Laboratorium
Metod Obliczeniowych
Lab 3 - aproksymacja
dr inż. Andrzej Kułakowski Kielce 2012
Katedra Zastosowań Informatyki Politechnika Świętokrzyska w Kielcach
Laboratorium Metod Obliczeniowych
Aproksymacja
Laboratorium Metod Obliczeniowych
Aproksymacja
Laboratorium Metod Obliczeniowych
Aproksymacja  Metoda Najmniejszych Kwadratów
Laboratorium Metod Obliczeniowych
Aproksymacja punktowa :
Metoda Najmniejszych Kwadratów
i=m
szukamy wielomianu Qm(x)
Q śąxźą= aiÅ"xi
"
m
i =0
a0Å"S ƒÄ…a1Å"S1ƒÄ…‹Ä…ƒÄ…amÅ"S =T
0 m 0
a0Å"S1ƒÄ…a1Å"S ƒÄ…‹Ä…ƒÄ…amÅ"S =T
2 mƒÄ…1 1
‹Ä… ‹Ä…
a0Å"S ƒÄ…a1Å"S ƒÄ…‹Ä…ƒÄ…amÅ"S =T
k k ƒÄ…1 mƒÄ…k k
gdzie:
‹Ä… ‹Ä…
n
S = śąxiźąk k =0,1 ,‹Ä…,2 m
a0Å"S ƒÄ…a1Å"S ƒÄ…‹Ä…ƒÄ…amÅ"S2m=T
"
k
m mƒÄ…1 m
i=0
n
T = śąxiźąkÅ"yi k =0,1 ,‹Ä…, m
"
k
i=0
Laboratorium Metod Obliczeniowych
Aproksymacja  Metoda Najmniejszych Kwadratów
i 0 1 2 3
x 1 2 4 7
y 1.6 2.0 2.5 3.5
Przykład aproksymacji funkcją liniową:
.... x3 x2y
Laboratorium Metod Obliczeniowych
Aproksymacja  Metoda Najmniejszych Kwadratów
Dla aproksymacji funkcją liniową otrzymujemy układ dwóch równań
S0Å"a0ƒÄ…S1Å"a1=T 4Å"a0ƒÄ…14Å"a1=9.6
0
S1Å"a0ƒÄ…S Å"a1=T 14Å"a0ƒÄ…70Å"a1=40.1
2 1
a0=1.3 a1=0.3
Qm(x) =1.3+0.3·x
Laboratorium Metod Obliczeniowych
Aproksymacja 
Metoda Najmniejszych Kwadratów  2 wersja (z definicji)
m
e= śą f śąxiźą-yiźą2
"
i=0
funkcja aproksymujÄ…ca
a) f(x)=a0+a1Å"x
b) f(x)=a0+a1Å"x+a2Å"x2
przykład:
i 0 1 2 3
x 15 20 25 30
y 2 2.5 4.25 5
n=3 m=1 czyli przypadek a) ale dla przypadku b) m=2
Laboratorium Metod Obliczeniowych
Aproksymacja  MNK  2 wersja
4
przykÅ‚ad dla funkcji: f(x)=a0+a1Å"x
e= śą f śąxiźą-yiźą2 =
"
i=1
= (a0+15Å"a1-2)2+(a0+20Å"a1-2.5)2+(a0+25Å"a1-4.25)2+(a0+30Å"a1-5)2
"e
= 2Å"(a0+15Å"a1 -2)Å"1 +2Å"(a0+20Å"a1 -2.5)Å"1 +2Å"(a0+25Å"a1 -4.25)Å"1 +
" a0
+2Å"(a0+30Å"a1 -5)Å"1 = 2Å"a0+30Å"a1 -4+2Å"a0+40Å"a1 -5+2Å"a0+50Å"a1 -8.5+2Å"a0+60Å"a1 -10=
= 8Å"a0+180Å"a1 -27.5 = 0
"e
= 2Å"(a0+15Å"a1 -2)Å"15 +2Å"(a0+20Å"a1 -2.5)Å"20 +2Å"(a0+25Å"a1 -4.25)Å"25 +
" a1
+2Å"(a0+30Å"a1 -5)Å"30 = 30Å"a0+450Å"a1 -60+40Å"a0+800Å"a1 -100+
+50Å"a0+1250Å"a1 -212.5+60Å"a0+1800Å"a1 -300 = 180Å"a0+4300Å"a1 -672.5 = 0
Laboratorium Metod Obliczeniowych
Aproksymacja  MNK  2 wersja
8Å"a0+180Å"a1 -27.5 = 0
180Å"a0+4300Å"a1 -672.5 = 0
a0= -1.4 a1=0.215
f(x) = -1.4+0.215·x
Laboratorium Metod Obliczeniowych
Aproksymacja - sprawozdanie
1) błędy aproksymacji
2) program obliczający przykład dla m=1
3) screen z działania programu dla podanych punktów
4) wykres (punkty + funkcja aproksymujÄ…ca)
Laboratorium Metod Obliczeniowych
wykłady przygotowane na podstawie:
- Klamka J., Ogonowski Z., Jamicki M., Stasik M: Metody
numeryczne, Wyd. Politechniki ÅšlÄ…skiej, Gliwice 1998.
- materiałów dostępnych na serwerze
Katedry Wytrzymałości Materiałów i Metod Komputerowych Mechaniki
Wydziału Mechanicznego Technologicznego
Politechniki ÅšlÄ…skiej