Metoda Sił
w ujęciu macierzowym
Belka statycznie
niewyznaczalna
Więzy sprężyste
Wykonanie w programie Matlab
Układy z więzami sprężystymi
J. Ledziński  Mechanika budowli cz.2
W rzeczywistych układach statycznych często
występują więzy ograniczające swobodę obrotów
i przesuwów w sposób sprężysty, proporcjonalnie do ich
sztywności.
Sprężyste więzy przeciwobrotowe nakładają na układ
dodatkowe ograniczenia. Każde ograniczenie swobody
podwyższa stopień statycznej niewyznaczalności.
Zasadnicza różnica między więzami sprężystymi
(podatnymi) a więzami niepodatnymi polega ntym, że na
przykład w utwierdzeniu niepodatnym kąt obrotu jest
równy zero a w utwierdzeniu sprężystym fð=M·k-1.
Układy z więzami sprężystymi
J. Ledziński  Mechanika budowli cz.2
Układy statyczne z więzami sprężystymi
rozwiązujemy metodą sił w omówiony dotychczas
sposób, jedynie przemieszczenia obliczamy ze wzoru:
M M
MiMk
ji jk
si sk
dð =ð ds +ð +ð
ik åð åð åðR kR
òð
EI k
j s
j s
MiMp M M RsiR
ji jp sp
dð =ð +ð
åðòð EI ds +ðåð åð
ip
k ks
j s
j
gdzie:
kj  sztywność kolejnego więzu przeciwobrotowego
ks  sztywność kolejnego więzu przeciprzesuwnego
Rozważana belka
q=1,0 kN/m M=4 kNm P=2 kN
kN
ks EI ks=1000 /m 2EI
4,0 m 6,0 m
Ze względu na to, że macierz podatności dla układu z
więzami sprężystymi jest różna od macierzy podatności
dla układu z więzami niepodatnymi, poprzednio
uzyskane rozwiązanie dla belki poddanej obciążeniu
statycznemu nie jest właściwe.
Obliczenie elementów macierzy Dð
Obecnie rozważamy belkę z więzami sprężystymi 
tylko przeciwprzesuwnymi. W takim przypadku nie
nastąpiło ograniczenie swobody układu czyli
uwzględnienie sprężystości podpór nie podwyższa stopnia
statycznej niewyznaczalności. Jeśli tak, to SNS układu nie
ulega zmianie i możemy dalej korzystać z
dotychczasowego układu podstawowego.
Stąd elementy macierzy podatności mogą być
wyliczane ze wzoru:
R R
*
si sk
dð =ð dðik +ð
åð
ik
k
s
s
gdzie:
dðik  macierz podatnoÅ›ci dla belki o wiÄ™zach niepodatnych
Obliczenie elementów wektora Dðp
Elementy wektora wyrazów wolnych mogą być
wyliczane ze wzoru:
R R
si sp
*
dð =ð dðip +ð
ip åð
ks
s
gdzie:
dðip  wektor wyrazów wolnych dla belki o wiÄ™zach niepodatnych
Obliczenie elementów Dð i Dðp
RsiRsp
RsiRsk oraz
Aby wyliczyć człony:
åð
åð
ks
ks
s
s
potrzebne są reakcje w poszczególnych podporach od
obciążeń jednostkowych oraz obciążenia zewnętrznego.
M1
#2
1,0 1,0
#1 #3
l = 4,0 l = 6,0
1/4 1/4 1/6 1/6
1,0
R11=1/4 R21=1/4+1/6=10/24 R31=1/6
Obliczenie elementów Dð i Dðp  c.d.
1,0
#1 #2 #3
M2
1,0
R12=0 R22=1/6 R32=1/6
Obliczenie elementów Dð i Dðp c.d.
#1 #2 #3
2,0
Mp
4,0
5,0
R1p=2.0 R2p=2.333 R3p=1.667
Obliczenie elementów Dð i Dðp c.d.
Po rozpisaniu względem indeksów, otrzymujemy, że
dodatkowe człony dla poszczególnych elementów
wynoszÄ…:

dð11 Ä…ð (R11·R11 + R21·R21)/k
Uwaga: uwzględniamy tylko podpory #1 i #2, gdyż
tylko tam są więzy sprężyste

dð21 ð=ðdð12 Ä…ð (R11·R12 + R21·R22)/k

dð22 Ä…ð (R12·R12 + R22·R22)/k

dð1p Ä…ð (R11·R1p + R21·R2p)/k

dð2p Ä…ð (R12·R1p + R22·R2p)/k
Obliczenie elementów Dð i Dðp c.d.
PodstawiajÄ…c i uwzglÄ™dniajÄ…c zwroty reakcji (éð jako +)
otrzymujemy dodatkowe człony dla:
1 10

dð11 Ä…ð (1/4· /4 + (-10/24) · (- /24)) /k

dð21 ð=ðdð12 Ä…ð (0 + (-10/24 ) ·1/6) /k
1 1

dð22 Ä…ð ( 0 + /6· /6) /k

dð1p Ä…ð (1/4· 2.0+ (-10/24 ) · 2.333) /k
1

dð2p Ä…ð (0 + /6· 2.333) /k
Zmiany w skrypcie
W skrypcie dopisujemy linie modyfikujÄ…ce
dotychczasowe elementy macierzy Dð i wektora Dðp:
Zmiany w skrypcie  c.d.
Aby wyniki przedstawionych na poprzednim slajdzie
obliczeń były prawidłowe należy zmodyfikować fragment
skryptu kluczowy dla wyliczenia macierzy A, a co za tym
idzie macierzy Dð i wektora Dðp .
Należy pamiętać o podaniu wartości modułu Young a
i wartości momentu bezwładności przekroju oraz
uwzględnieniu ich w podmacierzach macierzy A
używanej do całkowania metodą Simpsona.
Zmiany w skrypcie  c.d.
Do tej pory nie było konieczne podawanie wartości
iloczynu EI (uwzględniano jedynie stosunek sztywności
poszczególnych przęseł belki), gdyż ten jako stały
mnożnik upraszczaÅ‚ siÄ™ przy wyliczaniu X= -Dð-ð1ð·Dðp.
MiMk Rsk
si
dð =ð ds +ð
åð åðR ks
ik
òð
EI
s
MiMp R Rsp
si
dð =ð ds +ð
ip åð åð
òð
EI ks
s
Obecnie to uproszczenie nie może nastąpić, gdyż EI
nie występuje w członach wzoru Maxwella-Mohra
wykorzystywanych do wyliczenia przemieszczeń układu
wynikających z istnienia więzów sprężystych.
Wyniki dla obciążenia statycznego  układ o
więzach niepodatnych
Przemieszczenia
Momenty zginajÄ…ce [kNm]
Wyniki dla obciążenia statycznego  układ o
więzach sprężystych
Przemieszczenia
Momenty zginajÄ…ce [kNm]
Porównanie wykresów
Momenty zginajÄ…ce [kNm]
Momenty zginajÄ…ce [kNm]  belka z podporami
sprężystymi
Wnioski

Przy rozwiązywaniu układów statycznie
niewyznaczalnych o więzach niepodatnych,
poddanych obciążeniu statycznemu wystarczy
uwzględnić stosunki sztywności pomiędzy
poszczególnymi elementami.

W przypadku układów o więzach sprężystych należy
pamiętać o tym, że otrzymane rozwiązanie jest
zależne od iloczynu EI, tj. materiału, z którego
wykonana jest konstrukcja, charakterystyk
geometrycznych elementów oraz sztywności więzów
podporowych.

Sztywność, podatność więzów podporowych
(podłoża, konstrukcji wsporczej) przyjmuje się
zgodnie z odpowiednimi normami lub oblicza.

Uwzględnienie sprężystości więzów podporowych
prowadzi do znaczących różnic w rozwiązaniu
zadania statyki konstrukcji.
Sprawozdanie
Sprawozdanie z tej części projektu powinno zawierać:
1) schemat belki z uwzględnieniem podpór sprężystych
2) rozpisane dodatkowe człony dla elementów macierzy
podatności tak, jak pokazano to na stronie 11.
3) wyrażenia na obliczanie elementów wektora Dðp tak,
jak to pokazano na stronie 8.
4) wykres momentów zginających od obciążenia
statycznego dla belki o podporach niepodatnych 
przerysować z części pierwszej projektu
5) wykres momentów zginających od obciążenia
statycznego dla belki o podporach sprężystych