METODA MAXWELLA-MOHRA
Metoda M-M ma zastosowanie przy wyznaczaniu przemieszczeń w konstrukcjach statycznie wyznaczalnych
oraz do wyznaczania reakcji w układach statycznie niewyznaczalnych.
Cechą charakterystyczną metody M-M jest obciążanie rozpatrywanej konstrukcji jednostkową siłą uogólnioną
(siła punktowa lub moment punktowy) działającą na kierunku poszukiwanego przemieszczenia.
W przypadku wyznaczania ugięć (przesunięć) przykładamy siłę  1 do punktu konstrukcji, którego ugięcie
obliczamy. Jeżeli wyznaczamy kąt ugięcia (kąt obrotu przekroju) przykładamy moment  1 w punkcie
przekroju, którego kąt ugięcia obliczamy.
Dla potrzeb obliczeń inżynierskich (dla konstrukcji płaskich) wzór Maxwella-Mohra można przedstawić w
postaci:
n
M(xk )M(xk )
´ = dxk
"
+"
EJz
k = 1
lk
gdzie:
´ - poszukiwane przemieszczenie,
k  liczba przedziałów użyta do wyznaczenia równań momentów gnących,
lk
- długość przedziału (całkujemy od 0 do wartości współrzędnej x na końcu przedziału),
k
M(xk ) - równania momentu gnącego w poszczególnych przedziałach dla ramy z obciążeniem
rzeczywistym,
M(xk ) - równania momentu gnącego w poszczególnych przedziałach dla ramy obciążonej tylko i
wyłącznie siłą jednostkową lub momentem jednostkowym,
E - moduł Younga,
Jz - moment bezwładności na zginanie przekroju poprzecznego ramy.
l
Całki typy
i k
i k
+"Ć Å" Ć dx można obliczyć metodÄ… tzw. mnożenia wykresów, jeżeli jedna z funkcji Ć i Ć jest
0
liniowa na odcinku dÅ‚ugoÅ›ci l. Mianowicie mnożymy pole &! wykresu funkcji Ć przez rzÄ™dnÄ… É wykresu
i i k
funkcji Ć (ograniczonego prostą o stałym nachyleniu) znajdującą się pod środkiem ciężkości pola &! .
k i
l
i k j k
+"Ć Å" Ć dx = &! Å" É
0
x
&!i
Ći
x
Ék
Ćk
Należy zaznaczyć, że w przypadku gdy oba wykresy Ć i Ć są liniowe, wtedy możemy wyznaczyć pole
i k
któregokolwiek wykresu i pomnożyć je przez rzędną wykresu drugiego czyli:
l
i k j k k j
+"Ć Å" Ć dx = &! Å" É = &! Å" É
0
Iloczyn &!Å"É jest dodatni, jeżeli pola wykresów sÄ… tego samego znaku i ujemny gdy wykresy majÄ… różne znaki.
Pola figur i położenia środków ciężkości
POLE ÅšRODEK CI
ŻKOŚCI
a
xc
&! X
C
1
f
l Å" f l
2
l
ax
xc
1 2
l Å" f l
f
2 3
l
ax2
xc
1 3
f
l Å" f l
3 4
l
POST
POWANIE PRZY STOSOWANIU
WZORU MAXWELLA-MOHRA:
1) Obciążyć układ siłami czynnymi i wyznaczyć reakcje podpór.
2) Obciążyć układ tylko i wyłącznie siłą jednostkową w miejscu i na kierunku
poszukiwanego przemieszczenia oraz wyznaczyć reakcje podpór.
(uwaga: jeżeli poszukujemy przesunięcia pionowego - obciążamy układ siła
jednostkową pionową, jeżeli poszukujemy przesunięcia poziomego -
obciążamy układ siła jednostkową poziomą, jeżeli poszukujemy kąta obrotu
- obciążamy układ momentem jednostkowym)
3) Przyjąć przedziały do opisu sił wewnętrznych identyczne w obu przypadkach
obciążeń.
4) Napisać wyrażenia sił wewnętrznych dla obu układów.
5) Zastosować wzór Maxwella-Mohra do obliczenia poszukiwanego
przemieszczenia.
POST
POWANIE PRZY STOSOWANIU
SPOSOBU WERESZCZAGINA
DO OBLICZANIA CAA
EK MAXWELLA-MOHRA:
1) Sporządzić wykresy sił wewnętrznych S(x) od obciążenia układu siłami
czynnymi (rzeczywiście działającymi na konstrukcje)
2) Sporządzić wykresy sił wewnętrznych S (x) od obciążenia układu siłą
1
jednostkową przyłożoną w miejscu i na kierunku poszukiwanego
przemieszczenia.
3) Obliczyć powierzchnię &! i wyznaczyć środki ciężkości x pól wykresu S(x)
c
odpowiadajÄ…cych odcinkom prostym S (x)
1
4) Wyznaczyć rzÄ™dne (wartoÅ›ci funkcji) Ö=S (x ) odpowiadajÄ…ce poÅ‚ożeniom
1 c
środków ciężkości pół wykresu S(x)
Podziału na pola wykresu S(x) dokonujemy po wykonaniu wykresu S (x) , kiedy
1
wiemy ile i jakie odcinki występują na wykresie S (x)
1
W przypadku złożonego obciążenia układu korzystniej jest stosować zasadę
superpozycji - wykresy S(x) mają prostą postać