 0.1 0.1 1.4 1.2 a<1 1 e-at 1(t) 0.8 1 2 0.6 100 0.1 0.1 0 0.4 50 0.05 0.05 -2 0.2 -0.1 -0.1 a>1 -0.1 0 -0.1 0 -0.05 -0.05 s + a -0.05 -0.05 -0.05 -0.05 0 0 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 0 0 0.05 0.05 0.05 0.05 -0.1 -0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 1 0.75 0.5 0.25 2 60 sin t 1(t) -2 2 4 6 8 10 12 0.1 0.1 40 0 -0.25 0.05 20 0.05 -2 -0.5 -0.1 -0.1 -0.1 0 -0.1 0 -0.05 -0.05 -0.75 -0.05 -0.05 s2 + 2 0 0 0 -0.05 0 -0.05 -1 0.05 0.05 0.05 0.05 -0.1 -0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 1 0.75 0.5 0.25 60 s 0.1 cos t 1(t) -2 2 4 6 8 10 12 2 40 0.1 -0.25 0 20 0.05 0.05 0 -2 -0.5 -0.1 -0.1 0 -0.1 -0.1 0 -0.75 -0.05 -0.05 -0.05 s2 +2 -0.05 -0.05 0 0 0 0 -0.05 -1 0.05 0.05 0.05 0.05 -0.1 -0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 1.4 1.2 n=1 1 0.8 tn 1(t) patrz wyżej patrz wyżej 0.6 n! 0.4 0.2 -0.25 0.25 0.5 0.75 1 1.25 sn+1 1 0.8 50 0.6 a<1 40 a (1 e at) 1(t) 1 2 30 0.1 0.4 20 0 0.5 10 0.05 -2 0 0.2 -1 0 -0.1 0 -1 -0.1 a>1 ( ) -0.5 -0.05 s s + a -0.5 -0.05 -0.5 0 0 0 0 -0.05 2 4 6 8 10 0.05 0.05 0.5 0.5 -0.1 -1 0.1 0.1 1 1 Dr inż. Jacek Czosnowski Katedra Elektrotechniki AGH Wydział EAIiE NP. 1. t ()d = 1(t) +" - " t 1 L[1(t)] = L[ ()d] = +" s z tw. OTC - " 2. 1 1 L[1(t)] = L[e-at1(t)] = z tw. OPwDT s s + a 3. jt jt e - e- jt e e- jt sint "1(t) = "1(t) = "1(t) - "1(t) 2 j 2 j 2 j 1 L[1(t)] = s z tw. OPwDT 1 jt L[sint "1(t)] = L[e "1(t)]- L[e- jt "1(t)] = 2 j 1 11 1 (s + j) - (s - j) = [] = = - 2 j s - j s + j 2 j (s - j)(s + j)
= s2 + 2 Dr inż. Jacek Czosnowski Katedra Elektrotechniki AGH Wydział EAIiE 4.
L[sint] = s2 + 2 z tw. OTP 1 d 1 L[cost] = L[ sint] = s - sin(0+ ) = dt s2 + 2 s = s2 + 2 ROZKAAD WAAŚCIWEJ FUNKCJI WYMIERNEJ NA UAAMKI PROSTE l aksk " L(s) k =0 F(s) == ; m M(s) bksk " (1) k =0 s " , ak ,bk " !; al `" 0, bm = 1; l - m < 0 Przypadek 1 Pierwiastki wielomianu M(s) są pojedyncze (różne) m1 m2 M (s) = (s + ąk ) " (s2 + pis + qi ) = "" k =1 i=1 m1 m2 (2) 2 = (s + ąk ) " ((s + i )2 + i ) "" k =1 i=1 - "i pi m1 + m2 = m, "i < 0, i = , i = , "i = pi2 - 4qi przy czym: . 2 2 Wielomian M(s) ma: m1 - pierwiastków rzeczywistych: {ą1, ą2, ..., ąm1}; m2 - pierwiastków zespolonych: {-1ąj1, -2ąj2, ..., -m2ąjm2}; Dr inż. Jacek Czosnowski Katedra Elektrotechniki AGH Wydział EAIiE m1 m2 Ak Bs + Ci i F(s) = + = "" s + ąk s2 + pi s + qi k =1 i=1 m1 m2 Ak Bi (s + i ) + Dii (3) = + 2 "" s + ąk (s + i )2 + i k =1 i=1 Ci - Bii Di = przy czym: i Pary transformat: Ak '" k ! Ake-ą t Ż# s + ąk Bs + Ci Bi (s + i ) + Dii '" i i = ! e- t (Bi cosit + Di sinit) Ż# 2 s2 + pis + qi (s + i )2 + i Oryginał: m1 m2 -it i ( ) f t = Ak e-ą t + ""e (Bi cosit + Di sinit) (4) k =1 i=1 Przypadek 2 Wielomian M(s) ma pierwiastki wielokrotne. r - krotny pierwiastek rzeczywisty: sk = -ąk ( s + ąk )r => r r Aki Aki k Fr (s) = !'" ti-1e-ą t = fr (t) Ż# " " (s + ąk )i i! i=1 i=1 Dr inż. Jacek Czosnowski Katedra Elektrotechniki AGH Wydział EAIiE r - krotny pierwiastek zespolony: sk = -k ą jk (s2 + pks + qk)r = [(s +k)2+k2]r => r r Bkis + Cki Bki (s + k ) + Dkik Fr (s) = = !'" Ż# " " i i 2 i=1 (s2 + pks + qk) i=1 [(s + k )2 +k ] r i-1 t k "t e- (Eki coskt + Fki sinkt)= fr (t) i=1 Przykłady A1 A2A3 s2 + 29s + 30 F(s) = =+ + 1). s3 + 7s2 + 10s s s + 2 s + 5 => ą1= 0, ą2= 2, ą3= 5 Ak= F(s)(s-ąk)|s=ąk => A1= +3, A2= +4, A3= 6 f(t) = (3 + 4e-2t -6e-5t) 1(t) 6 4 2 -1 1 2 3 4 -2 -4 -6 Dr inż. Jacek Czosnowski Katedra Elektrotechniki AGH Wydział EAIiE 2). s2 + 2s + 5 s2 + 2s + 5 F(s) = = = s3 +13s2 + 55s + 75 (s + 3)(s + 5)2 A1 A21A22 = + + s + 3 s + 5 (s + 5)2 s2 + 2s + 5 A1 = = 5; (s + 5)2 S =-3 s2 + 2s + 5 A22 = = -10; s + 3 S =-5 A1 A21 A22 1 = + + => A21 = -1 15 3 5 25 f(t)= [2e-3t - (1+10t)e-5t] 1(t) 2 1.5 1 0.5 -0.5 0.5 1 1.5 2 -0.5 -1 Dr inż. Jacek Czosnowski Katedra Elektrotechniki AGH Wydział EAIiE 3). 5s + 13 F(s) = = s(s2 + 4s + 13) A1 B2s + C2 A1 B2 (s + 2) + D2 3 = + =+ = s s2 + 4s + 13 s (s + 2)2 + 32 * A1 A2 A2 = + + s s - (-2 + j3) s - (-2 - j3) A1 = + 1; A2 = (1+j)/2; ( B2 = 1, C2 = 1 => D2 = 1 ; ) f(t) = 1 e 2t(cos 3t sin 3t ) = 1+ j 1- j = 1 e( 2+3j)t e( 2 3j)t 2 2 1.5 1 0.5 -0.5 0.5 1 1.5 2 -0.5 -1 Dr inż. Jacek Czosnowski Katedra Elektrotechniki AGH Wydział EAIiE IMMITANCJE DWÓJNIKA Z(s) lub Y(s) I(s) U(s) 1). Zerowe warunki początkowe ( dwójnik SLSB) Równanie różniczkowe wiążące funkcje obwodowe dwójnika ma postać: m l bk u(k ) (t) = aki(k ) (t) "" (1) k =0 k =0 Po dokonaniu przekształcenia Laplace a równania (1) dostajemy: m l bk skU (s) = ak sk I(s) "" (2) k =0 k =0 a stąd: IMPEDANCJA ADMITANCJA l m ak sk " "b sk k U (s) I(s) k =0 -1 k =0 Z(s) == Y(s) = Z (s) = = m l I(s) U (s) bk sk " "a sk k k =0 k =0 ! Impedancja i admitancja dwójnika SLSB są funkcjami wymiernymi rzeczywistymi zmiennej zespolonej s Równania operatorowe opisujące dwójnik SLSB mają postać: U(s) = Z(s)I(s); I(s) = Y(s)U(s) (4) Dr inż. Jacek Czosnowski Katedra Elektrotechniki AGH Wydział EAIiE 2). Niezerowe warunki początkowe ( dwójnik SLS) Po dokonaniu przekształcenia Laplace a równania różniczkowych dwójnika dostajemy równanie: m l "b skU (s) + w1(s) ="a sk I(s) + w2 (s) k k (5) k =0 k =0 gdzie w1(s), w2(s) - składniki zależne od warunków początkowych. Po przekształceniach otrzymujemy równania operatorowe opisujące dwójnik SLS: U (s) = Z(s)I(s) +Wu (s) (6) I(s) = Y(s)U (s) + Wi (s) yRÓDAA W OPISIE OPERATOROWYM I(s) Z(s) U(s)= E(s) Z(s)I(s) U(s) E(s) Z(s), Y(s) - dwójniki SLSB Równoważność: 1 Z(s) = Y(s) I(s) E(s)= Z(s)J(s) J(s)= Y(s)E(s) Y(s) J(s) U(s) I(s)= J(s) Y(s)U(s) Dr inż. Jacek Czosnowski Katedra Elektrotechniki AGH Wydział EAIiE OPIS OPERATOROWY ELEMENTÓW OBWODU u(t) U(s) L[" ] R R i(t) I(s) L 1[" ] u(t)= R i(t) U(s)= R I(s) U(s) u(t) C u(0) 1 i(t) L[" ] s Cs I(s) L 1[" ] u(0) t 1 1 u(0) u(t) = U (s) = I(s) + +"i()d + u(0) C Cs s 0 U(s) u(t) Ls I(s) L i(t) i(0) L[" ] i(0) s L 1[" ] t 1 1 i(0) i(t) = I(s) = U (s) + +"u()d + i(0) L Ls s 0 Dr inż. Jacek Czosnowski Katedra Elektrotechniki AGH Wydział EAIiE I1(s) Ms I2(s) i1(t) M i2(t) L1s L2s U (s) 1 u (t) L1 L2 u (t) U (s) 1 2 2 L1 i1(0)+M i (0) 2 i1(0) i2(0) L2 i2(0)+M i (0) 1 L[" ] di1 di2L 1[" ] U1(s) = L1sI1(s) + MsI2 (s) u1(t) = L1 + M dt dt - [ Li1(0) + Mi2 (0)] 1 di2 di1 U2 (s) = L2sI2 (s) + MsI1(s) u2 (t) = L2 + M dt dt - [ Li2 (0) + Mi1(0)] 2 Dr inż. Jacek Czosnowski Katedra Elektrotechniki AGH Wydział EAIiE ROZWIZYWANIE RÓWNAC STANU W DZIEDZINIE ZMIENNEJ ZESPOLONEJ s Równania stanu i wyjścia zapisane w dziedzinie naturalnej ( czasu ) dla t e" 0: " ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x t = A x t + B u t ; x t = 0 a" x 0 (1) ( ) ( ) ( ) y t = Cx t + D u t Dokonując L-transformacji równań (1) z dziedziny czasu ( naturalnej ) do dziedziny zespolonej otrzymujemy: ( ) ( ) ( ) ( ) sX s - X 0 = AX s + BU s (2) ( ) ( ) ( ) Y s = CX s + DU s i po przekształceniu: ( ) ( )-1 ( ) ( ) X s = s1- A BU s + X 0 ] [ (3) ( ) ( )-1 ( ) ( )-1 ( ) Y s = C s1- A B + D U s + C s1- A X 0 [] Równania (3) są prostymi równaniami algebraicznymi. Jedyną trudnością jest obliczenie macierzy odwrotnej do nieosobliwej ( det(" ) `" 0 ) macierzy (s1-A). OBLICZENIE MACIERZY: K(s)= (s1-A) 1 1). Ze wzoru: ( ) adj s1- A ( ) K s = (4) () det s1- A gdzie adj(s1-A) - macierz dołączona macierzy (s1-A). Jej wyznaczenie dla n > 3 jest uciążliwe; 2). Ze wzoru: n-1 n # ś# j - j-1 ś# s " "a Ak ź# k # # j= 0 k = j+1 -1 ( ) ( ) K s = s1 - A = ; an = 1 (5) () det s1 - A gdzie ak - współczynniki równania charakterystycznego det(1-A) = 0 macierzy A. Dr inż. Jacek Czosnowski Katedra Elektrotechniki AGH Wydział EAIiE