Prawa ruchu: dynamika
Fizyka I (B+C)
Wykład XII:
" Siły sprężyste
" Opory ruchu
�! Tarcie
�! Lepkość
�! Ruch w ośrodku
Siła sprężysta
Prawo Hooke a
Prawo Hooke a jest prawem empirycznym
Opisuje zależność siły sprężystej od
Jest słuszne tylko dla małych naprężeń.
odkształcenia ciała:
granica wytrzymałości �!
L
Cu: E = 1.2 � 1011 N
m2
S
P r = 1.9 � 108 N
m2
F
P r <" 10-3 E
"L
"L
F = E S
L
E - moduł Younga [N/m2]
naprężenie odpowiadające dwukrotnemu wydłużeniu
granica proporcjonalności ę! (P r)
A.F.Żarnecki Wykład XII 1
Siła sprężysta
Relaksacja
Histereza
Prawo Hooke a odnosi się do sytuacji statycznej.
Od momentu przyłożenia siły do osiągnięcia
odpowiedniego odkształcenie mija skończony
czas - czas relaksacji
Przyłożenie dużej siły, nawet na krótki
czas może powodować trwałe
odkształcenie
�! trzeba przyłożyć siłę
podobnie gdy siła przestanie działać
przeciwnie skierowaną
A.F.Żarnecki Wykład XII 2
Tarcie
Tarcie kinetyczne
Siła pojawiająca się między dwoma powierzchniami
poruszającymi się względem siebie, dociskanymi siłą N.
Ścisły opis sił tarcia jest bardzo skomplikowany.
�! Prawo empiryczne:
R
v
v
T
T = -�k iv N iv =
v
Siła tarcia kinetycznego:
" jest proporcjonalna do Ą" siły dociskającej
N
" nie zależy od powierzchni zetknięcia
" nie zależy od prędkości
Prawo empiryczne �! przybliżone !!!
A.F.Żarnecki Wykład XII 3
Tarcie
Obraz mikroskopowy
Tarcie wywołane jest przez oddziaływanie
elektromagnetyczne cząstek stykających
się ciał.
Powierzchnie nigdy nie są idealnie równe
na poziomie mikroskopowym cząstki
jednego ciała  blokują drogę cząstkom
drugiego ciała
�! muszą zostać  odepchnięte
wypolerowana miedz
�!
A.F.Żarnecki Wykład XII 4
Tarcie
Zależność od nacisku
Powierzchnia rzeczywistego (mikroskopowego)
styku ciał jest w normalnych warunkach wiele
rzędów wielkości mniejsza niż powierzchnia
geometryczna:
siła ułamek
dociskająca powierzchni
1 N/cm2 0.00001
�! efektywna powierzchnia styku
2.5 N/cm2 0.000025
proporcjonalna do nacisku
50 N/cm2 0.0005
250 N/cm2 0.0025
�! liczba oddziaływań na poziomie
atomowym proporcjonalna do nacisku
A.F.Żarnecki Wykład XII 5
Tarcie
Odstępstwa od praw empirycznych
Przy dużych prędkościach może się Przy dużych siłach dociskających mogą się
pojawić zależność �k od prędkości v: pojawić odstępstwa od zależnosci liniowej:
stal i miedz
miedz
i miedż
Przy dużym nasisku zniszczeniu ulega
warstwa tlenków na powierzchni miedzi...
Przy bardzo dużych prędkościach miedz

ulega chwilowemy stopieniu...
A.F.Żarnecki Wykład XII 6
Tarcie
Ścieranie Smarowanie
Na poziomie mikroskopowym tarcie Tarcie zmniejszamy wprowadzając smar
prowadzi trwałych zmian w stykających między poruszające się powierzchnie.
się powierzchniach.
Fragmenty miedzi przyłączone
do powierzchni stali:
Powierzchnie nie stykają się �! brak tarcia
�! pojawia się jednak nowa siła oporu
związana z lepkością
A.F.Żarnecki Wykład XII 7
Tarcie
Tarcie statyczne
Siła działająca między dwoma powierzchniami
nieruchomymi względem siebie, dociskanymi siłą N.
max
Maksymalna siła tarcia statycznego TS jest
równa najmniejszej sile F jaką należy przyłożyć do
T
R
ciała, aby ruszyć je z miejsca.
Prawo empiryczne:
N
F
mg max
TS = -�s iF N iF =
F
Ciało pozostaje w równowadze
dzięki działaniu tarcia statycznego
A.F.Żarnecki Wykład XII 8
Tarcie
Tarcie statyczne
Póki przyłożona siła F jest mała, tarcie statyczne
utrzymuje ciało w spoczynku:
Ts = -F
�! siła tarcia rośnie proporcjonalnie do przyłożonej siły.
max
Gdy przyłożona siła przekroczy wartość TS = �s � N
ciało zaczyna się poruszać �! tarcie kinetyczne
Ts
Tarcie kinetyczne naogół słabsze od spoczynkowego: �k < �s
A.F.Żarnecki Wykład XII 9
Tarcie
Współczynniki tarcia
Przykładowe współczynniki
dla wybranych materiałów:
Hamowanie samochodu:
ważne aby koła nie zaczęły się ślizgać
" poślizg �! �k
" dobry kierowca lub ABS �! �s
zysk <"40% na drodze hamowania
A.F.Żarnecki Wykład XII 10
Tarcie
Tarcie toczne
Poza tarciem statycznym i kinetycznym
(poślizgowym) mamy tarcie toczne:
N
Tt = -�t iF
r
Współczynnik tarcia tocznego �t
jest zwykle bardzo mały
N
Przykładowo:
Toczące się ciało odkształca zawsze
" drewno + drewno �! �t= 0,0005 m
powierzchnię po której się toczy.
" stal hartowana + stal �! �t= 0,00001 m
(wymiar długości!)
A.F.Żarnecki Wykład XII 11
Lepkość
Ciało poruszające się  tarcie wewnętrzne pomiędzy warstwami cieczy
po powierzchni cieczy: poruszającymi się z różnymi prędkościami.
Formuła empiryczna:
v S
FL = - iV �
d
gdzie: v - prędkość ciała
S - powierzchnia styku z cieczą
d - głębokość naczynia
Warstwa cieczy przylegająca do
� - współczynnik lepkości
ciała porusza się wraz z nim.
Warstwa cieczy przylegająca do
dna spoczywa.
A.F.Żarnecki Wykład XII 12
Lepkość
Typowe wartości: Lepkość cieczy maleje z temperaturą
Lepkość gazów rośnie z temperaturą
eter 0.0002 Ns/m2
woda 0.001 Ns/m2
ciecz
gliceryna 1.5 Ns/m2
miód 500. Ns/m2
wodór 0.000009 Ns/m2
gaz
powietrze 0.000018 Ns/m2
tlen 0.000021 Ns/m2
A.F.Żarnecki Wykład XII 13
Ruch w ośrodku
Opór czołowy
Siły jakie działają na ciało poruszające Z analizy wymiarowej:
się w ośrodku możemy podzielić na:
C
Fć% = - iv �v2S

2
" siłę oporu czołowego Fć% ę!�! v
gdzie: v - prędkość ciała
" siłę nośną FN Ą" v
S - powierzchnia poprzeczna
� - gęstość cieczy
C -bezwymiarowy współczynnik zależny od
kształtu ciała, jego orientacji względem v
oraz bezwymiarowej kombinacji parametrów:
v l �
Re =
�
Re - liczba Reynoldsa, l - wymiar poprzeczny
O.Reynolds (1883): skalowanie przepływów cieczy
A.F.Żarnecki Wykład XII 14
Ruch w ośrodku
Opór czołowy
Dla ciała kulistego i Re 1 Wyniki pomiarów współczynnika C dla kuli:
istnieje ścisłe rozwiązanie problemu:
(G.Stokes 1851)
24
C =
Re
Fć% = -6Ą�r v
24
C H"
Re
siła oporu proporcjonalna do v
4
C H" ę! ę! C H" 0.45
Re0.3
W obszarze dużych wartości Re
C H"


Fć% <" v2
A.F.Żarnecki Wykład XII 15
Ruch w ośrodku
Prędkość graniczna
Równanie ruchu kuli spadającej w cieczy (Re 1)
ma = mg - mpg - 6Ą�rv
Rozwiązanie (ruch w pionie):
6Ą�r
v(t) = vgr + (v0 - vgr) exp - t
m
vgr - prędkość graniczna
A.F.Żarnecki Wykład XII 16
Ruch w ośrodku
Prędkość graniczna Zależność od kształtu
Dla kuli spadającej w cieczy (Re 1) Kula:
2 r2g(� - �p)
Fć% = -6Ą �r v
vgr =
9 �
H" -18.8 �r v
Dysk (Ą" v):
Fć% = -16 �r v
Dysk (|| v):
32
Fć% = - �r v
3
A.F.Żarnecki Wykład XII 17
Ruch w ośrodku
Prawo Bernouliego
Lepkość nie jest jedynym z
ródłem sił działających na ciało w ośrodku.
�v2
Prawo Bernouliego: �gh + + p = const
2
Ciśnienie cieczy (nacisk na jednostkę powierzchni ciała) jest mniejsze
w obszarze wiekszych prędkości opływania
�! ciało jest  wciągane w obszar wiekszych prędkości
A.F.Żarnecki Wykład XII 18
Ruch w ośrodku
Zjawisko Magnusa
Walec wirujący w przepływającej poprzecznie
do osi obrotu cieczy lub gazie.
zgodne kierunki prędkości:
�! prędkość przepływu wzrasta
�! ciśnienie maleje
przeciwne kierunki prędkości:
�! prędkość przepływu maleje
�! ciśnienie wzrasta
�! wypadkowa siła nośna FN Ą" v
A.F.Żarnecki Wykład XII 19