Prawa ruchu: dynamika
Fizyka I (B+C)
Wykład XII:
" Siły sprężyste
" Opory ruchu
Ò! Tarcie
Ò! Lepkość
Ò! Ruch w oÅ›rodku
Siła sprężysta
Prawo Hooke a
Prawo Hooke a jest prawem empirycznym
Opisuje zależność siły sprężystej od
Jest słuszne tylko dla małych naprężeń.
odkształcenia ciała:
granica wytrzymaÅ‚oÅ›ci “!
L
Cu: E = 1.2 · 1011 N
m2
S
P r = 1.9 · 108 N
m2
F
P r <" 10-3 E
"L
"L
F = E S
L
E - moduł Younga [N/m2]
naprężenie odpowiadające dwukrotnemu wydłużeniu
granica proporcjonalności ę! (P r)
A.F.Żarnecki Wykład XII 1
Siła sprężysta
Relaksacja
Histereza
Prawo Hooke a odnosi siÄ™ do sytuacji statycznej.
Od momentu przyłożenia siły do osiągnięcia
odpowiedniego odkształcenie mija skończony
czas - czas relaksacji
Przyłożenie dużej siły, nawet na krótki
czas może powodować trwałe
odkształcenie
Ò! trzeba przyÅ‚ożyć siłę
podobnie gdy siła przestanie działać
przeciwnie skierowanÄ…
A.F.Żarnecki Wykład XII 2
Tarcie
Tarcie kinetyczne
Siła pojawiająca się między dwoma powierzchniami
poruszającymi się względem siebie, dociskanymi siłą N.
Ścisły opis sił tarcia jest bardzo skomplikowany.
Ò! Prawo empiryczne:
R
v
v
T
T = -µk iv N iv =
v
Siła tarcia kinetycznego:
" jest proporcjonalna do Ą" siły dociskającej
N
" nie zależy od powierzchni zetknięcia
" nie zależy od prędkości
Prawo empiryczne Ò! przybliżone !!!
A.F.Żarnecki Wykład XII 3
Tarcie
Obraz mikroskopowy
Tarcie wywołane jest przez oddziaływanie
elektromagnetyczne czÄ…stek stykajÄ…cych
się ciał.
Powierzchnie nigdy nie są idealnie równe
na poziomie mikroskopowym czÄ…stki
jednego ciała blokują drogę cząstkom
drugiego ciała
Ò! muszÄ… zostać odepchniÄ™te
wypolerowana miedz Ò!
A.F.Żarnecki Wykład XII 4
Tarcie
Zależność od nacisku
Powierzchnia rzeczywistego (mikroskopowego)
styku ciał jest w normalnych warunkach wiele
rzędów wielkości mniejsza niż powierzchnia
geometryczna:
siła ułamek
dociskajÄ…ca powierzchni
1 N/cm2 0.00001
Ò! efektywna powierzchnia styku
2.5 N/cm2 0.000025
proporcjonalna do nacisku
50 N/cm2 0.0005
250 N/cm2 0.0025
Ò! liczba oddziaÅ‚ywaÅ„ na poziomie
atomowym proporcjonalna do nacisku
A.F.Żarnecki Wykład XII 5
Tarcie
Odstępstwa od praw empirycznych
Przy dużych prędkościach może się Przy dużych siłach dociskających mogą się
pojawić zależność µk od prÄ™dkoÅ›ci v: pojawić odstÄ™pstwa od zależnosci liniowej:
stal i miedz miedz i miedż
Przy dużym nasisku zniszczeniu ulega
warstwa tlenków na powierzchni miedzi...
Przy bardzo dużych prędkościach miedz
ulega chwilowemy stopieniu...
A.F.Żarnecki Wykład XII 6
Tarcie
Åšcieranie Smarowanie
Na poziomie mikroskopowym tarcie Tarcie zmniejszamy wprowadzajÄ…c smar
prowadzi trwałych zmian w stykających między poruszające się powierzchnie.
siÄ™ powierzchniach.
Fragmenty miedzi przyłączone
do powierzchni stali:
Powierzchnie nie stykajÄ… siÄ™ Ò! brak tarcia
Ò! pojawia siÄ™ jednak nowa siÅ‚a oporu
związana z lepkością
A.F.Żarnecki Wykład XII 7
Tarcie
Tarcie statyczne
Siła działająca między dwoma powierzchniami
nieruchomymi względem siebie, dociskanymi siłą N.
max
Maksymalna siła tarcia statycznego TS jest
równa najmniejszej sile F jaką należy przyłożyć do
T
R
ciała, aby ruszyć je z miejsca.
Prawo empiryczne:
N
F
mg max
TS = -µs iF N iF =
F
Ciało pozostaje w równowadze
dzięki działaniu tarcia statycznego
A.F.Żarnecki Wykład XII 8
Tarcie
Tarcie statyczne
Póki przyłożona siła F jest mała, tarcie statyczne
utrzymuje ciało w spoczynku:
Ts = -F
Ò! siÅ‚a tarcia roÅ›nie proporcjonalnie do przyÅ‚ożonej siÅ‚y.
max
Gdy przyÅ‚ożona siÅ‚a przekroczy wartość TS = µs · N
ciaÅ‚o zaczyna siÄ™ poruszać Ò! tarcie kinetyczne
Ts
Tarcie kinetyczne naogół sÅ‚absze od spoczynkowego: µk < µs
A.F.Żarnecki Wykład XII 9
Tarcie
Współczynniki tarcia
Przykładowe współczynniki
dla wybranych materiałów:
Hamowanie samochodu:
ważne aby koła nie zaczęły się ślizgać
" poÅ›lizg Ò! µk
" dobry kierowca lub ABS Ò! µs
zysk <"40% na drodze hamowania
A.F.Żarnecki Wykład XII 10
Tarcie
Tarcie toczne
Poza tarciem statycznym i kinetycznym
(poślizgowym) mamy tarcie toczne:
N
Tt = -µt iF
r
Współczynnik tarcia tocznego µt
jest zwykle bardzo mały
N
Przykładowo:
Toczące się ciało odkształca zawsze
" drewno + drewno Ò! µt= 0,0005 m
powierzchnię po której się toczy.
" stal hartowana + stal Ò! µt= 0,00001 m
(wymiar długości!)
A.F.Żarnecki Wykład XII 11
Lepkość
Ciało poruszające się tarcie wewnętrzne pomiędzy warstwami cieczy
po powierzchni cieczy: poruszającymi się z różnymi prędkościami.
Formuła empiryczna:
v S
FL = - iV ·
d
gdzie: v - prędkość ciała
S - powierzchnia styku z cieczÄ…
d - głębokość naczynia
Warstwa cieczy przylegajÄ…ca do
· - współczynnik lepkoÅ›ci
ciała porusza się wraz z nim.
Warstwa cieczy przylegajÄ…ca do
dna spoczywa.
A.F.Żarnecki Wykład XII 12
Lepkość
Typowe wartości: Lepkość cieczy maleje z temperaturą
Lepkość gazów rośnie z temperaturą
eter 0.0002 Ns/m2
woda 0.001 Ns/m2
ciecz
gliceryna 1.5 Ns/m2
miód 500. Ns/m2
wodór 0.000009 Ns/m2
gaz
powietrze 0.000018 Ns/m2
tlen 0.000021 Ns/m2
A.F.Żarnecki Wykład XII 13
Ruch w ośrodku
Opór czołowy
Siły jakie działają na ciało poruszające Z analizy wymiarowej:
się w ośrodku możemy podzielić na:
C
Fć% = - iv Áv2S
2
" siłę oporu czoÅ‚owego Fć% Ä™!“! v
gdzie: v - prędkość ciała
" siłę nośną FN Ą" v
S - powierzchnia poprzeczna
Á - gÄ™stość cieczy
C -bezwymiarowy współczynnik zależny od
kształtu ciała, jego orientacji względem v
oraz bezwymiarowej kombinacji parametrów:
v l Á
Re =
·
Re - liczba Reynoldsa, l - wymiar poprzeczny
O.Reynolds (1883): skalowanie przepływów cieczy
A.F.Żarnecki Wykład XII 14
Ruch w ośrodku
Opór czołowy
Dla ciała kulistego i Re 1 Wyniki pomiarów współczynnika C dla kuli:
istnieje ścisłe rozwiązanie problemu:
(G.Stokes 1851)
24
C =
Re
Fć% = -6Ä„·r v
24
C H"
Re
siła oporu proporcjonalna do v
4
C H" Ä™! Ä™! C H" 0.45
Re0.3
W obszarze dużych wartości Re
C H"
Fć% <" v2
A.F.Żarnecki Wykład XII 15
Ruch w ośrodku
Prędkość graniczna
Równanie ruchu kuli spadającej w cieczy (Re 1)
ma = mg - mpg - 6Ä„·rv
RozwiÄ…zanie (ruch w pionie):
6Ä„·r
v(t) = vgr + (v0 - vgr) exp - t
m
vgr - prędkość graniczna
A.F.Żarnecki Wykład XII 16
Ruch w ośrodku
Prędkość graniczna Zależność od kształtu
Dla kuli spadajÄ…cej w cieczy (Re 1) Kula:
2 r2g(Á - Áp)
Fć% = -6Ä„ ·r v
vgr =
9 ·
H" -18.8 ·r v
Dysk (Ä„" v):
Fć% = -16 ·r v
Dysk (|| v):
32
Fć% = - ·r v
3
A.F.Żarnecki Wykład XII 17
Ruch w ośrodku
Prawo Bernouliego
Lepkość nie jest jedynym zródłem sił działających na ciało w ośrodku.
Áv2
Prawo Bernouliego: Ágh + + p = const
2
Ciśnienie cieczy (nacisk na jednostkę powierzchni ciała) jest mniejsze
w obszarze wiekszych prędkości opływania
Ò! ciaÅ‚o jest wciÄ…gane w obszar wiekszych prÄ™dkoÅ›ci
A.F.Żarnecki Wykład XII 18
Ruch w ośrodku
Zjawisko Magnusa
Walec wirujący w przepływającej poprzecznie
do osi obrotu cieczy lub gazie.
zgodne kierunki prędkości:
Ò! prÄ™dkość przepÅ‚ywu wzrasta
Ò! ciÅ›nienie maleje
przeciwne kierunki prędkości:
Ò! prÄ™dkość przepÅ‚ywu maleje
Ò! ciÅ›nienie wzrasta
Ò! wypadkowa siÅ‚a noÅ›na FN Ä„" v
A.F.Żarnecki Wykład XII 19