ĆWICZENIE 7 Wykresy sił przekrojowych w ustrojach złożonych
(27.04.2009)
USTROJE ZA
OŻONE
A) o trzech reakcjach podporowych N=3
B) o liczbie większej niż 3 - reakcjach podporowych N>3
A) wyznaczanie reakcji z równań równowagi bez analizy części
składowych
wyznaczenie więzów wewnętrznych z dodatkowych równań,
wymagana jest analiza części składowych. n  przegubów
wewnętrznych ; n sił wewnętrznych do policzenia z równań
I
równowagi M Oi = 0 , i =1,2...n.
( )
"
B) 3 równania równowagi dla ustroju płaskiego
N-3 równań dodatkowych nie generujących nowych niewiadomych,
dotyczących równowagi części składowych.
Algorytm:
- obliczenie reakcji,
- obliczenie części kratowych dostępnymi metodami, (najpierw musimy
rozróżnić częsci ramowe i kratowe i zaznaczyć na rysunku, gruba linia
 rama, cienka  krata)
- obliczenie sił wewnętrznych dla ram.
Przegub
Rozcięcie przegubu wprowadza dwie dodatkowe niewiadome. Oblicza
się je z równań:
I I
X = 0 Y = 0
" "
Inne rodzaje przegubu:
Przypadek 1)
4 reakcje podporowe
I
3 równania rownowagi, 1 równanie M O1 = 0 potrzebne do
( )
"
wyznaczenia jednej reakcji
Siły N1 , N2 w prętach oblicza się z równowagi wybranej części
I I
X = 0 Y = 0
" "
Przypadek 2)
4 reakcje podporowe
I I
3 równania rownowagi, 1 równanie Y = 0 M O1 = 0
( )
" (zamiast" )
potrzebne do wyznaczenia jednej reakcji
Siły N1,N2 w prętach oblicza się z równowagi wybranej części :
I I
M O1 = 0 Ò! N2 M O2 = 0 Ò! N1
( ) ( )
" "
Siła przyłożona w przegubie  sposób rozwiązywania
Dla przegubu równanie nie generujące dodatkowej niewiadomej
I II
wynikłej z rozciącia konstrukcji na części to M = 0 lub M = 0
" " .
Przegub pod ramÄ…
TYP B
PRZYKA
AD 1
Obliczenie reakcji
4 niewiadome reakcje podporowe
3 równania równowagi i 1 równanie zerowania momentu jednej z części ramy względem
przegubu.
II
M (C) = 0 Ò! -10 - 5Å"4 - 5Å"4Å"2 - 4Å" RG = 0 Ò! RG =10 kN
"
y
"M (B) = 0 Ò! -10Å"VA + 8Å"5 - 5Å"8 + 5Å"4Å"2 = 0 Ò!VA =
y
"Y = 0 Ò!-5Å"4 +VA + 6,25 + RF + RE = 0 Ò! RB = 6,25 kN
"X = 0 Ò! HA + 5,0 = 0 Ò! HA = -5 kN
KOLOKWIUM
40 kN
D
20 kNm
20 kN
2
C
Przykład 1.1. Rozwiązać układ
2
złożony.
F
E
10 kN/m
4
wymiary w
A B
m
2 2
2 2
RozwiÄ…zanie
Analiza układu pokazuje, że składa się on z dwóch zasadniczych części: części ramowej A-C-D-E-
F-B (układ trójprzegubowy ze ściągiem) na którym w punktach D i F opiera się kratownica.
Możemy więc wpierw rozwiązać kratownicę, a następnie układ ramowy.
10 kN D 40 kN
RozwiÄ…zanie kratownicy.
3
Rozwiązanie jej nie powinno stanowić
1 20 kN
2
trudności.
2
4
2
Schemat statyczny i wartości reakcji
F
obok.
30 kN
40 kN
Wartości sił podłużnych w prętach
2
2
podane są niżej:
N12 = -40.0 kN, N13 = -10.0 kN, N23 = 7.07 kN,
N34 = -7.07kN, N24 = 30.0kN, N2F = -49.50 kN,
N4F = -7.07 kN.
Rozwiązanie układu ramowego.
Obciążony siłami oddziaływania wspierającej się na nim kratownicy, ma reakcje pokazane na
rysunku niżej. Siły podłużne w prętach kratowych A-B, C-D i C-E wyznaczymy rozpatrując
równowagę lewej części ramy po wykonaniu przekroju jej na dwie części jak to pokazuje rysunek.
NCD
10 kN
D
20 kNm
20 kNm
40 kN
2
C C
2
NCE
30 kN
F
E
6
4
10 kN/m
A B A
B
G
20 kN 20 kN
N
AB
30 kN
10 kN 10 kN
4 2 6
2 6
Z warunków równowagi odciętej części ramy otrzymujemy:
M = 0; N * 6 + 20* 6 + 20 = 0 N = -23.33 kN,
"
C AB AB
M = 0; NCD * 6 2 +10* 6 - 20 = 0 NCD = -4.71 kN,
"
B
M = 0 ; NCE * 6 2 -10* 6 - 20 = 0 NCE = 9.43 kN.
"
G
Stąd siły obciążające pręty ramowe rozważanej konstrukcji przedstawiają się następująco:
3.33 kN
10 kN
D 40 kN
10 kN
3.33 kN
4
E
C
30 kN
3.33 kN
F
6.67 kN
6
4
10 kN/m
B
23.33 kN
6.67 kN
23.33 kN
30 kN
20 kN A
10 kN
4
20 kNm
Wykresy i wartości sił przekrojowych w układzie pokazują poniższe rysunki.
6.67
M Q
kNm kN
3.33
20.0
16.6
13.33
26.67
1.67
27.22
3.33
23.33
10.0
10.0
3.33
7.07
4.71
7.07
N
kN
30.0
49.5 7.07
10.0
23.33 30.0
26.67
10.0
40.0
9.43
13.33
 6 kN/m
5
C
wymiary w
3
m
24 kNm
4
3
2
3
Przykład 1.2. Rozwiązać układ
A
złożony. B
1
10 kN
15 kN
3
3
RozwiÄ…zanie
6.5 kN
6 kN/m
Analizując konstrukcję możemy 5
C
zobaczyć, że stanowią ją trzy
3
24 kNm
układy ramowe A-1-2, 2-C-5 i
5-3-4-B, połączone przegubami
4
3
2
2 i 5 oraz spięte dwoma
3
prętami kratowymi (cięgnami)
3.5 kN
A
B
1-4 i 2-3. Ten geometrycznie
1
10 kN
15 kN
3.0 kN
niezmienny układ opiera się na
3
3
trzech przegubowo
przesuwnych podporach.
Konstrukcja jest geometrycznie
niezmienna i statycznie
wyznaczalna. Wartości reakcji
wyliczone z warunków
równowagi układu jako całości
pokazane sÄ… na rysunku obok.
Ä…
Występowanie prętów kratowych
2
sugeruje sposób rozwiązania
N14
3
polegający na dokonaniu przecieć
przez te pręty i odpowiednie przeguby
A
1
10 kN
w celu wyznaczenia występujących w
Ä…
3
3 kN
prętach sił osiowych a następnie
wyznaczenie sił przekrojowych w
częściach ramowych .
Siłę w pręcie 1-4 wyznaczymy z
przekroju Ä… -Ä… i warunku zerownaia siÄ™
momentów względem przegubu 2 sił
działająych na część dolną (patrz rys.
obok).
M = 0 ; N14 * 3 2 -10* 3 = 0 N = 7.07
"
2 AB
kN.
²
Teraz z przekroju ² - ² i zerowania siÄ™
5
momentów względem przegubu 5
3
24 kNm
części prawej wyznaczymy siłę
podłużną w pręcie 4-5.
4
3
N23
M = 0;
"
5
3
N23 * 3 + 7.07* 3 2 + 24 - 3.5* 6 -15* 3 = 0
3.5 kN
7.07 kN
B
²
N23 = 4.0 kN.
3
15 kN
Siły obciążające pręty ramowe rozważanego układu i wykresy sił przekrojowych pokazane są niżej.
6 kN/m
1.33
6.5 kN
5
3.0
C
M
kNm
3
24 kNm
4 kN 10.5
16.5
4
4 kN 3
2
3
7.07 kN
3.5 kN
A
B
9.0
1
10 kN
15 kN
3.0 kN
3
3
8.0
5.5
N
Q
1.0
kN
kN
4.0
7.07
2.12
3.5
15.0
9.19
8.33
40.5
8
.0
5.5
10.0
1
.5
10.0
3.0
Przykład 1.3. Rozwiązać układ złożony.
3
2
C
2 2
5 kN/m
wymiary w
2
m
B
2
A
4
1
2
D
4 2
2
2 H3
2
2
RC
RozwiÄ…zanie
V3
2
III
Wszystkie pręty tego układu
H V2
2 V3
są prętami ramowymi, stąd
V2
żadne ułatwienia w jego
H3
H 2
2
rozwiÄ…zaniu polegajÄ…ce na
II
H
2
B
przecięciach przez
IV
8
przeguby i pręty kratowe nie
V1 H1
mogą być zastosowane. W
V1 V4
V4
I
dodatku nie można
H4 H
H1 4
wyznaczyć wartości reakcji 2
VA
4 4
rozpatrujÄ…c warunki
VD
równowagi całego układu.
Wynika z tego, że jedynym
rozsądnym podejściem do
jego rozwiÄ…zania to rozbicie
na podukłady (jak to
pokazane jest obok) i
kolejne ich rozwiÄ…zywanie.
Mamy teraz cztery układy w
których występuje 12
5 kN/m
niewiadomych reakcji oraz
wzajemnych oddziaływań w
przegubach , i możemy
napisać 12 równań
równowagi do ich
wyznaczenia.
Takie podejście niewatpliwie
doprowadzi do wyniku, ale
jest jednak dość żmudne.
Aby tego uniknąć możemy analizując warunki równowagi poszczególnych części szybciej dojść do
rozwiÄ…zania.
20.0
2
Z warunków równowagi części
2
IV (patrz rys. obok)
2 0.0
20.0
otrzymujemy:
2
III
M = 0 H3 = 20.0 kN,
"
4
20.0 20.0
20.0
M = 0 H4 = 20.0 kN.
"
3
20.0
Z warunków równowagi części I
20.0 20.0
2
( X = 0 ) wynika: H1 = 20.0 kN.
"
II
40.0
2
Teraz z warunków równowagi
IV
8
20.0
części II wyznaczymy:
20.0
10.0
M = 0 H2 = 20.0 kN,
"
B
20.0 10.0
I
20.0
20.0
20.0
2
10.0
4 4
10.0
5 kN/m
M = 0 H = 40.0 kN.
"
2 B
Z warunków równowagi części
III otrzymujemy:
X = 0 RC = 0,
"
M = 0 V3 = 20.0 kN,
"
2
M = 0 V2 = 20.0 kN.
"
3
Pozostało do wyznaczenia: VA ,
V1, V4 i VD .
Teraz z warunków równowagi części II otrzymamy:
Y = 0 V1 = 20.0 kN, a z warunków równowagi części I:
"
M = 0 V4 = 10.0 kN, M = 0 VA = 10.0 kN.
" "
1
A
Kończymy analizując równowagę części IV, z której wynika:
Y = 0 V4 = 10.0 kN.
"
Ostatecznie wyznaczone wartości oddziaływań pokazuje rysunek wyżej.
Wykresy sił przekrojowych pokazane są na rysunkach niżej.
28.28
20.0
M N
Q
20.0
kNm kN
kN
28.28
20.0
40.0
20.0
20.0
40.0
20.0
10.0
40.0
20.0
10.0
10.0
2
Przykład 1.4. Rozwiązać układ złożony.
9 kN
1
9 kN
1
wymiary w
A 1
3 m
1
45Ë%
1
B
2 1 1 1.5
1.5
4
RozwiÄ…zanie
9 kN
1
3
Wszystkie pręty tego układu
9 kN
1
RAH=2.0 kN
są prętami ramowymi, stąd
A 2
1
1
45Ë%
żadne ułatwienia w jego
RAV=2.0 kN
B
1
rozwiÄ…zaniu polegajÄ…ce na
HB=11.0 kN
2 1 1 1.5
1.5
VB=7.0 kN
przecięciach przez przeguby
i pręty kratowe nie mogą być
zastosowane. Ale tym razem
w przeciwieństwie do
przykładu 1.2, łatwo
wyznaczymy wartości reakcji
z warunków równowagi
układu jako całości, ich
wartości pokazane są na
rysunku obok.
Mając obliczone reakcje możemy wyznaczyć wartości sił przekrojowych w prętach A-1 i 2-B.
Aby wyznaczyć wykres momentów na pręcie 1-3-4 wycinany go z konstrukcji i obliczamy
prostopadłe do niego oddziaływania konstrukcji, które przyjmiemy do obliczeń ze zwrotami
dodatnich sił poprzecznych.
Z warunków równowagi wyciętego
N43
4
pręta 1-3-4 otrzymujemy:
9 kN
M = 0 Q13 = 3.182 kN,
"
4
Q43 1
3
M = 0 Q43 = -3.182 kN,
"
1 1
1
N13 Q13
co pozwala na wyznaczenie w nim
momentów zginających i sił
1 1
poprzecznych
M
Momenty zginające i siły
11.5
4.5
kNm
poprzeczne w pozostałych
przedziałach
charakterystycznych możemy
wyznaczyć postępując
4,60
analogicznie. Ale możemy to
Q
3,182
kN
zrobić prościej pamiętając, o
zerowaniu się momentów w
3,182
przegubach i liniowości funkcji
momentów w przypadku braku
obciążenia w przedziale.
4,60
Zatem wykres momentów w
rozważanym układzie
4.0
2.0
1.143
przedstawia siÄ™ tak jak to
pokazuje rysunek obok. A
wykres sił poprzecznych
bardzo Å‚atwo wyznaczymy
korzystając z zależności
między pochodną momentów i
siłą poprzeczną.
Wykres sił poprzecznych
pokazany jest obok na
rysunku.
Siły podłużne wyznaczymy wycinając węzły i rozpatrując warunki równowagi sił na nie działających.
·
N13
3.182
Węzeł 1
2.0
Y = 0 N13 = -1.263 kN,
"
N12
1
· = 0 N12 = -3.357 kN.
"
1.143
2.0
4.60
N24
sin Ä…=0.8
9.0
cos Ä…=0.6
3.357
2
4.60
1.143
12.2
Ä…
Węzeł 2
Y = 0 N24 = -3.871 kN.
"
4
3.182
4.60
sin Ä…=0.8
Węzeł 4
cos Ä…=0.6
Y = 0 N43 = 5.101 kN. N43
"
3.871
Ä…
5.101
3.871
Wykresy sił podłużnych N
kN
pokazuje rysunek obok.
1.263
12.20
2.0
3.357
20 kN/m
30 kN
2
wymiary w
2
Przykład 1.5. Rozwiązać układ
m
złożony.
C
1
B
1 A
2 2
RozwiÄ…zanie
20 kN/m
Wszystkie pręty tego układu są
30 kN
prętami ramowymi.
2
Wartości reakcji wyliczone z
2
warunków równowagi układu
C
jako całości pokazane są na
90.0 kN
1
60.0 kN
rysunku obok.
W tym przykładzie wartości sił
B
1 A
2
przekrojowych w punktach 2
80.0 kN
charakterystycznych
wyznaczymy postępując inaczej
30 kN 2
niż poprzednio. Nie będziemy
wycinać poszczególnych części
układu ale dokonywać przecięć N2B
konstrukcji , zaczepiać
Q2B
N2C
odpowiednich sił przekrojowych i
Q2C
wyznaczać je z warunków
zerowania się momentów w
odpowiednich przegubach.
Zaczniemy od przecięcia prętów
2-B i 1-2 w odległości dowolnie
bliskiej przegubu 2. Po
dokonaniu przecięcia należy
zaczepić w przekrojach
odpowiednie siły przekrojowe
(patrz rys), będą to siła
poprzeczna i podłużna (nie
będzie momentu zginającego, bo
przecięcie dokonane jest
nieskończenie blisko przegubu).
20 kN/m
Po usunięciu przegubu 2 z
konstrukcji mamy sytuacjÄ™
N2B
N2C
pokazanÄ… obok na rysunku.
Q2B
2
wymiary w
Wartości sił poprzecznych Q2B i
Q2C
m
Q2C możemy wyznaczyć z
90.0 kN
warunków równowagi:
1
60.0 kN
" części 2-B
1 B
A
M = 0;
"
B
2 2
Q2B * 5 - 20* 4* 2 = 0 Q2B = 32.0 80.0 kN
kN,
" części 2-1
M = 0;
"
1
Q2C * 3 - 90* 1 = 0 Q2C = 30.0 kN.
Postępując analogicznie z przegubami 1 oraz B otrzymamy wartości następujących sił
poprzecznych:
Q1A = -40.0 kN, Q1C = -60.0 kN, QBA = 40.0 kN, QB2 = -32.0 kN.
Z warunków równowagi sił działających na węzły 1,2 i B (patrz wysunki) otrzymamy następujące
wartości sił podłużnych:
N1A = N = 60.0 kN, N1C = N2C = -40.0 kN, NB2 = -24.0 kN, N2B = 24.0 kN.
BA
N1C
N
B2
30 kN 2 32 kN
60 kN
32 kN
NBA
N1A
1 B
60 kN
40 kN
40 kN
N2B
30 kN
N2C
Wykresy sił przekrojowych pokazane są niżej.
M
kNm
32.0
Q
30.0
kN
40.0
60.0
32.0
60.0
24.0
N
40.0
kN
24.0
40.0
80.0
40.0
60.0
2 kN/m
4
3
6
C 5
4 kNm
2 2 kN/m
wymiary
wm
1
Przykład 1.6. Rozwiązać układ 2
2 kN
2
2 kNm
złożony.
B
A
2
2 2
2
RozwiÄ…zanie
2 kN/m
4
3
Zasadniczą część konstrukcji
6
C 5
stanowią dwie części ramowe A-3-C
4 kNm
2 2 kN/m
i C-6-B podparte na podporach A
1
oraz B i spięte poprzez przeguby
2
2 kN
2
2 kNm
układem prętów ramowych i
B
kratowych zapewniających całemu 2.0 kN A
2
2 2
2
układowi geometryczną
5.75 kN 10.25 kN
niezmienność. Konstrukcja jest
statycznie wyznaczalna.
4
Kolejność rozwiązywania:
2 4 kNm
" wyznaczenie reakcji z warunków
1
Q14
równowagi całego układu,
" wyznaczenie siły poprzecznej Q14
N14
w pręcie ramowym 1-4 z warunku
zerowania się momentów
Q12 2 kN/m
względem przegubu 4 dolnej
N12
części pręta 1-4 po dokonaniu
1 2
2 kN
2 kNm
przekroju dowolnie blisko
2 2
przegubu 1:
M = 0 ; Q14 * 2 - 4 = 0 Q14 = 2.0 kN.
"
4
" wyznaczenie siły poprzecznej Q12
w pręcie ramowym 1-2 z warunku
zerowania się momentów
względem przegubu 2 po
dokonaniu przekroju dowolnie
blisko przegubu 1, a następnie
siły poprzecznej Q21 z
sumowania sił pionowych
działających na ten pręt:
M = 0 ;
"
2
Q12 * 4 + 2 - 2* 4* 2 = 0 Q12 = 3.5 kN.
Y = 0; Q21 = Q12 - 2* 4 = -4.5 kN.
"
" wyznaczenie siły podłużnej N12 w
pręcie ramowym 1-2 z warunku
zerowania się momentów
C
względem przegubu C lewej
4
3
części konstrukcji po dokonaniu
4 kNm
2
przekroju przez przegub C i
dowolnie blisko przegubu 1:
N12
1
M = 0;
" 2
C
3.5 kN
N12 * 2 + 3.5* 2 + 4 - 2* 4 - 5.75* 4 = 0
A
2.0 kN
2
N12 = 10.0 kN. 2
5.75 kN
" z warunków równowagi N14
N25
węzła 1 i 2 wyznaczamy
2.0
N26
N13
nieznane siły podłużne w
10.0
schodzÄ…cych siÄ™ w nich
2
1
2.0
prętach: N13 = 16.97 kN,
3.5
4.5
N14 = -8.50kN, N25 = -3.50 kN,
N26 = 11.31 kN.
W rezultacie siły przykładane do prętów ramowych pokazane są na rysunkach niżej:
2 kN/m
4
3
6
8.5
C 5
2.0
2.0
2 kN/m
2
16.97
11.31 4
3.5
4.5
8.5
3.5
2
2
1
10 10
1
2
2 kNm
2
2
B
A
8.5
2.0 kN
2
2 2
2
2.0
5.75 kN 10.25 kN
Wykresy sił przekrojowych można wykonać samodzielnie.
4
Zadanie
9 kN
1
3
9 kN
1
RAH=2.0 kN
Wszystkie pręty tego układu
A
1 2
1
45Ë%
są prętami ramowymi, stąd
RAV=2.0 kN
B
1
żadne ułatwienia w jego
HB=11.0 kN
2 1 1 1.5
1.5
rozwiÄ…zaniu polegajÄ…ce na
VB=7.0 kN
przecięciach przez przeguby
i pręty kratowe nie mogą być
zastosowane. Ale tym razem
w przeciwieństwie do
przykładu 1.2, łatwo
wyznaczymy wartości reakcji
z warunków równowagi
układu jako całości, ich
wartości pokazane są na
rysunku obok.
Mając obliczone reakcje możemy wyznaczyć wartości sił przekrojowych w prętach A-1 i 2-B.
Aby wyznaczyć wykres momentów na pręcie 1-3-4 wycinany go z konstrukcji i obliczamy
prostopadłe do niego oddziaływania konstrukcji, które przyjmiemy do obliczeń ze zwrotami
dodatnich sił poprzecznych.
Z warunków równowagi wyciętego
N43
4
pręta 1-3-4 otrzymujemy:
9 kN
M = 0 Q13 = 3.182 kN,
"
4
Q43 1
3
M = 0 Q43 = -3.182 kN,
"
1 1
1
N13 Q13
co pozwala na wyznaczenie w nim
momentów zginających i sił
1 1
poprzecznych
M
Momenty zginające i siły
11.5
4.5
kNm
poprzeczne w pozostałych
przedziałach
charakterystycznych możemy
wyznaczyć postępując
4,60
analogicznie. Ale możemy to
Q
3,182
kN
zrobić prościej pamiętając, o
zerowaniu się momentów w
3,182
przegubach i liniowości funkcji
momentów w przypadku braku
obciążenia w przedziale.
4,60
4.0
2.0
1.143
Zatem wykres momentów w
rozważanym układzie
przedstawia siÄ™ tak jak to
pokazuje rysunek obok. A
wykres sił poprzecznych
bardzo Å‚atwo wyznaczymy
korzystając z zależności
między pochodną momentów i
siłą poprzeczną.
Wykres sił poprzecznych
pokazany jest obok na
rysunku.
Siły podłużne wyznaczymy wycinając węzły i rozpatrując warunki równowagi sił na nie działających.
·
N13
3.182
2.0
Węzeł 1
N12
1
Y = 0 N13 = -1.263 kN,
"
1.143
2.0
· = 0 N12 = -3.357 kN.
"
4.60
N24
sin Ä…=0.8
Węzeł 2 9.0
cos Ä…=0.6
3.357
Y = 0 N24 = -3.871 kN.
" 2
4.60
1.143
12.2
Ä…
4
3.182
4.60
sin Ä…=0.8
Węzeł 4
cos Ä…=0.6
Y = 0 N43 = 5.101 kN. N43
"
3.871
Ä…
5.101
3.871
Wykresy sił podłużnych N
kN
pokazuje rysunek obok.
1.263
12.20
2.0
3.357