8. PODSTAWY ANALIZY NIELINIOWEJ 1 8. Ł 8. PODSTAWY ANALIZY NIELINIOWEJ 8.1. Wprowadzenie Zadania nieliniowe mają swoje zastosowanie na przykład w rozwiązywaniu cięgien. Przyczyny nieliniowości: 1) geometryczne: " wynikające z uwzględnienia konfiguracji początkowej i końcowej Na przykład w sytuacji przedstawionej poniżej:
P
P l3 ą= zależy liniowo od obciążenia. Jeśli geometria po odkształceniu zmienia się nieznacznie to 3 EI można zadanie takie utożsamić z układem niezmienionym i postępować zgodnie z zasadą zesztywnienia. W rzeczywistości równowaga układu wystąpi, gdy zapiszemy jej warunki w układzie przemieszczonym (a więc mamy do czynienia z układem nieliniowym). " wynikające z uwzględnienia deformacji: 1 ąij= śąui , jąu ą ui , k u źą j ,i j , k (8.1) ą 2 efekt duzych deformacji 2) fizyczne ze względu na przyjęty materiał. J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak AlmaMater 8. PODSTAWY ANALIZY NIELINIOWEJ 2 W naszych rozważaniach zakładaliśmy materiał liniowy:
W rzeczywistości mamy do czynienia z materiałem nieliniowym, którym jest stal:
H"0 stal w temp. ok. 300oC T>0
czy też beton:
mikrorysy
odciążenia nie są makrorysy w wyniku po tej samej dalszych obciążeń ścieżce odciążenia 3) uwzględnienie tarcia J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak AlmaMater 8. PODSTAWY ANALIZY NIELINIOWEJ 3 4) uwzględnienie zmieniających się warunków brzegowych, na przykład: P P 0 P
0 Wszystkie wyżej wymienione czynniki mogą wystąpić jednocześnie, co stanowi przyczynę dużej nieliniowości. 8.2. Efekt nieliniowości w obliczeniach numerycznych Analizę przeprowadzimy dla elementów prętowych i cięgnowych) Układ równań nieliniowych algebraicznych k śąd źąd =ąp (8.2) Macierz sztywności układu zależy od przemieszczeń, co zapisujemy 2 2-x1 x1 4 = ą (8.3) [ ] [ ] [ ] 2 1-x1 x2 x2 Zakładamy obciążenie jednoparametrowe (uproszczenie) K =K ąK (8.4) o NL K gdzie -macierz nieliniowa , geometryczna NL EA -1 0 1 P 1 ą (8.5) [ ] [ ] L -1 1 A 1 0 Zmiana energii sprężystej na kroku J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak AlmaMater 8. PODSTAWY ANALIZY NIELINIOWEJ 4 ąoąąa E (8.6) U = ą d ą dAdL=E ąo ąa dAdxą ą2 dAdx +"+" +" +"+" +"+" a [ ] 2 L A ąo L A L A gdzie 2 2 du 1 dv d v (8.7) ąa= ą - y śą źą dx 2 dx dx jest odkształceniem na kroku Po podstawieniu 2 2 2 2 4 2 du 1 dv E du d v du du A dv (8.8) U =E ąo A ą dxą A ąI ąA ą dx +" +" śą źą śą źą śą źą śą źą [ ] śą źą [ dx 2 dx 2 dx ] dx2 dx dx 4 dx L L ą ą E ą2 (8.9) ą d ą= E ą d ą= +" +" 2 0 0 gdzie 1 ą= ui , jąu ąui , k u (8.10) śą źą j ,i j , k 2 Aproksymacja u=a0ąa1 x (8.11) (8.12) v=b0ąb1 xąb2 x2ąb3 x3 x x u= 1- u1ą u2 (8.13) śą źą l l 3 x2 2 x3 3 x2 2 x3 -2 x2ąxą x3 ą1ą -x2ą x3 ą2 v= 1- ą v1ą - v2ą (8.14) śą źą śą źą śą źą śą źą l l l2 l3 l2 l3 l2 l2 U możemy wyrazić jako funkcję przyrostów przemieszczeń J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak AlmaMater 8. PODSTAWY ANALIZY NIELINIOWEJ 5 (8.15) dT=[u1 , v1 ,ą1 ,u2 , v2 ,ą2 ,] Przyrostowa macierz sztywności K ą d =ą f (8.16) I Obliczamy początkową macierz sztywności ze wzoru AE AE K =K0ąK ą K1ą K (8.17) I P 2 2 3 d następnie wyznaczamy 1 K śąd =0źąd =ąp (8.18) d1 dla obliczonego obliczamy ą d K śąd1źąą d =ąąp (8.19) Dodajemy przemieszczenia zgodnie ze wzorem d =d ąą d (8.20) 2 1 d i obliczamy macierz sztywności od przemieszczeń . Następnie obliczamy ą d 2 K śąd źąą d =ąąp (8.21) 2 Pełna metoda Newtona tok obliczeń pokazano poniżej d Obliczamy przemieszczenia dla macierzy sztywności K śąd =0źą 1 K śąd =0źąd1 =ąąp (8.22) d następnie obliczamy macierz sztywności dla i obliczamy przemieszczenia ą d 1 2 K śąd1źąą d =-r1 (8.23) 2 dodajemy przemieszczenia d1ąą d =d (8.24) 2 2 J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak AlmaMater 8. PODSTAWY ANALIZY NIELINIOWEJ 6 dla sumarycznych przemieszczeń obliczamy nową macierz sztywności i obliczamy ą d 3 K śąd źąą d =-r2 (8.25) 2 3 Kończymy iterację gdy: (8.26) #" #" #"r #""ąą i Przyjmujemy kolejne poziomy obciążeń i dążymy do znalezienia odpowiedniego przemieszczenia przez iteracje. Przy każdej iteracji buduje się nową macierz sztywności zależną od odkształceń z poprzedniego kroku. K śąd ąą d źąą d =-r1 (8.27) 0 1 Jeżeli iteracja się zbiega, to wielkości niezrównoważonych sił zmniejszają się. K śąd ąą d ąą d źąą d =-r2 (8.28) 0 1 2 W nieliniowych zagadnieniach mechaniki konstrukcji pomiędzy wielkościami typu statycznego i geometrycznego zachodzi relacja proporcjonalności wyrażona przy pomocy współczynnika K charakteryzującego sztywność konstrukcji. W układach o wielu stopniach swobody rolę współczynnika proporcjonalności przejmuje macierz sztywności (8.29) q=K-1Q Przy braku proporcjonalności pomiędzy Q i q ich wzajemne zależności są nieliniowe. Macierz sztywności zależy od przemieszczeń. Wyznaczana jest przez styczna do krzywej o równaniu (8.30) Q= f śąqźą zatem jest różna dla poszczególnych punktów 8.3. Przyczyny nieliniowości Przyczyny nieliniowości mogą wynikać ze struktury materiału (np. materiały niejednorodne jak np. ą beton), czyli w braku proporcjonalności pomiędzy naprężeniami a odkształcenia ą . Jest to nieliniowość, J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak AlmaMater 8. PODSTAWY ANALIZY NIELINIOWEJ 7 którą nazywamy nieliniowością fizyczną, która może wystąpić również przy odkształceniach liniowo zależnych od przemieszczeń q. Ma to miejsce np. w zagadnieniach dotyczących plastyczności. Innym rodzajem nieliniowości jest ta, która wynika z braku proporcjonalności pomiędzy odkształceniami ą i przemieszczeniami q, co może mieć miejsce np. przy liniowych zależnościach pomiędzy odkształceniami ą a naprężeniami ą . Mamy tu na myśli np. zagadnienia stateczności sprężystej. Jest to nieliniowość geometryczna, związana z dużymi przemieszczeniami, które należy uwzględnić przy budowaniu równań równowagi. Niekiedy mogą występować takie przypadki, że pomimo małych przemieszczeń należy uwzględnić ich wpływ, aby w ogóle możliwe było zapisanie warunków równowagi. Stosowane współcześnie konstrukcje wiotkie, często o dużych rozpiętościach, albo też zbudowane z materiałów pracujących w stanie plastycznym wymagają obliczeń nieliniowych. Nieliniowość może mieć także charakter łączny, czyli jednocześnie mogą występować nieliniowość fizyczna i geometryczna np. w konstrukcjach z materiałów gumowych lub gumopochodnych. Dotyczy to również asfaltów i gruntów, stąd też zagadnienia dotyczące obliczeń gruntów należą do bardzo trudnych. Wymagają odpowiedniego podejścia i przyjęcia skomplikowanych założeń przy matematycznych tworzeniu modelu. 8.4. Rozwiązanie W zagadnieniach nieliniowych wyznaczenie Q przy danych q, lub też odwrotnie wyznaczeniu q przy znanych Q, jest praktycznie niewykonalne przy pomocy metod bezpośrednich. Możliwe jest uzyskanie wyników (rozwiązań) przybliżonych poprzez zastosowanie linearyzacji lub też przez stosowanie specjalnych algorytmów obliczeniowych. Równanie równowagi można zapisać w postaci: (8.31) K śąqźąq=Q W ogólności macierz sztywności zależy od niewiadomych przemieszczeń q. Otrzymaliśmy zatem układ równań nieliniowych. Rozwiązanie równania jest skomplikowane. Macierz sztywności w zagadnieniach nieliniowych może być osobliwa. W zagadnieniach liniowych taka sytuacja nie mogła się zdarzyć. Analiza takiej sytuacji jest złożona numerycznie. Przyczyna nieliniowości może leżeć w materiale i w braku proporcjonalności między naprężeniami i odkształceniami. Nieliniowość może też mieć inne przyczyny, np.: jednostronne podpory, jednostronne podłoże, konstrukcje prętowo-cięgnowe nawet w zakresie liniowym. Do rozwiązania tych zadań stosujemy techniki numeryczne. 8.5. Sposoby rozwiązywania 8.5.1. Metoda przyrostowa J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak AlmaMater 8. PODSTAWY ANALIZY NIELINIOWEJ 8 Rozpatrujemy zagadnienie nieliniowe opisane zależnością (8.32) Q= f śąqźą w zakresie obciążenia (0,Q) Dla danego obciążenia Q będziemy poszukiwać przemieszczenia q. Metoda polega na tym, że ąQi obliczenia przeprowadzamy etapowo, zwiększając obciążenie na każdym etapie o pewien przyrost ą qi Q0 oraz odpowiadający mu przyrost przemieszczeń . Jako punkt startu przyjmujemy wartość dostatecznie małą, tak aby można było założyć, że w zakresie obciążenia (0,Q) konstrukcja zachowuje się K0 liniowo, czyli macierz sztywności ma być stała i taka jak w konstrukcji liniowej. Zaletami metody są: "' możliwość zastosowania do wszelkiego rodzaju nieliniowości (z wyjątkiem przypadków o malejącej sztywności), "' pełny opis relacji obciążenia - przemieszczenia dla każdego przyrostu Wady: "' duża chłonność obliczeniowa (odwracanie różnych macierzy dla każdego cyklu) "' trudność w określeniu wartości przyrostu obciążeń dla uzyskania założonej dokładności "' brak możliwości oceny poprawności rozwiązania, o ile nie istnieje jakaś baza porównawcza "' trudności algebraiczne związane z rozwiązywaniem zle uwarunkowanego układu równań w otoczeniu punktów krytycznych 8.5.2. Metoda iteracyjna Jest to bardzo popularna metoda ze względu na wielostronność zastosowań i wysoką dokładność obliczeń. Nazywa się ją również metodą Newtona-Raphsona (w skrócie NR). Rozwiązywanie przy pomocy tej metody polega na tym, że w każdym cyklu iteracyjnym operujemy pełnym obciążeniem Q. W poszczególnych cyklach przyjmujemy stałe, przybliżone macierze sztywności, co powoduje niespełnienie warunków równowagi. Po każdym cyklu oblicza się obciążenie niezrównoważone w danej konfiguracji odkształcenia. To obciążenie służy do wyznaczania dodatkowych przemieszczeń, czyli zmian konfiguracji zmierzających do konfiguracji odpowiadającej równowadze. Proces obliczeniowy kończymy po osiągnięciu równowagi z przyjętą dokładnością. Startujemy przy pełnym obciążeniu Q oraz macierzy sztywności KL równej macierzy sztywności traktowanej jako liniowa. Dla tego stanu obciążenia i sztywności obliczamy przemieszczenia. J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak AlmaMater 8. PODSTAWY ANALIZY NIELINIOWEJ 9 Zalety tej metody: "' większa łatwość w programowaniu niż w metodzie przyrostowej, "' duża efektywność, szczególnie w przypadku kilku wariantów obciążeń, przy nieliniowości fizycznej możliwość uwzględniania zmian własności materiału zależnie od stanu naprężeń. Wady: "' brak pewności co do zbieżności rozwiązania dokładnego (spełnienie równowagi to tylko jeden z warunków), "' niemożliwość zastosowania do dynamiki (można operować tylko stałym obciążeniem), "' brak informacji o stanie obciążenia - przemieszczenia, kiedy stosujemy obciążenie o niepełnych wartościach 8.5.3. Pełny algorytm Newtona (Full Newton Iteration) Metoda Newtona, zwana też metodą stycznych, należy do metod iteracyjnych. K śąd źąd = p (8.33) K śąd źąą d = ąąp K śąd ąą d1źąd =-R1 (8.34) 0 K śąd ąą d ąą d źąd =-R2 (8.35) 0 1 2 Iterację przeprowadzamy do momentu w którym dokładność jest satysfakcjonująca . Oszacowanie błędu: %"r%""ąą (8.36) %"ą d %" i "ąą (8.37) %"d%" Przyjąć można np. normę euklidesową: J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak AlmaMater 8. PODSTAWY ANALIZY NIELINIOWEJ 10 2 śą Ri źą " - suma wszystkich niezrównoważonych sił w w węzłach ćą (8.38) i 8.5.4. Metoda Newtona-Raphsona p k=1 2 3 4 i+1 4 i R 1 p " Ri i di di+1 d " di+1 W metodzie Newtona-Raphsona szybciej uzyskuje się wiekszą dokładność. J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak AlmaMater