1 Wydział: WILiŚ, Budownictwo, sem.2 dr Jolanta Dymkowska Uogólnione współrzędne walcowe Niech a i b będą stałymi dodatnimi. Współrzędne (r, , z) , dla których związki ze współrzędnymi kartezjańskimi (x, y, z) są dane wzorami: ńł ł x = a r cos r " [0, + ") ł y = b r sin " [0, 2Ą] ł ół z = z z " R nazywamy uogólnionymi współrzędnymi walcowymi. Przekształcenie (r, , z) - ( x , y , z ) gdzie x = a r cos y = b r sin z = z nazywamy uogólnionym przekształceniem walcowym. Jakobian uogólnionego przekształcenia walcowego jest równy:
"x "x "x
a cos - a r sin 0 "r " "z
"y "y "y
J (r, , z) = = b sin b r cos 0 =
"r " "z
"z "z "z
0 0 1
"r " "z
a cos - a r sin
= = ab r cos2 + ab r sin2 = ab r.
b sin b r cos Całka potrójna w uogólnionych współrzędnych walcowych Twierdzenie Niech obszar V0 dany w uogólnionych współrzędnych walcowych (ze stałymi a i b ) będzie regularny oraz niech funkcja f(x, y, z) będzie ciagła na obszarze V będącym obrazem V0 w uogólnionym przekształceniu walcowym. Wówczas
f(x, y, z) dxdydz = f( a r cos , b r sin , z ) ab r drddz. V V0 Przykład Znalezć współrzędne środka ciężkości jednorodnej bryły ograniczonej paraboloidą x2 + 2y2 = 4z i płaszczyzną z = 2. Rozwiązanie: Bryła V jest obszarem w przestrzeni normalnym względem płaszczyzny OXY, tj.
(x, y) " D V : x2 y2 + z 2 4 2 2 gdzie obszar płaski D jest ograniczony krzywą, będącą rzutem na płaszczyznę OXY krzywej powstałej z przecięcia paraboloidy x2 + 2y2 = 4z z płaszczyzną z = 2, tj. elipsą o równaniu: x2 y2 + = 1. 8 4 Obliczając zatem poszczególne całki potrójne, wprowadzimy uogólnione współrzędne walcowe dane wzorami: ńł " ł x = 2 2 r cos r " [0, + ") ł y = 2 r sin " [0, 2Ą] ł ół z = z z " R " Jakobian, odpowiadający takiej zamianie zmiennych, jest równy: J = 4 2r, a obszar V0 , którego obrazem w uogólnionym przekształceniu walcowym jest obszar V , opisze się w nastepujacy sposób: ńł ł 0 2Ą ł V0 : 0 r 1 ł ół 2r2 z 2 Przystępujemy do obliczania poszczególnych całek potrójnych: " Masa bryły (jednorodnej, przyjmujemy więc, że gęstość masy jest stała równa 1) V : 2Ą 1 2 " " M = dxdydz = 4 2r drddz = 4 2 d dr r dz = V V0 0 0 2r2
r=1 2Ą 2Ą 2Ą 1 1 " " " r2 r4
= 4 2 d dr r z|z=2 = 8 2 d (r - r3) dr = 8 2 d - = z=2r2
2 4 r=0 0 0 0 0 0 2Ą
" " = 2 2 d = 4 2 Ą 0 " Moment statyczny względem płaszczyzny OXY: 2Ą 1 2 " " MXY = z dxdydz = 4 2r z drddz = 4 2 d dr r z dz = V V0 0 0 2r2 z=2 r=1
2Ą 2Ą 2Ą 1 1
" " " z2 r2 r6
= 4 2 d dr r = 8 2 d (r -r5) dr = 8 2 d - =
2 2 6 z=2r2 r=0 0 0 0 0 0 2Ą 8" 16" = 2 d = 2 Ą 3 3 0 " Moment statyczny względem płaszczyzny OXZ: 2Ą 1 2 " " MXZ = y dxdydz = 4 2r 2 r sin drddz = 8 2 d dr r2 sin dz = V V0 0 0 2r2 3 2Ą 2Ą 1 1 z=2 " " = 8 2 d dr r2 sin z = 16 2 d sin (r2 - r4) dr =
z=2r2 0 0 0 0
r=1 2Ą 2Ą
" r3 r5 32"
= 16 2 d sin - = 2 sin d = 0
3 5 15 r=0 0 0 " Analogicznie moment statyczny względem płaszczyzny OYZ: MY Z = 0. " Współrzędne środka ciężkości: " MY Z MXZ MXY 16 2 Ą 4 3 " xc = = 0 yc = = 0 zc = = = M M M 3 4 2 Ą Uogólnione współrzędne sferyczne Niech a, b i c będą stałymi dodatnimi. Współrzędne (r, , ) , dla których związki ze współrzędnymi kartezjańskimi (x, y, z) są dane wzorami: ńł ł x = a r cos cos ł y = b r sin cos ł ół z = c r sin nazywamy uogólnionymi współrzędnymi sferycznymi. Przykład Równanie elipsoidy o półosiach a, b i c : x2 y2 z2 + + = 1 a2 b2 c2 zapisać w uogólnionych współrzędnych sferycznych. x2 y2 z2 Rozwiązanie: Do równania elipsoidy + + = 1 wstawiamy zależności a2 b2 c2 x = a r cos cos , y = b r sin cos i z = c r sin : a2 r2 cos2 cos2 b2 r2 sin2 cos2 c2 r2 sin2 + + = 1 a2 b2 c2
r2 cos2 + sin2 cos2 + r2 sin2 = 1
r2 cos2 + sin2 = 1 r2 = 1. Zatem równanie elipsoidy o półosiach a, b i c w uogólnionych współrzędnych sferycznych (ze
Ą stałymi a, b i c ) ma postać: r = 1 dla " [0, 2Ą) i " -Ą , . 2 2 Przekształcenie (r, , ) - ( x , y , z ) gdzie x = a r cos cos y = b r sin cos z = c r sin 4 nazywamy uogólnionym przekształceniem sferycznym. Jakobian uogólnionego przekształcenia sferycznego jest równy:
a cos cos -a r sin cos -a r cos sin
J = b sin cos b r cos cos -b r sin sin = abc r2 cos
c sin 0 c r cos Całka potrójna w uogólnionych współrzędnych sferycznych Twierdzenie Niech obszar V0 dany w uogólnionych współrzędnych sferycznych (ze stałymi a, b i c ) będzie regularny oraz niech funkcja f(x, y, z) będzie ciagła na obszarze V będącym obrazem V0 w uogólnionym przekształceniu sferycznych. Wówczas
f(x, y, z) dxdydz = f( a r cos cos , b r sin cos , c r sin ) abc r2 cos drdd. V V0 Przykład Stosując uogólnione współrzędne sferyczne oblicz objetość bryły ograniczonej elipsoidą o półosiach a, b i c . Rozwiązanie: Z poprzedniego przykładu wiemy, że elipsoida o półosiach a, b i c ma w uogólnionych współrzędnych sferycznych (ze stałymi a, b i c ) równanie r = 1 dla " [0, 2Ą) i
Ą " -Ą , . Stąd wprowadzając uogólnione przekształcenie sferyczne mamy: 2 2 ńł ł 0 2Ą ł Ą V !- V0 : -Ą 2 2 ł ół 0 r 1 Zatem objętość bryły V ograniczonej elipsoidą o półosiach a, b i c jest równa:
|V| = dxdydz = abc r2 cos drdd = V V0 ł ł Ą ł ł ł ł 2Ą 2 1 ł ł ł łł ł łł = d ł cos d abc r2 dr = łł Ą 0 0 - 2 r=1