www.gruparectan.com
/rectanbudownictwo
Zadanie : Wyznaczyć położenie głównych centralnych osi bezwładności i obliczyć główne centralne momenty
bezwładności
* RozwiÄ…zanie zadania *
Oznaczenia :
A [cm²] - pole powierzchni figury
Xo [cm] - współrzędna X środka ciężkości figury w układzie globalnym
Yo [cm] - współrzędna Y środka ciężkości figury w układzie globalnym
A·x [cmÅ‚] - moment statyczny wzglÄ™dem osi Y w ukÅ‚adzie globalnym
A·y [cmÅ‚] - moment statyczny wzglÄ™dem osi X w ukÅ‚adzie globalnym
Xc [cm] - współrzędna X środka ciężkości układu figur w układzie globalnym
Yc [cm] - współrzędna Y środka ciężkości układu figur w układzie globalnym
xc [cm] - odległość X pomiędzy środkiem ciężkości figury a środkiem ciężkości układu
yc [cm] - odległość Y pomiędzy środkiem ciężkości figury a środkiem ciężkości układu
Jx [cm4] - moment bezwładności figury względem osi X
Jy [cm4] - moment bezwładności figury względem osi Y
Dxy [cm4] - dewiacyjny moment bezwładności figury
A·x·x [cm4] - element do wzoru Steinera
A·y·y [cm4] - element do wzoru Steinera
A·x·y [cm4] - element do wzoru Steinera
...............................................................................................................................................................................................................................
Tabela 1 Środki ciężkości Figur
Fig. Xo [cm] Yo [cm] A [cm²] A·x [cmÅ‚] A·y [cmÅ‚]
1 5,490 10,000 32,200 176,778 322,000
2 10,240 17,260 15,500 158,720 267,530
Sumy 47,700 335,498 589,530
Strona :1
1. Położenie XcYc głównych centralnych osi bezwładności względem układu XY
Tabela 2 Momenty i Dewiacje
Fig. xc [cm] yc [cm] Jx [cm4] Jy [cm4] Dxy [cm4] A·x·x [cm4] A·y·y [cm4] A·x·y [cm4]
1 -1,544 -2,359 1910,000 148,000 0,000 76,713 179,207 117,250
2 3,206 4,901 145,000 145,000 85,100 159,365 372,289 243,577
Sumy 2055,000 293,000 85,100 236,078 551,496 360,827
1. Momenty bezwładności
...............................................................................................................................................................................................................................
1.1.Figura Ceownik 200 U
kÄ…t OX : -180 [stopnie]
1.1.1. Odległości środka ciężkości figury od osi X i Y
1.1.2. Wartości Jxo, Jyo, Dxyo w układzie XoYo pierwsza ćwiartka bez obrotu figury
Strona :2
1.1.3. Obliczenie nowych wartości środka ciężkości figury po obrocie o kąt
dla uproszczenia obliczeń najpierw dokonamy obrotu figury w układzie lokalnym o kąt a potem przemieszczenia o wektor do
punktu docelowego
figura znajduje się teraz w takim położeniu jak wzory podane na obliczanie momentów
układ taki nazywamy układem lokalnym figury
współrzędne X i Y obliczamy ze wzorów na obrót układu :
gdzie X i Y to punkt po transformacji a X' i Y' punkt przed transformacjÄ…
gdzie Ć to kąt obrotu figury układ X'Y' względem układu XY
i jeżeli jest on zgodny z ruchem wskazówek zegara to jest on ujemny
transformacja figury obróconej do punktu docelowego o wektor dX i dY
Strona :3
Gdzie dX i dY to współrzędne początku figury w nowym położeniu
1.1.4. Momenty i dewiacje dla układu nachylonego względem naszego układu XY
(ponieważ kąt nachylenia analizowanej figury jest różny od zera i wynosi jak poniżej to należy obliczyć układ nachylony )
Momenty wejściowe do obliczenia układu nachylonego
1.1.5. Jx w układzie nachylonym
1.1.6. Jy w układzie nachylonym
Strona :4
1.1.7. Dxy w układzie nachylonym
1.1.8. Ocena czy figura podana została jako ujemna
pole dodatnie : figura została podana jako dodatnia wartości : Jxo, Jyo, Dxyo zostaną przy swoich znakach
1.1.9. Odległości od środka ciężkości figury do środka ciężkości układu
...............................................................................................................................................................................................................................
1.2.Figura KÄ…townik RR 100x100x8
kÄ…t OX : -270 [stopnie]
1.2.1. Odległości środka ciężkości figury od osi X i Y
1.2.2. Wartości Jxo, Jyo, Dxyo w układzie XoYo pierwsza ćwiartka bez obrotu figury
Strona :5
1.2.3. Dewiacja dla kształtownika w układzie XoYo
(Dewiacja jest wyliczana w położeniu bez nachylenia kształtownika względem układu XcYc)
(potrzebny odczyt z tablic Jmin , tanges beta 'n-n' - kąta nachylenia osi głównych)
1.2.4. Obliczenie nowych wartości środka ciężkości figury po obrocie o kąt
dla uproszczenia obliczeń najpierw dokonamy obrotu figury w układzie lokalnym o kąt a potem przemieszczenia o wektor do
punktu docelowego
figura znajduje się teraz w takim położeniu jak wzory podane na obliczanie momentów
układ taki nazywamy układem lokalnym figury
współrzędne X i Y obliczamy ze wzorów na obrót układu :
gdzie X i Y to punkt po transformacji a X' i Y' punkt przed transformacjÄ…
gdzie Ć to kąt obrotu figury układ X'Y' względem układu XY
i jeżeli jest on zgodny z ruchem wskazówek zegara to jest on ujemny
Strona :6
transformacja figury obróconej do punktu docelowego o wektor dX i dY
Gdzie dX i dY to współrzędne początku figury w nowym położeniu
1.2.5. Momenty i dewiacje dla układu nachylonego względem naszego układu XY
(ponieważ kąt nachylenia analizowanej figury jest różny od zera i wynosi jak poniżej to należy obliczyć układ nachylony )
Momenty wejściowe do obliczenia układu nachylonego
1.2.6. Jx w układzie nachylonym
Strona :7
1.2.7. Jy w układzie nachylonym
1.2.8. Dxy w układzie nachylonym
1.2.9. Ocena czy figura podana została jako ujemna
pole dodatnie : figura została podana jako dodatnia wartości : Jxo, Jyo, Dxyo zostaną przy swoich znakach
1.2.10. Odległości od środka ciężkości figury do środka ciężkości układu
...............................................................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................................................
2. Centralne Momenty bezwładności dla układu XcYc względem środka ciężkości Osi
Centralnych
Strona :8
2.1. Sumy częściowe Jxo , Jyo , Dxoyo
3. Jxc , Jyc , Dxyc całego układu zgodnie z twierdzeniem Steinera
3.1. Zestawienie Centralnych Jxc , Jyc , Dxyc do dalszych obliczeń
to są Centralne Momenty Bezwładności układu figur
...............................................................................................................................................................................................................................
4. Kąt OXc Głównych Centralnych osi bezwładności
4.1. KÄ…t alfa
Strona :9
...............................................................................................................................................................................................................................
5. Główne Centralne momenty bezwładności
5.1. Jmax
5.2. Jmin
...............................................................................................................................................................................................................................
6. Sprawdzenie
6.1. Niezmiennik J1
6.2. Niezmiennik J2
Strona :10
...............................................................................................................................................................................................................................
7. Momenty bezwładności dla naszego układu XY w punkcie [0,0]
8. Szkic projektu
Strona :11
...............................................................................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................................................................ ...
Wydruk Rectan
Copyright © 2014 Grupa Rectan
www.gruparectan.com
Strona :12